3 6.4.3 第2课时 正弦定理（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦正弦定理，通过“测量河对岸距离”的实际问题导入，从直角三角形边角关系过渡到斜三角形，构建从特殊到一般的推导支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以问题驱动探究，通过“思考1”“思考2”引导逻辑推理，结合例2分类讨论和解的个数判断培养数学思维，利用化边化角判断三角形形状提升数学语言表达能力。学生能深化推理与应用能力，教师可依托分层训练提升教学效率。

第2课时　正弦定理 1 新课导入 学习目标 在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成．不过，在这些工具没有出现之前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长、∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这三个量，求出AB的长吗？ 1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形公式． 2．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 返回导航 返回导航 [知识梳理] 1．正弦定理 正弦 返回导航 2.正弦定理的变形 (1)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A. (2)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. (3)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C(R为△ABC外接圆的半径). 返回导航 角度1　已知两角及一边解三角形 [例1] 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形． 返回导航 返回导航 已知两角及一边解三角形的基本思路 (1)由三角形内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理的变形公式，求另外的两条边． 返回导航 返回导航 返回导航 母题探究　若本例中，“B＝45°”改为“A＝60°”，其他条件不变，解此三角形． 返回导航 已知两边及其中一边的对角解三角形的步骤 返回导航 √ 返回导航 (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝45°，C＝30°，c＝1，则a＝________． 返回导航 【解】　因为b<a，所以B<A，又A＝120°，所以B为锐角，所以三角形有一解． (2)a＝9，b＝10，A＝60°； 返回导航 (3)b＝72，c＝50，C＝135°. 【解】　因为b>c，所以B>C＝135°，三角形中不可能出现两个钝角，所以三角形无解． 返回导航 三角形解的个数的判断方法 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． (2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长为a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： 返回导航 类别 A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>b sin A 两解 a＝b sin A 一解 a<b sin A 无解 返回导航 [跟踪训练2] (多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 √ √ √ 返回导航 解析：对于A，因为b sin A＝16×sin 30°＝8＝a，故只有一解，A正确； 对于C，因为A＝90°，a＝5，c＝2，a>c，故有一解，C错误； 对于D，因为A为钝角，又b<a，所以有一解，D正确． 返回导航 返回导航 方法二(利用角的关系来判断)：由2cos A sin B＝sin C， 得2cos A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B， 所以sin (A－B)＝0. 又A与B均为△ABC的内角，所以A＝B， 所以△ABC为等腰三角形． 返回导航 利用正弦定理判断三角形形状的两种途径 返回导航 [跟踪训练3] (1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b sin B＝c sin (A＋B)－a sin A，则△ABC为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 解析：因为b sin B＝c sin (A＋B)－a sin A，又sin (A＋B)＝sin (π－C)＝ sin C，即b sin B＝c sin C－a sin A，由正弦定理可得b2＝c2－a2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形． √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 √ 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：正弦定理及公式变形、利用正弦定理解三角形． 2．须贯通：在解三角形的过程中，正弦定理及公式变形实现了边角互化，应用了转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：已知两边及其中一边对角解三角形时一般要分类讨论． 返回导航 eq \a\vs4\al(一　正弦定理) 思考1　在Rt△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝ eq \f(π,2)，则有sin A＝ eq \f(a,c)，sin B＝ eq \f(b,c).从这两个式子能得到关于A，B，a，b怎样的定量关系？ 提示： eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝c＝ eq \f(c,sin C). 思考2　在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c, eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)是否成立？如何证明呢？ 提示：如图，若△ABC为锐角三角形，过点B作BD⊥AC于点D，则BD＝a sin C＝c sin A，所以 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(c,sin C).同理可得 eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C).因此 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C). 若△ABC为钝角三角形，仿照上述方法，同样可得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C). 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等 符号语言 eq \f(a,sin A)＝_______＝_______ eq \f(b,sin B) eq \f(c,sin C) 【解】　因为B＝30°，C＝105°， 所以A＝180°－(30°＋105°)＝45°， sin 105°＝sin (60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋ cos 60°sin 45°＝ eq \f(\r(3),2)× eq \f(\r(2),2)＋ eq \f(1,2)× eq \f(\r(2),2)＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),4)， 所以由正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)得， a＝ eq \f(b sin A,sin B)＝ eq \f(4×sin 45°,sin 30°)＝ eq \f(4×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝4 eq \r(2)， c＝ eq \f(b sin C,sin B)＝ eq \f(4×sin 105°,sin 30°)＝ eq \f(4×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(1,2)) ＝2( eq \r(6)＋ eq \r(2))， 所以A＝45°，a＝4 eq \r(2)，c＝2( eq \r(6)＋ eq \r(2)). 角度2　已知两边及其中一边的对角解三角形 [例2] (对接教材例8)在△ABC中，已知B＝45°，b＝ eq \r(2)，a＝ eq \r(3)，解三角形． 【解】　由正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)， 知sin A＝ eq \f(a sin B,b)＝ eq \f(\r(3),2)， 因为b<a，所以A＝60°或A＝120°， 当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， 所以c＝ eq \f(b sin C,sin B)＝ eq \f(\r(2)×sin 75°,sin 45°)＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),2)； 当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°， 所以c＝ eq \f(b sin C,sin B)＝ eq \f(\r(2)×sin 15°,sin 45°)＝ eq \f(\r(6)－\r(2),2). 故当A＝60°时，C＝75°，c＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),2)； 当A＝120°时，C＝15°，c＝ eq \f(\r(6)－\r(2),2). 解：由正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，知sin B＝ eq \f(b sin A,a)＝ eq \f(\r(2),2)，因为b<a，所以B＝45°，所以C＝75°， 所以c＝ eq \f(b sin C,sin B)＝ eq \f(\r(2)×sin 75°,sin 45°)＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),2). [跟踪训练1] (1)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝(　　) A． eq \f(\r(3),3) B． eq \f(\r(6),3) C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(6),2) 解析：由正弦定理，得 eq \f(AB,sin C)＝ eq \f(AC,sin B)，即 eq \f(2,sin C)＝ eq \f(3,sin 60°)，解得sin C＝ eq \f(\r(3),3)，因为AB<AC，所以C<B，所以cos C＝ eq \r(1－sin2C)＝ eq \f(\r(6),3). 解析：由正弦定理 eq \f(a,sinA)＝ eq \f(c,sin C)， 得 eq \f(a,sin 45°)＝ eq \f(1,sin 30°)，即 eq \f(a,\f(\r(2),2))＝ eq \f(1,\f(1,2))，解得a＝ eq \r(2). eq \r(2) eq \a\vs4\al(二　三角形解的个数) [例3] 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； 【解】　因为a<b，A为锐角，且b sin A＝10×sin 60°＝5 eq \r(3)，所以b sin A<a<b，所以三角形有两解． 对于B，因为c sin B＝20×sin 60°＝10 eq \r(3)，所以c sin B<b<c，故有两解，B正确； eq \a\vs4\al(三　判断三角形形状) [例4] 在△ABC中，已知2cos A sin B＝sin C，试确定△ABC的形状． 【解】　方法一(利用边的关系来判断)：由正弦定理得 eq \f(sin C,sin B)＝ eq \f(c,b)，由2cos A sin B＝sin C， 得cos A＝ eq \f(sin C,2sin B)＝ eq \f(c,2b). 又cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，所以 eq \f(c,2b)＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)， 即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b， 所以△ABC为等腰三角形． (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin eq \f(B,2)＝ eq \f(1,2)，且 a sin B＝c sin A，则该三角形的形状是(　　) A．三边均不相等的三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：因为sin eq \f(B,2)＝ eq \f(1,2)， eq \f(B,2)∈(0， eq \f(π,2))，所以 eq \f(B,2)＝ eq \f(π,6)，即B＝ eq \f(π,3)，又由a sin B＝ c sin A，结合正弦定理得sin A sin B＝sin C sin A，易知sin A≠0，故sin B＝sin C，则b＝c(也可结合正弦定理得ab＝ca，即b＝c)，因为有一个角是 eq \f(π,3)的等腰三角形是等边三角形，所以△ABC为等边三角形． 1．(教材P48T3改编)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝ eq \f(π,6)，a＝3，sin B＝ eq \f(1,3)，则b＝(　　) A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2) C．1 D．2 解析：由正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，得b＝ eq \f(a sin B,sin A)＝ eq \f(3×\f(1,3),\f(1,2))＝2. 解析：根据题意可得，满足条件的△ABC有两个，所以AB×sin B<AC<AB，解得 eq \f(3,2)<AC< eq \r(3). 2．(多选)在△ABC中，AB＝ eq \r(3)，B＝60°，若满足条件的三角形有两个，则AC边的取值可能是(　　) A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 3．(教材P48T2(1)改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝ eq \r(6)，A＝ eq \f(2π,3)，则B＝________． 解析：由题知a＝3，b＝ eq \r(6)，A＝ eq \f(2π,3)，在△ABC中，由正弦定理，得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，所以 eq \f(3,sin \f(2π,3))＝ eq \f(\r(6),sin B)，解得sin B＝ eq \f(\r(2),2)，因为在△ABC中，A＝ eq \f(2π,3)，所以B∈(0， eq \f(π,3))，所以B＝ eq \f(π,4). eq \f(π,4) 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3b＝2 eq \r(3)a sin B，cos A＝cos C，试判断△ABC的形状． 解：因为3b＝2 eq \r(3)a sin B，由正弦定理可得3sin B＝2 eq \r(3)sin A sin B． 因为0°<B<180°， 所以sin B≠0， 所以sin A＝ eq \f(\r(3),2)， 又0°<A<180°， 所以A＝60°或A＝120°， 又因为cos A＝cos C， 所以A＝C＝60°， 故△ABC为等边三角形． $