4 8.3 阶段小测(四)（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦立体几何核心内容，涵盖空间几何体的结构特征、表面积与体积计算及外接球问题。从基础概念判断（如三棱台顶点、四棱柱结构）逐步过渡到综合应用（如正四面体中圆锥体积、圆台外接球），构建由浅入深的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于通过多样化问题情境培养数学核心素养，如利用图形分析（三棱柱盛水几何体判断）发展空间观念与几何直观，通过正三棱柱体积推理、外接球方程求解提升运算能力与推理意识，结合“笼具”制作等实际问题强化模型观念与应用意识。学生能提升空间想象与解决问题能力，教师可依托分层训练落实素养目标。

阶段小测(四) 1 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．下列说法正确的是(　　) A．三棱台有8个顶点 B．底面是矩形的四棱柱是长方体 C．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 D．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 阶段小测 解析：由三棱台的图形知三棱台有6个顶点，所以A错误； 因为四棱柱的底面是矩形时，侧棱与底面矩形不一定垂直，所以B错误； 各个面都是三角形的几何体可如图所示，但该几何体不是三棱锥，所以C错误； 由圆台的定义可知，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，所以D正确． 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 阶段小测 2．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是(　　) A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 解析：记水面与三棱柱四条棱的交点分别为D，E，D1，E1，如图所示， 由三棱锥性质可知，梯形ABED和梯形A1B1E1D1全等且所在平面互相平行， 由题意，可知AA1，BB1，DD1，EE1互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱． √ 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 阶段小测 √ 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 3 阶段小测 √ 3 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 4 阶段小测 √ 3 4 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 5 阶段小测 3 4 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 5 阶段小测 √ 3 4 5 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 6 阶段小测 3 4 5 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 6 阶段小测 √ 3 4 5 6 8 9 10 2 12 13 14 11 1 7 √ √ 阶段小测 3 4 5 6 8 9 10 2 12 13 14 11 1 7 阶段小测 √ 3 4 5 6 7 9 10 2 12 13 14 11 1 8 √ √ 阶段小测 3 4 5 6 7 9 10 2 12 13 14 11 1 8 阶段小测 3 4 5 6 7 9 10 2 12 13 14 11 1 8 阶段小测 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为4，则该几何体的表面积为_______． 3 4 5 6 7 8 10 2 12 13 14 11 1 9 20π 解析：依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和， 所以所求表面积为S＝2π×22＋π×22＋2π×1×4＝20π. 阶段小测 3 4 5 6 7 8 9 2 12 13 14 11 1 10 阶段小测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 1 11 16π 阶段小测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 1 11 阶段小测 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面相同，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计．已知圆柱的底面周长为32π cm，高为30 cm，圆锥的母线长为20 cm. 3 4 5 6 7 8 9 10 2 13 14 11 1 12 阶段小测 (1)求这种“笼具”的体积；(6分) 3 4 5 6 7 8 9 10 2 13 14 11 1 12 阶段小测 (2)现用100 m2的纱网材料制作这种“笼具”，问至多可以制作多少个“笼具”？(假设纱网材料没有浪费，π≈3.14，结果保留整数)(7分) 3 4 5 6 7 8 9 10 2 13 14 11 1 12 阶段小测 13．(本小题满分15分)如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为1，BC⊥CC1，点P为线段B1C1上的动点． (1)若点P恰为线段B1C1上靠近点C1的三等分点，求三棱锥P-A1BC和三棱柱ABC-A1B1C1的体积的比值；(7分) 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 14 11 1 13 阶段小测 (2)求PA1＋PC的最小值及此时B1P的值．(8分) 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 14 11 1 13 阶段小测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 14 11 1 13 阶段小测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 11 1 14 阶段小测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 11 1 14 阶段小测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 11 1 14 阶段小测 3．已知圆锥的轴截面是一个斜边长为2 eq \r(2)的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为(　　) A． eq \r(2)π B．2 eq \r(2)π C．4π D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(2)))π 解析：因为圆锥的轴截面是一个斜边长为2 eq \r(2)的等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径R＝ eq \r(2)，母线l＝2，所以圆锥的表面积S＝πR2＋πRl＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(2)))π. 解析：因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a，且其体积为16 eq \r(3)， 则S△ABC＝ eq \f(1,2)a2sin 60°＝ eq \f(\r(3),4)a2，所以V正三棱柱ABC-A1B1C1＝S△ABC·AA1＝ eq \f(\r(3),4)a3＝16 eq \r(3)，解得a＝4. 4．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a，且其体积为16 eq \r(3)，则a＝(　　) A．2 B．2 eq \r(3) C．4 D．4 eq \r(3) 5．如图，在棱长为6的正四面体P-ABC中，以P为顶点的圆锥在正四面体的内部(含表面)，则该圆锥体积的最大值为(　　) A．2 eq \r(6)π B．3 eq \r(6)π C．2 eq \r(3)π D．3 eq \r(3)π 解析：由题意可知当圆锥的底面与△ABC相切时，圆锥体积V＝ eq \f(1,3)Sh最大， 因为P-ABC是棱长为6的正四面体，设底面内切圆的半径为r，BC中点为D，连接PD(图略)， 则 eq \f(1,2)r eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AB＋AC＋BC))＝ eq \f(1,2)AB·AC sin 60°， 解得r＝ eq \r(3)， 圆锥的高h＝ eq \r(PD2－r2)＝ eq \r(PC2－DC2－r2)＝2 eq \r(6)， 所以圆锥体积的最大值Vmax＝ eq \f(1,3)πr2h＝2 eq \r(6)π. 6．已知某圆台的上底面圆心为O1，半径为r，下底面圆心为O2，半径为2r，高为h，若该圆台的外接球球心为O，且 eq \o(O1O,\s\up16(→))＝2 eq \o(OO2,\s\up16(→))，则 eq \f(h,r)＝(　　) A． eq \r(3) B．3 C． eq \r(2) D．2 解析：如图所示， 因为 eq \o(O1O,\s\up16(→))＝2 eq \o(OO2,\s\up16(→))， 所以OO1＝ eq \f(2h,3)，OO2＝ eq \f(h,3)， 所以r2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2h,3))) eq \s\up12(2)＝(2r)2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,3))) eq \s\up12(2)，解得3r2＝ eq \f(h2,3)，所以 eq \f(h,r)＝3. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(　　) A．圆柱的侧面积为4πR2 B．圆锥的侧面积为 eq \r(5)πR2 C．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 对于B，圆锥的侧面积为π·R· eq \r(R2＋(2R)2)＝ eq \r(5)πR2，故B正确； 解析：对于A，圆柱的侧面积为2πR·2R＝4πR2，故A正确． 对于C，圆锥的体积为 eq \f(1,3)πR2·2R＝ eq \f(2,3)πR3，圆柱的体积为πR2·2R＝2πR3， 球的体积为 eq \f(4,3)πR3，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，故C正确； 对于D，球的表面积为4πR2，圆柱的表面积为2πR·2R＋2πR2＝6πR2， 圆锥的表面积为π·R· eq \r(R2＋(2R)2)＋πR2＝( eq \r(5)＋1)πR2，所以圆锥的表面积最小，故D错误． 8．已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段MN的最小值为 eq \r(3)－1，则下列说法正确的是(　　) A．正方体的外接球的表面积为12π B．正方体的内切球的体积为 eq \f(4π,3) C．正方体的棱长为2 D．线段MN的最大值为2 eq \r(3) 解析：设正方体的棱长为a， 则正方体外接球半径为体对角线长的一半，为 eq \f(\r(3),2)a， 内切球半径为棱长的一半，为 eq \f(a,2). 因为M，N分别为该正方体外接球和内切球上的动点， 所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MN)) eq \s\do7(min)＝ eq \f(\r(3),2)a－ eq \f(a,2)＝ eq \f(\r(3)－1,2)a＝ eq \r(3)－1，解得a＝2， 所以正方体的棱长为2，故C正确； 正方体的内切球的体积为 eq \f(4,3)π×13＝ eq \f(4π,3)，故B正确； 线段MN的最大值为 eq \f(\r(3),2)a＋ eq \f(a,2)＝ eq \r(3)＋1，故D错误． 正方体的外接球的表面积为4π×( eq \r(3))2＝12π，故A正确； eq \f(1,6) 10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P为AA1中点，记三棱锥P-ABC的体积为V1，三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V2，则 eq \f(V1,V2)＝________． 解析：令S△ABC＝S，三棱柱的高为h， 由题意V1＝ eq \f(1,3)× eq \f(h,2)·S＝ eq \f(Sh,6)，V2＝Sh，所以 eq \f(V1,V2)＝ eq \f(1,6). 解析：连接B1D1，BD，取B1D1，BD的中点E，F，连接C1E，CF，EF，则EF为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高， 则外接球球心在直线EF上，设球心为O，如图所示，连接OC，OC1，则OC＝OC1＝R， 11．如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝ eq \r(2)，AB＝2 eq \r(2)，该正四棱台的体积 V＝ eq \f(14\r(3),3)，则该正四棱台外接球的表面积为________． 因为在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝ eq \r(2)，AB＝2 eq \r(2)， 故BD＝4，B1D1＝2，所以C1E＝1，CF＝2， 设正四棱台的高为h， 故 eq \f(1,3)[( eq \r(2))2＋(2 eq \r(2))2＋ eq \r(2×8)]h＝ eq \f(14\r(3),3)， 解得h＝ eq \r(3)，故EF＝ eq \r(3)， 设OF＝m，则OC2＝OF2＋CF2＝m2＋4， OC eq \o\al(2,1)＝C1E2＋OE2＝12＋( eq \r(3)＋m)2， 故m2＋4＝12＋( eq \r(3)＋m)2， 解得m＝0，故半径R＝ eq \r(0＋4)＝2， 故该正四棱台外接球的表面积为4πR2＝16π. 解：设圆柱的底面半径为r cm，高为h cm，圆锥的母线长为l cm，高为h1 cm， 由题意，2πr＝32π，所以r＝16， 则h1＝ eq \r(l2－r2)＝ eq \r(202－162)＝12， 所以这种“笼具”的体积为V＝πr2h－ eq \f(1,3)πr2h1＝π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(162×30－\f(1,3)×162×12))＝6 656π (cm3). 解：由(1)可知，圆柱的侧面积为 S1＝2πrh＝2π×16×30＝960π (cm2)， 圆柱的底面积为S2＝πr2＝256π (cm2)，圆锥的侧面积为S3＝πrl＝320π(cm2)， 所以这种“笼具”的表面积为 S＝S1＋S2＋S3＝1 536π(cm2)， 所以至多可以制作 eq \f(100×104,1 536π)≈207个“笼具”． 解： eq \f(V三棱锥P­A1BC,V三棱柱ABC­A1B1C1)＝ eq \f(V三棱锥A1­PBC,V三棱柱ABC­A1B1C1)＝ eq \f(1,2)× eq \f(V四棱锥A1­BCC1B1,V三棱柱ABC­A1BC1)＝ eq \f(1,2)× eq \f(V三棱柱ABC­A1B1C1－V三棱锥A1­ABC,V三棱柱ABC­A1B1C1)＝ eq \f(1,3). 解：将△A1B1C1绕着直线B1C1旋转至平面BCC1B1， 当P，A1，C三点共线时，PA1＋PC取得最小值， 因为∠A1C1B1＝ eq \f(π,3)，∠B1C1C＝ eq \f(π,2)，CC1＝A1C1＝1， 所以A1C2＝A1C eq \o\al(2,1)＋CC eq \o\al(2,1)－2A1C1×CC1cos ∠A1C1C＝1＋1－2cos eq \f(5π,6)＝2＋ eq \r(3)， 所以A1C＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),2)，即PA1＋PC的最小值为 eq \f(\r(6)＋\r(2),2). 此时C1P＝tan eq \f(π,12)＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,4)))＝ eq \f(\r(3)－1,1＋\r(3))＝2－ eq \r(3)，B1P＝ eq \r(3)－1. (1)若四面体A-B1CD1各棱长均为 eq \r(2)，求该四面体的表面积和体积；(7分) 14．(本小题满分15分)如图，四面体A-B1CD1的四个顶点均为长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点． 解：若四面体A-B1CD1各棱长均为 eq \r(2)， 则长方体ABCD-A1B1C1D1为棱长为1的正方体，且四面体A-B1CD1为正四面体， 所以表面积SA-B1CD1＝4× eq \f(1,2)× eq \r(2)× eq \r(2)×sin 60°＝4× eq \f(1,2)× eq \r(2)× eq \r(2)× eq \f(\r(3),2)＝2 eq \r(3)， 体积VA-B1CD1＝VABCD-A1B1C1D1－4VB1-ABC＝13－4× eq \f(1,3)× eq \f(1,2)×1×1×1＝ eq \f(1,3). 解：由于四面体A-B1CD1的四个顶点均为长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点， 所以四面体A-B1CD1的外接球与长方体的外接球是同一个球， 设此四面体所在长方体的棱长分别为DA＝a，DD1＝b，DC＝c， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝3，,a2＋c2＝4，,b2＋c2＝5，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝1，,b2＝2，,c2＝3，)) 设长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的半径为R， 则(2R)2＝a2＋b2＋c2＝6，则R2＝ eq \f(3,2)， 所以所求四面体外接球的表面积为4πR2＝6π. (2)若AD1＝ eq \r(3)，AC＝2，AB1＝ eq \r(5)，求四面体A-B1CD1外接球的表面积．(8分) $