2 10.1.2 事件的关系和运算（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦事件的关系（包含、相等）与运算（并、交），以及互斥事件、对立事件等核心知识点。通过上节课集合表示样本空间的基础，以“集合关系是否适用于事件”设问导入，搭建从集合到事件的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以掷骰子、涂色等实例为载体，通过定义法与集合法辨析概念，培养数学思维。用韦恩图和符号语言表达事件关系，发展数学语言能力。实例贴近学生认知，帮助学生用数学眼光抽象事件本质，教师可直接利用例题和训练提升教学效率。

10．1.2　事件的关系和运算 1 新课导入 学习目标 　　上一节课我们学习了用集合来表示样本空间，事件则被定义为样本空间的一个子集．我们知道，集合之间有确定的关系，可进行交、并、补等运算，那么用集合表示的事件之间是否也有这些情况呢？ 1.了解随机事件的交、并的含义． 2.理解互斥事件、对立事件的概念. 3.能结合实例进行随机事件的交、并运算． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 4 一　两个事件的关系 在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如： Ci＝“点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6； D1＝“点数不大于3”；D2＝“点数大于3”； E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”； F＝“点数为偶数”；G＝“点数为奇数”． 返回导航 思考　用集合的形式表示事件C1＝“点数为1”和事件G＝“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这两个事件之间的联系吗？ 提示：C1＝{1}，G＝{1，3，5}，则{1}⊆{1，3，5}， 即C1⊆G. 返回导航 [知识梳理] 类别 定义 表示法 图示 包含 关系 一般地，若事件A发生，则事件B______发生，称事件B______事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B)   一定 包含 返回导航 类别 定义 表示法 图示 相等 关系 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B______A且A______B，则称事件A与事件B相等 ______   ⊇ ⊇ A＝B 返回导航 [例1] 掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A＝“3次正面向上”，B＝“只有1次正面向上”，C＝“至少有1次正面向上”，试判断事件A，B，C之间的包含关系． 【解】　当事件A发生时，事件C一定发生；当事件B发生时，事件C一定发生， 因此有A⊆C，B⊆C. 当事件A发生时，事件B一定不发生；当事件B发生时，事件A一定不发生，因此事件A与事件B之间不存在包含关系． 综上，事件A，B，C之间的包含关系为A⊆C，B⊆C. 返回导航 事件包含关系、相等关系的判定 (1)事件的包含关系与集合的包含关系相似． (2)两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生． 返回导航 [跟踪训练1] (多选)已知样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记事件A＝“出现的是偶数”，事件B＝“出现的是2或4或8”，事件C＝“出现的点数是4的倍数”，事件D＝“出现的是奇数”，事件E＝“出现的是素数”，则下列关系正确的是(　　) A．B⊆A B．E⊆D C．C⊆B D．E⊆B 解析：因为A＝{2，4，6，8}，B＝{2，4，8}，则B⊆A正确；又C＝{4，8}，所以C⊆B正确；而D＝{1，3，5，7}，E＝{2，3，5，7}．所以E⊆D和E⊆B都不正确． √ √ 返回导航 二　事件的运算 在本节的掷骰子试验中： 思考1　用集合的形式表示事件D＝“点数不大于3”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ 提示：D＝{1，2，3}，E1＝{1，2}，E2＝{2，3}，则{1，2}∪{2，3}＝{1，2，3}，即E1∪E2＝D. 返回导航 思考2　事件C＝“点数为2”，事件E3＝“点数为1或2”和事件E4＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ 提示：C＝{2}，E3＝{1，2}，E4＝{2，3}，则{1，2}∩{2，3}＝{2}，即E3∩E4＝C. 返回导航 [知识梳理] 类别 定义 表示法 图示 并事件 一般地，事件A与事件B____________发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) ______ (或______)   至少有一个 A∪B A＋B 返回导航 类别 定义 表示法 图示 交事件 一般地，事件A与事件B______发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) ______ (或______)   同时 A∩B AB 返回导航 [例2] 用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．记事件A＝“三个圆涂的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆涂的颜色不全相同”，事件C＝“恰好有两个圆涂的颜色相同”，事件D＝“三个圆涂的颜色全相同”． (1)写出试验的样本空间； 【解】　试验的样本空间Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}． 返回导航 (2)判断事件B与事件A，C的关系； 【解】　A＝{(红，黄，蓝)}； B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}； C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}．所以A⊆B，C⊆B. 返回导航 (3)事件A∪C与事件B有什么关系？事件A∩B与事件D有什么关系？ 【解】　由(2)知A∪C＝B. D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}，A∩B＝{(红，黄，蓝)}，所以(A∩B)∩D＝∅. 返回导航 事件间运算的方法 (1)利用事件间运算的定义：列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算． (2)利用Venn图：借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算． 返回导航 [跟踪训练2] 盒子里有除颜色外均相同的6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”．求： (1)事件D与A，B是什么样的运算关系？ 解：对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球， 故D＝A∪B. (2)事件C与A的交事件是什么事件？ 解：对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A. 返回导航 三　互斥事件与对立事件 在本节的掷骰子试验中： 思考1　用集合的形式表示事件C1＝“点数为3”和事件C2＝“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这两个事件之间的联系吗？ 提示：C1＝{3}，C2＝{4}，则{3}∩{4}＝∅，即C1∩C2＝∅. 返回导航 思考2　用集合的形式表示事件F＝“点数为偶数”，事件G＝“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这两个事件之间的联系吗？ 提示：F＝{2，4，6}，G＝{1，3，5}，则{2，4，6}∪{1，3，5}＝Ω，{2，4，6}∩{1，3，5}＝∅，即F∪G＝Ω，F∩G＝∅. 返回导航 [知识梳理] 类别 定义 表示法 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B____________发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若_______，则A与B互斥   不能同时 A∩B＝∅ 返回导航 有且仅有一个 A∩B＝∅ 返回导航 [例3] (1)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列每对事件中是互斥而不是对立关系的是(　　) A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” √ 返回导航 【解析】　对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A符合题意； 对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即选择一名男生和一名女生参加比赛，B不符合题意； 对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，即选择两名男生参加比赛，C不符合题意； 对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，是对立事件，D不符合题意． 返回导航 √ √ 返回导航 判断互斥事件、对立事件的两种方法 返回导航 [跟踪训练3] (1)(多选)从刚生产的一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品，设事件A＝“3件产品全不是次品”，B＝“3件产品全是次品”，C＝“3件产品不全是次品”，则下列结论正确的是(　　) A．A与B互斥 B．A与C互斥 C．A与B互为对立 D．B与C互为对立 √ √ 返回导航 解析：A＝“3件产品全不是次品”，指的是3件产品全是正品， B＝“3件产品全是次品”， C＝“3件产品不全是次品”，它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个样本点，由此知：A与B是互斥事件，但不互为对立；A与C的交事件不是∅，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件． 返回导航 (2)将颜色为红、黄、白的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球、乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是(　　) A．甲分得黄球 B．甲分得白球 C．丙没有分得白球 D．甲分得白球，乙分得黄球 解析：甲分得红球、乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球，即丙分得白球，与丙没有分得白球互为对立事件． √ 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 32 1．(教材P235T1改编)某人打靶时连续射击3次，下列事件中与事件“至少2次中靶”互斥的是(　　) A．3次都不中靶 B．至少1次中靶 C．至多2次中靶 D．至多1次不中靶 √ 返回导航 解析：“至少2次中靶”与“3次都不中靶”不能同时发生，为互斥事件，A正确； “至少1次中靶”包含“至少2次中靶”，B错误； “至少2次中靶”与“至多2次中靶”有公共的样本点，不是互斥事件，C错误； “至少2次中靶”与“至多1次不中靶”为同一事件，D错误． 返回导航 2．(多选)掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　) A．A⊆B B．A＝B C．A∩B表示向上的点数是2 D．A∪B表示向上的点数是1或2或3 √ √ 返回导航 解析：由题可知，A＝{1，2}，B＝{2，3}， 所以事件B不包含事件A，故A错误； 事件B也不等于事件A，故B错误； A∩B＝{2}，即事件A∩B表示“向上的点数是2”，故C正确； A∪B＝{1，2，3}，即事件A∪B表示“向上的点数是1或2或3”，故D正确． 返回导航 3．甲、乙两个元件构成一串联电路，设事件E＝“甲元件故障”，F＝“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为________．(用E，F的运算表示) 解析：甲、乙两个元件构成一串联电路，所以当甲元件与乙元件至少有一个出现故障时，整个电路均会出现故障，所以整个电路出现故障用E∪F来表示． E∪F 返回导航 4．设某随机试验的样本空间Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，事件A＝{2，3，4}，B＝{3，4，5}，C＝{5，6，7}，求下列事件： (1)A∪B； 解：由已知得A∪B＝{2，3，4，5}． (2)A∩B； 解：由已知得A∩B＝{3，4}． 返回导航 返回导航 类别 定义 表示法 图示 对立 事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中______________发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若_______，且A∪B＝Ω，则A与B互为对立 【解析】　“密码未被破译”是指甲、乙两人都未成功破译密码同时发生，其对立事件是“密码被成功破译”，即A∪B，而，各是A，B的对立事件，所以密码未被破译可表示为∩或. (2)(多选)甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件A＝“甲成功破译”，事件B＝“乙成功破译”，则表示“密码未被破译”的事件为(　　) A． B． C．∪ D．∩ (3)A∩(). 解：由已知得B∩C＝{5}， 则＝{0，1，2，3，4，6，7，8，9，10}， 所以A∩()＝{2，3，4}． $