2 6.4.3 第1课时 余弦定理（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦余弦定理及推论，通过千岛湖岛屿距离测量的实际问题导入，衔接初中勾股定理，借助向量法推导定理，构建从具体情境到抽象公式的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，用向量推导发展逻辑推理思维，通过例题变式与形状判断训练强化数学语言应用。学生能提升解三角形能力，教师可获得系统的教学资源与方法支持。

6．4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 1 新课导入 学习目标 　　千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？ 1.了解用向量法推导余弦定理的过程． 2．掌握余弦定理及其推论，会利用它们求解三角形中的边角问题． 3．能运用余弦定理判断三角形的形状． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 返回导航 思考2　在思考1得到的结果中，若C＝90°，公式会变成什么？是初中所学的什么定理？ 提示：c2＝a2＋b2，即勾股定理． 返回导航 [知识梳理] 平方的和 余弦的积的两倍 c2＋a2－2ca cos B a2＋b2－2ab cos C 返回导航 √ 返回导航 3 返回导航 母题探究1　将本例(1)中的条件“a＝1，b＝2，C＝60°”变为“若a，b，c是三个连续奇数，最大角为120°”，则△ABC的周长为(　　) A．13 B．15 C．17 D．19 解析：不妨设a<b<c，则C＝120°，且b＝a＋2，c＝a＋4.所以(a＋4)2＝a2＋(a＋2)2－2a(a＋2)·cos 120°，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去).因此，△ABC的周长为a＋a＋2＋a＋4＝3a＋6＝3×3＋6＝15.故选B. √ 返回导航 返回导航 已知两边及一角解三角形的两种思路 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a∶b∶c＝5∶7∶8，则△ABC中角B的大小是(　　) A．135° B．120° C．90° D．60° √ 返回导航 已知三角形的三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． 注意　若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为“已知三边解三角形”的问题． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 (2)在△ABC中，内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2－bc，则角A＝(　　) A．60° B．120° C．30° D．150° √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 判断三角形形状的基本思想和两条思路 返回导航 [跟踪训练2] (1)若三角形的三边长分别为20，30，35，则该三角形的形状一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos C＋c cos A＝a，试判断△ABC的形状． 返回导航 1．已学习：余弦定理及推论、余弦定理的简单应用． 2．须贯通：在解三角形的过程中，余弦定理及推论可以做到“知三求一”，应用转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：三角形的隐含条件，如内角和为180°，两边之和大于第三边． 返回导航 eq \a\vs4\al(一　余弦定理及推论) 思考1　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 提示：如图，设 eq \o(CB,\s\up16(→))＝a， eq \o(CA,\s\up16(→))＝b， eq \o(AB,\s\up16(→))＝c， 那么c＝a－b，① 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C．所以c2＝a2＋b2－2ab cos C． 文字语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边________减去这两边与它们夹角的__________________ 符号语言 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝________________； c2＝________________ 变形推论 cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cos B＝____________； cos C＝____________． eq \f(c2＋a2－b2,2ca) eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 角度1　已知两边及一角解三角形 [例1] (1)(对接教材例5)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝(　　) A．3　　 B． eq \r(3) C． eq \r(7)　　 D． eq \r(5－2\r(3)) 【解析】　因为a＝1，b＝2，C＝60°，所以c＝ eq \r(a2＋b2－2ab cos C)＝ eq \r(12＋22－2×1×2cos 60°)＝ eq \r(3). (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝ eq \r(5)，c＝2，cos A＝ eq \f(2,3)，则b＝________． 【解析】　由余弦定理得5＝22＋b2－2×2b× eq \f(2,3)， 即3b2－8b－3＝0， 所以b＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(1,3)舍去)). 母题探究2　将本例(2)中的条件“a＝ eq \r(5)，c＝2，cos A＝ eq \f(2,3)”改为“a＝2，c＝2 eq \r(3)，cos A＝ eq \f(\r(3),2)”，求b的值． 解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 所以22＝b2＋(2 eq \r(3))2－2×b×2 eq \r(3)× eq \f(\r(3),2)， 即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4. 所以b的值为2或4. 角度2　已知三边解三角形 [例2] (1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝5，c＝ eq \r(19)，则最大角与最小角的和为(　　) A．90° B．120° C．135° D．150° 【解析】　在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝ eq \r(19)， 所以最大角为B，最小角为A， cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(9＋25－19,2×3×5)＝ eq \f(1,2)， 又因为0°<C<180°， 所以C＝60°， 所以A＋B＝120°， 所以△ABC中最大角与最小角的和为120°. 【解析】　由题可设a＝5k，b＝7k，c＝8k，k>0， 由余弦定理的推论得cos B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝ eq \f((5k)2＋(8k)2－(7k)2,2×5k×8k)＝ eq \f(1,2)， 又0°<B<180°，所以B＝60°. [跟踪训练1] (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3 eq \r(3)，c＝2，A＋C＝ eq \f(5π,6)，则b＝(　　) A． eq \r(13) B．6 C．7 D．8 解析：因为A＋C＝ eq \f(5π,6)， 所以B＝π－(A＋C)＝ eq \f(π,6). 因为a＝3 eq \r(3)，c＝2，所以由余弦定理得 b＝ eq \r(a2＋c2－2ac cos B)＝ eq \r((3\r(3))2＋22－2×3\r(3)×2×\f(\r(3),2))＝ eq \r(13). 解析：因为a2＝b2＋c2－bc，且由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 所以2cos A＝1，解得cos A＝ eq \f(1,2)，而在△ABC中，0°<A<180°，则A＝60°，故A正确． eq \a\vs4\al(二　判断三角形的形状) [例3] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝c cos A，则△ABC为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【解析】　方法一：因为b＝c cos A，所以由余弦定理的推论得b＝c· eq \f(b2＋c2－a2,2bc)， 所以2b2＝b2＋c2－a2，所以a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形． 方法二：在△ABC中，b＝a cos C＋c cos A，又因为b＝c cos A，所以a cos C＝0，因为a>0，所以cos C＝0，因为C∈(0，π)，所以C＝ eq \f(π,2)，故△ABC为直角三角形． 解析：设a＝20，b＝30，c＝35，该三角形的最大角为C, 由余弦定理的推论得cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(400＋900－1 225,2×20×30)＝ eq \f(1,16)>0，故C为锐角，则该三角形的形状一定是锐角三角形． (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 eq \f(a,b)＝ eq \f(cos A,cos B)，C＝ eq \f(π,3)，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 解析：因为 eq \f(a,b)＝ eq \f(cos A,cos B)，所以A，B∈(0， eq \f(π,2))，且a cos B＝b cos A，所以由余弦定理的推论得a· eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝b· eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，整理得a＝b，又C＝ eq \f(π,3)，故△ABC是等边三角形． 1．(教材P44T1(2)改编)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝1，b＝3，cos C＝ eq \f(1,6)，则c＝(　　) A． eq \r(6) B． eq \r(5) C．4 D．3 解析：因为在△ABC中，a＝1，b＝3，cos C＝ eq \f(1,6)，所以由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋9－2×1×3× eq \f(1,6)＝9，所以c＝3. 2．(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋ eq \r(3)，AB＝ eq \r(6)，则A＝(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 解析：根据余弦定理的推论有cos A＝ eq \f(AB2＋AC2－BC2,2·AB·AC)＝ eq \f(6＋4＋2\r(3)－4,2\r(6)(1＋\r(3)))＝ eq \f(\r(2),2)，因为0°＜A＜180°，所以A＝45°. 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝ eq \f(π,3)，a＝ eq \r(7)，b－c＝1，则cos B＝________． 解析：由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc， 因为b－c＝1，a＝ eq \r(7)， 所以c2＋(c＋1)2－c(c＋1)＝7， 即c2＋c－6＝0， 解得c＝2或c＝－3(舍去)， 所以b＝3，c＝2，cos B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝ eq \f(7＋4－9,2×\r(7)×2)＝ eq \f(\r(7),14). eq \f(\r(7),14) 解：由余弦定理的推论及a cos C＋c cos A＝a，得a· eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋c· eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝a，整理得b2＝ab，因为b≠0，所以b＝a，即△ABC的形状为等腰三角形． $