2 7.1.2 复数的几何意义（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦“复数的几何意义”，核心涵盖复数与复平面内点、向量的对应关系，复数的模及共轭复数。课堂导入以高斯建立复数几何基础为引，通过有序实数对与平面点的对应，搭建从实数到复数几何表示的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“思考-知识梳理-例题-跟踪训练”为主线，通过问题驱动（如“复数能否与平面点一一对应”）培养数学眼光，结合数形结合（如复平面点位置与实虚部关系）发展数学思维，用符号（模的公式）和图形表达数学关系。例题（如求复数对应点在虚轴上的m范围）与跟踪训练强化应用，课堂小结提炼转化思想。助力学生提升抽象能力与几何直观，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

7．1.2　复数的几何意义 1 新课导入 学习目标     德国数学家高斯把复数与平面内的点一一对应起来，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础．复数的几何意义从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础． 1.理解复数表示的几何意义． 2．掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 3．理解共轭复数的概念． 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 提示：复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z＝a＋bi与有序实数对(a，b)是一一对应的，所以复数可以和坐标平面上的点一一对应． 返回导航 [知识梳理] 1．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_______，x轴叫做_______，y轴叫做_______，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示_______． 复平面 实轴 虚轴 纯虚数 Z(a，b) 点拨　复数的实部、虚部分别对应了复平面内对应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所对应的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征． 返回导航 [例1] 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点满足下列条件，分别求实数m的取值范围． (1)在虚轴上； 【解】　由题意，复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部m2－2m－8＝0，解得m＝－2或m＝4. (2)在第二或第四象限． 【解】　由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，所以2<m<4或－5<m< －2. 返回导航 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何意义即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据． (2)列出方程(组)或不等式(组)：根据复数的实部与虚部应满足的条件，建立方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 提示：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以可以用平面向量来表示复数． 返回导航 唯一确定 唯一确定 同一个 返回导航 √ 返回导航 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的向量，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 |z|或|a＋bi| 点拨　如果b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一个实数，它的模就等于|a|(a的绝对值). 返回导航 返回导航 (2)(对接教材例3)设z∈C，且满足下列条件，求在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ ①|z|<3；②|z|＝2. 返回导航 复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． (2)设出复数a＋bi(a，b∈R)，利用模的定义转化为实数问题求解． 返回导航 √ 返回导航 (2)已知z∈C，在复平面内z对应的点为Z，Γ为满足2≤|z|<5的点Z的集合所对应的图形，则Γ的面积为________． 21π 解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，因为|z|≥2的解集是以原点O为圆心，2为半径的圆上和圆外部所有点组成的集合，|z|<5的解集是以原点O为圆心，5为半径的圆内部所有点组成的集合，所以Γ是以原点为圆心，2为半径和5为半径的两个圆组成的圆环部分(如图所示)，故Γ的面积为(52－22)π＝21π. 返回导航 提示：相等，关于实轴对称． 返回导航 相等 互为相反数 共轭虚数 a－bi 返回导航 √ √ √ 返回导航 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上． 返回导航 [跟踪训练4] (1)复数满足z＝－1－2i (i为虚数单位), 则z的共轭复数所对应的点在(　　) A.第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 √ 返回导航 1－4i 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 √ 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 3．(教材P73T6改编)复数z＝(2a－3)＋(a＋1)i(a∈R)在复平面内对应的点位 于第二象限，则实数a的取值范围是__________．(用区间表示) 返回导航 4．(教材P73练习T2改编)(1)在复平面内，描出表示下列复数的点：2＋5i，－4＋i，2－4i，5，－3i； 解： 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 eq \a\vs4\al(一　复数与复平面内点的关系) 思考　有序实数对和坐标平面上的点一一对应，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？ 2．复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi(a，b∈R) eq \o(―――→,\s\up16(　一一对应))―→复平面内的点_______，这是复数的一种几何意义． [跟踪训练1] (1)在复平面内，复数z对应的点与复数 eq \f(1,2)＋ eq \f(i,2)对应的点关于虚轴对称，则复数z＝(　　) A．－ eq \f(1,2)＋ eq \f(i,2) B．－ eq \f(1,2)－ eq \f(i,2) C. eq \f(1,2)＋ eq \f(i,2) D． eq \f(1,2)－ eq \f(i,2) 解析：在复平面内，复数 eq \f(1,2)＋ eq \f(i,2)对应的点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，其关于虚轴对称的点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) ，所以z＝－ eq \f(1,2)＋ eq \f(i,2). (2)已知复数z1＝2－ai(a∈R，i为虚数单位)对应的点在直线y＝ eq \f(1,3)x＋ eq \f(4,3)上，则复数z2＝a＋2i对应的点在(　　) A.第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 解析：复数z1＝2－ai(a∈R，i为虚数单位)对应的点的坐标为(2，－a)，该点在直线y＝ eq \f(1,3)x＋ eq \f(4,3)上，故－a＝ eq \f(2,3)＋ eq \f(4,3)，解得a＝－2，所以复数z2＝－2＋2i，它对应的点的坐标为(－2，2)，在第二象限． eq \a\vs4\al(二　复数与复平面内向量的关系) 思考　能用平面向量表示复数吗？ [知识梳理] 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，连接OZ，显然向量 eq \o(OZ,\s\up16(→))由点Z______________；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量 eq \o(OZ,\s\up16(→))______________．即复数z＝a＋bi(a，b∈R) eq \o(―――→,\s\up16(　一一对应))―→平面向量 eq \o(OZ,\s\up16(→))，这是复数的另一种几何意义．我们常把复数z＝a＋bi(a，b∈R)说成点Z或向量 eq \o(OZ,\s\up16(→))，并且规定，相等的向量表示_______复数． [例2] 在复平面内，O为原点，向量 eq \o(OA,\s\up16(→))对应的复数为－1＋2i.若点A关于实轴的对称点为点B，则向量 eq \o(OB,\s\up16(→))对应的复数为(　　) A.－2－i B．1－2i C.－1－2i D．－1＋2i 【解析】　 因为复数－1＋2i在复平面内对应的点为A(－1，2)，所以点A关于实轴的对称点为B(－1，－2)， 所以 eq \o(OB,\s\up16(→))对应的复数为－1－2i. [跟踪训练2] 在复平面内，O为原点，已知复数z＝1－ eq \r(3)i对应的向量为 eq \o(OZ,\s\up16(→))，向量 eq \o(OP,\s\up16(→))＝(2，0)，则向量 eq \o(OZ,\s\up16(→))在 eq \o(OP,\s\up16(→))上的投影向量对应的复数是(　　) A.1 B．1＋i C.1－i D．i 解析：由题意知 eq \o(OZ,\s\up16(→))＝(1，－ eq \r(3))，由投影向量的定义知，向量 eq \o(OZ,\s\up16(→))在 eq \o(OP,\s\up16(→))上的投影向量的坐标为(1，0)，其对应的复数是1. eq \a\vs4\al(三　复数的模) 思考　 设 eq \o(OA,\s\up16(→))＝(a，b)，那么| eq \o(OA,\s\up16(→))|的值是什么？ 提示：| eq \o(OA,\s\up16(→))|＝ eq \r(a2＋b2)，我们称 eq \r(a2＋b2)为复数a＋bi的模． [知识梳理] 1．定义：向量 eq \o(OZ,\s\up16(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． 2．记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记为_____________． 3．公式：|z|＝|a＋bi|＝_____________ (a，b∈R). eq \r(a2＋b2) [例3] (1)已知z1＝－3＋i，z2＝－ eq \f(1,2)－ eq \r(2)i，求|z1|和|z2|，并比较模的大小． 【解】　|z1|＝ eq \r((－3)2＋12)＝ eq \r(10)，|z2|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)))\s\up12(2))＝ eq \f(3,2)，|z1|>|z2|. 【解】　①由|z|＜3得向量 eq \o(OZ,\s\up16(→))的模小于3，所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆的内部． ②由|z|＝2得向量 eq \o(OZ,\s\up16(→))的模等于2，所以满足|z|＝2的点Z的集合为以原点O为圆心，2为半径的圆． [跟踪训练3] (1)如果复数z＝－2－2i，那么 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z))＝(　　) A.2 eq \r(2) B．2 C．4 D．8 解析：因为z＝－2－2i，所以|z|＝ eq \r((－2)2＋(－2)2)＝2 eq \r(2). eq \a\vs4\al(四　共轭复数) 思考　复数z1＝3＋4i与复数z2＝3－4i的模有何关系？在复平面内它们对应的点有何关系？ [知识梳理] 1. 定义：一般地，当两个复数的实部______，虚部____________时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做____________． 2．表示：复数z的共轭复数用 eq \x\to(z)表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么 eq \x\to(z)＝______． [例4] (多选)复数z＝2＋3i，下列说法正确的是(　　) A.z的实部为2 B．z的虚部为3i C. eq \x\to(z)＝2－3i D．| eq \x\to(z)|＝ eq \r(13) 【解析】　因为z＝2＋3i，所以实部为2，虚部为3， eq \x\to(z)＝2－3i，| eq \x\to(z)|＝ eq \r(13). 解析：依题意， eq \x\to(z)＝－1＋2i在复平面内对应点(－1，2)在第二象限． (2)复数z＝4i－i2(i为虚数单位)的共轭复数 eq \x\to(z)＝________． 解析：依题意，z＝1＋4i，所以 eq \x\to(z)＝1－4i. 1．|2i＋1|＝(　　) A.2 B．5 C．1 D． eq \r(5) 解析： eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2i＋1))＝ eq \r(12＋22)＝ eq \r(5). 2．(多选)已知复数z＝－1＋ eq \r(3)i，其中i是虚数单位，下列说法正确的是(　　) A.z的虚部为 eq \r(3)i B. eq \x\to(z)＝1＋ eq \r(3)i C.| eq \x\to(z)|＝2 D.z在复平面内对应的点在第二象限 解析：对于A，因为z＝－1＋ eq \r(3)i，所以z的虚部为 eq \r(3)，故A错误； 对于B， eq \x\to(z)＝－1－ eq \r(3)i，故B错误； 对于C，| eq \x\to(z)|＝ eq \r(1＋3)＝2，故C正确； 对于D，z在复平面内对应的点为(－1， eq \r(3))，位于第二象限，故D正确． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))) 解析：因为复数z＝(2a－3)＋(a＋1)i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a－3<0，,a＋1>0，))解得－1<a< eq \f(3,2)，所以实数a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))). (2)写出向量 eq \o(OA,\s\up16(→))， eq \o(OB,\s\up16(→))， eq \o(OC,\s\up16(→))， eq \o(OD,\s\up16(→))， eq \o(AB,\s\up16(→))所对应的复数．(每个小方格的边长为1) 解： eq \o(OA,\s\up16(→))所对应的复数为3； eq \o(OB,\s\up16(→))所对应的复数为－3＋2i； eq \o(OC,\s\up16(→))所对应的复数为－3－3i； eq \o(OD,\s\up16(→))所对应的复数为－5i；因为 eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \o(OB,\s\up16(→))－ eq \o(OA,\s\up16(→))＝(－3，2)－(3，0)＝(－6，2)，所以 eq \o(AB,\s\up16(→))对应的复数为－6＋2i. 1．已学习：复数的几何意义、复数的模、共轭复数． 2．须贯通：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与点Z(a，b)、向量 eq \o(OZ,\s\up16(→))一一对应，研究三者的关系应用了数形结合的思想方法；复数的模及共轭复数都是把复数问题实数化，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：平面直角坐标系中的x轴、y轴与复平面内的实轴、虚轴的区别． $