2 7.1.2 复数的几何意义 课后达标检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦复数的几何意义、共轭复数、模及应用，通过基础达标与素养拓展题，衔接复数概念与坐标系知识，搭建从具体点坐标到抽象集合图形的学习支架，帮助学生逐步掌握复平面内复数与点的对应关系。 其亮点在于融合数学眼光（几何直观，如复平面点位置、圆环图形）、数学思维（推理能力，如参数求解、不等式组应用）和数学语言（符号表达，如对数不等式、向量共线方程）。例如第9题通过向量共线求参数，第13题用集合描述圆环图形，既深化概念理解，又培养学生逻辑推理与空间观念，教师可通过分层题目提升教学针对性，学生能在解决问题中发展数学核心素养。

7．1.2　课后达标检测 1 1．复数z＝4－3i在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 解析：复数z＝4－3i在复平面内对应的点的坐标为(4，－3)，该点位于第四象限． √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 课后达标检测 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 1 2 课后达标检测 3．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则(　　) A.a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1 C.a＝0 D．a＝0或a＝2 解析：由题意可知，复数z在复平面内对应的点的坐标为(a2－2a，a2－a－2)，因为复数z对应的点在虚轴上，则a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2. √ 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 3 课后达标检测 √ 3 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 4 课后达标检测 √ 3 4 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 5 课后达标检测 √ 3 4 5 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 6 √ 课后达标检测 3 4 5 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 6 课后达标检测 3 4 5 6 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 7 课后达标检测 8．若复数z满足|z|＝5，且z在复平面内对应的点位于第四象限，写出一个符合条件的复数z＝________________________________________． 解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，因为|z|＝5， 所以a2＋b2＝25， 因为z在复平面内对应的点位于第四象限，所以z可以为3－4i. 3 4 5 6 7 9 10 2 12 13 14 15 11 1 8 3－4i(答案不唯一，符合题意即可) 课后达标检测 9．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________． 3 4 5 6 7 8 10 2 12 13 14 15 11 1 9 5 课后达标检测 10．(13分)设复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x取何实数时： (1)在复平面上表示z的点位于第三象限；(6分) 3 4 5 6 7 8 9 2 12 13 14 15 11 1 10 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 2 12 13 14 15 11 1 10 课后达标检测 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 1 11 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 1 11 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 13 14 15 11 1 12 －2 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 14 15 11 1 13 课后达标检测 (2)设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？(8分) 解：由(1)知1≤|z|≤2， 因为不等式|z|≥1的解集是以原点O为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式|z|≤2的解集是以原点O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合， 所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两个圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示． 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 14 15 11 1 13 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 15 11 1 14 课后达标检测 (2)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积．(8分) 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 15 11 1 14 课后达标检测 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 15 √ √ 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 15 课后达标检测 解析：由题意可得z＝－1＋i，故 eq \x\to(z)＝－1－i. 2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为(－1，1)，则复数z的共轭复数 eq \x\to(z)＝(　　) A.－1－i B．－1＋i C.1－i D．1＋i 解析：由a－2i和1＋bi互为共轭复数， 可得a＝1，b＝2， 所以z＝a＋(b－1)i＝1＋i， 因此 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z))＝ eq \r(12＋12)＝ eq \r(2). 4．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－2i和1＋bi互为共轭复数，则复数z＝a＋(b－1)i的模为(　　) A.2 B． eq \r(2) C.10 D． eq \r(10) 5．已知复数z＝1＋i的共轭复数是 eq \x\to(z)，z， eq \x\to(z)在复平面内对应的点分别是A，B，O为坐标原点，则△OAB的面积是(　　) A. eq \f(1,2) B．1 C.2 D．4 解析：复数z＝1＋i，则 eq \x\to(z)＝1－i，又z， eq \x\to(z)在复平面内对应的点分别是A，B，所以A(1，1)，B(1，－1)，又O(0，0)，则OA＝ eq \r(2)，OB＝ eq \r(2)，AB＝2，易得△OAB是直角边长为 eq \r(2)的等腰直角三角形，其面积S＝ eq \f(1,2)× eq \r(2)× eq \r(2)＝1. 6．(多选)已知复数z＝a2－1＋(a＋1)i，a∈R，则下列结论正确的是(　　) A.若z为纯虚数，则a＝±1 B.若z在复平面内对应的点位于第二象限，则a∈(－1，1) C.若a＝0，则 eq \x\to(z)＝－1－i D.若a＝0，则|z|＝1 对于B，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－1<0，,a＋1>0，))解得－1<a<1，即a∈(－1，1)，故B正确； 解析：对于A，若z为纯虚数，即a2－1＝0且a＋1≠0，则a＝1，故A错误； 对于C，若a＝0，则z＝－1＋i， eq \x\to(z)＝－1－i，故C正确； 对于D，若a＝0，则|z|＝ eq \r(2)，故D错误． eq \r(5) 解析：依题意，得 eq \x\to(z)＝2＋i，则| eq \x\to(z)|＝ eq \r(22＋12)＝ eq \r(5). 7．复数z＝2－i, 则| eq \x\to(z)|＝________． 解析：设复数z1，z2，z3对应的点分别为Z1，Z2，Z3， 由题意知点Z1(3，－5)，Z2(1，－1)，Z3(－2，a)共线， 因此 eq \o(Z1Z2,\s\up16(→))＝(－2，4)， eq \o(Z1Z3,\s\up16(→))＝(－5，a＋5)， 依题意，得－5×4＋2(a＋5)＝0，则a＝5. 解：由表示z的点位于第三象限， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log2(x2－3x－3)<0，,log2(x－3)<0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0<x2－3x－3<1，,0<x－3<1，)) 解得x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(21),2)，4)). (2)在复平面上表示z的点在函数y＝ eq \f(1,2)x＋ eq \f(1,2)的图象上．(7分) 解：由表示z的点在函数y＝ eq \f(1,2)x＋ eq \f(1,2)的图象上，则log2(x2－3x－3)－2log2(x－3)＋1＝0， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2(x2－3x－3)＝(x－3)2，,x2－3x－3>0，,x－3>0，)) 解得x＝ eq \r(15). 11．在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为 eq \o(OZ,\s\up16(→))，将 eq \o(OZ,\s\up16(→))绕点O按逆时针方向旋转60°后，再将模变为原来的 eq \r(3)倍，得到向量 eq \o(OZ,\s\up16(→))1，则 eq \o(OZ,\s\up16(→))1对应的复数的实部是(　　) A.6 B．－6 C.2 eq \r(3) D．－2 eq \r(3) 解析：因为复数4i对应的向量为 eq \o(OZ,\s\up16(→))， 所以 eq \o(OZ,\s\up16(→))＝(0，4)， eq \o(OZ,\s\up16(→))绕点O逆时针方向旋转60°后变为 eq \o(OZ,\s\up16(→))2＝(－2 eq \r(3)，2)， 再将模变为原来的 eq \r(3)倍，得 eq \o(OZ,\s\up16(→))1＝(－6，2 eq \r(3))，对应的复数的实部是－6. 解析：因为z＝(a－1)－2ai(a∈R)， 所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z))＝ eq \r((a－1)2＋(－2a)2)＝5， 解得a＝－2或a＝ eq \f(12,5)， 又因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－1<0，,－2a>0，))所以a<0，所以a＝－2. 12．已知复数z＝(a－1)－2ai(a∈R)，且 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z))＝5，若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则a＝__________． 解：|z1|＝| eq \r(3)－i|＝ eq \r((\r(3))2＋(－1)2)＝2， |z2|＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝1. 13．(13分)已知复数z1＝ eq \r(3)－i与z2＝－ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2)i. (1)求|z1|及|z2|的值；(5分) 解：由题意得A(1，0)，B(2，1)，C(－1，2)，所以 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，1)－(1，0)＝(1，1)， eq \o(BC,\s\up16(→))＝(－1，2)－(2，1)＝(－3，1)， eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－1，2)－(1，0)＝(－2，2)， 所以 eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(BC,\s\up16(→))， eq \o(AC,\s\up16(→))对应的复数分别为1＋i，－3＋i，－2＋2i. 14．(15分)在复平面内，A，B，C三点表示的复数分别为1，2＋i，－1＋2i. (1)求 eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(BC,\s\up16(→))， eq \o(AC,\s\up16(→))对应的复数；(7分) 解：因为| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝ eq \r(2)，| eq \o(BC,\s\up16(→))|＝ eq \r(10)，| eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2 eq \r(2)， 所以| eq \o(AB,\s\up16(→))|2＋| eq \o(AC,\s\up16(→))|2＝| eq \o(BC,\s\up16(→))|2， 所以△ABC为直角三角形，所以S△ABC＝ eq \f(1,2)× eq \r(2)×2 eq \r(2)＝2. 15．(多选)在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的用复数的模来代替绝对值. 规定复数的“长度”即为模，在复平面实轴上方的复数为正，在实轴下方的复数为负，在实轴上的复数为实数大小．复数的“大小”用“符号＋长度”表示，我们用[z]来表示这个复数的“大小”. 例如[3＋4i]＝5，[－3－4i]＝－5，[－2]＝－2，则下列论述正确的是(　　) A.[－5＋12i]＝13 B.[z]＝2在复平面上表示一个半圆 C.若z∈C，则方程[z]2＝－1无解 D.若z1，z2为虚数，且z1＝ eq \x\to(z)2，则 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(z1))＋ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(z2))＝0 对于B，设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(z))＝2，所以b≥0，当b>0时， eq \r(a2＋b2)＝2， 当b＝0时，a＝2，故 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(z))＝2在复平面上表示一个去掉点(－2，0)的半圆，故B错误； 解析：对于A，z＝－5＋12i对应的点(－5，12)在实轴上方，且|z|＝ eq \r((－5)2＋122)＝13，所以 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－5＋12i))＝13，故A正确； 对于C，若z∈C，则[z]为一个实数，所以方程[z]2＝－1无解，故C正确； 对于D，若z1，z2为虚数，且z1＝ eq \x\to(z)2，不妨设z1＝c＋di，则z2＝c－di，其中c∈R，d＞0， 所以 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(z1))＝ eq \r(c2＋d2)， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(z2))＝－ eq \r(c2＋d2)，所以 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(z1))＋ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(z2))＝0，故D正确． $