5 阶段提升(一) 平面向量(范围：6.1～6.3)（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量的概念、运算及基本定理，涵盖线性运算、数量积、最值三大题型，通过从基础概念到综合应用的递进设计，搭建知识支架帮助学生构建完整知识体系。 其亮点在于结合几何图形与坐标运算，以具体例题（如正方形动点问题、三角形中线表示）培养学生数学眼光与思维，通过“感悟提升”总结方法，助力学生提升运算能力与推理意识，也为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

阶段提升(一)　平面向量 (范围：6.1～6.3) 1 解析：2(a－2b)＋3(2b－a)＝2a－4b＋6b－3a＝－a＋2b.因为a＝(1，2)，b＝(3，4)，所以2(a－2b)＋3(2b－a)＝－a＋2b＝－(1，2)＋2(3，4)＝(5，6). √ √ 3 向量的线性运算的求解方法 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 解析：a2－(a－b)·b＝a2－a·b＋b2＝25－(－4＋6)＋5＝28. √ √ 3．若向量a＝(x，2)，b＝(2，3)，c＝(2，－4)，且a∥c，则a在b上的投影 向量坐标为________． 18 平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解． √ 解决此类问题，往往综合运用向量的线性运算、平面向量基本定理以及共线的充要条件等，把所求问题转化为函数问题或条件不等式问题，从而借助函数的性质或基本不等式求最值与范围． 求解向量数量积的最值(范围)问题时，往往先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个变量或两个变量表示，建立关系式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解；在一些和几何图形有关的问题中，也可利用图形、几何知识求解． 角度3　向量模与夹角的最值 [例3] (1)已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，则|a－2b|的最大值为(　　) A．1 B．3 C．7 D．5 √ √ √ 9 [1，10] eq \a\vs4\al(题型一　平面向量的线性运算) 1．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，4)，则2(a－2b)＋3(2b－a)＝(　　) A．(0，2) B．(5，6) C．(－5，1) D．(3，2) 2．已知a，b不共线，且 eq \o(AB,\s\up16(→))＝λa－b， eq \o(BC,\s\up16(→))＝a＋μb，那么A，B，C三点共线的充要条件为(　　) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝2 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 解析：A，B，C三点共线⇔ eq \o(AB,\s\up16(→))∥ eq \o(BC,\s\up16(→))，设 eq \o(AB,\s\up16(→))＝k eq \o(BC,\s\up16(→))，即λa－b＝k(a＋μb)，由于a，b不共线，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝k，,kμ＝－1，))消去k可得λμ＝－1.因此，A，B，C三点共线的充要条件为λμ＝－1. 3．若AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且 eq \o(AD,\s\up16(→))＝a， eq \o(BE,\s\up16(→))＝b，则 eq \o(BC,\s\up16(→))＝________．(用a，b表示) 解析：设 eq \o(AB,\s\up16(→))＝m， eq \o(AC,\s\up16(→))＝n，由图可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)(m＋n)，,b＝\f(1,2)n－m，)) 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)a－\f(2,3)b，,n＝\f(4,3)a＋\f(2,3)b，))则 eq \o(BC,\s\up16(→))＝n－m＝ eq \f(2,3)a＋ eq \f(4,3)b. eq \f(2,3)a＋ eq \f(4,3)b 4．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－1，2)，B(1，1)，C(－3，1).则AB的中点坐标为________；当实数m＝________时，(m eq \o(OC,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→)))∥ eq \o(AB,\s\up16(→)). 解析：因为A(－1，2)，B(1，1)，C(－3，1)，所以AB的中点坐标为( eq \f(－1＋1,2)， eq \f(2＋1,2))，即(0， eq \f(3,2))； 又 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，1)－(－1，2)＝(2，－1)， eq \o(OB,\s\up16(→))＝(1，1)， eq \o(OC,\s\up16(→))＝(－3，1)，则m eq \o(OC,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→))＝m(－3，1)＋(1，1)＝(－3m＋1，m＋1)，因为(m eq \o(OC,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→)))∥ eq \o(AB,\s\up16(→))，则2(m＋1)＝－1×(－3m＋1)，解得m＝3. (0， eq \f(3,2)) eq \a\vs4\al(题型二　平面向量的数量积) 1．已知a＝(－4，3)，b＝(1，2)，则a2－(a－b)·b＝(　　) A．8 B．3＋ eq \r(5) C．28 D．32 2．在△ABC中，BC＝2AB＝2，∠B＝ eq \f(2π,3)， eq \o(AN,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(NC,\s\up16(→))，P是直线BN上一点且 eq \o(AP,\s\up16(→))＝m eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up16(→))，则 eq \o(AP,\s\up16(→))· eq \o(CB,\s\up16(→))＝(　　) A．－2 B．－ eq \f(3,2) C．－ eq \f(1,2) D．0 解析：由 eq \o(AN,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(NC,\s\up16(→))， eq \o(AP,\s\up16(→))＝m eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up16(→))，得 eq \o(AP,\s\up16(→))＝m eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(3,4) eq \o(AN,\s\up16(→))，由B，P，N三点共线，得m＋ eq \f(3,4)＝1，解得m＝ eq \f(1,4)，则 eq \o(AP,\s\up16(→))＝ eq \f(\o(AB,\s\up16(→))＋\o(AC,\s\up16(→)),4)＝ eq \f(2\o(AB,\s\up16(→))＋\o(BC,\s\up16(→)),4)，又BC＝2AB＝2，∠B＝ eq \f(2π,3)，所以 eq \o(AP,\s\up16(→))· eq \o(CB,\s\up16(→))＝－ eq \f(1,4)(2 eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→)))· eq \o(BC,\s\up16(→))＝－ eq \f(1,4)(2 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))2)＝－ eq \f(1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×1×2×\f(1,2)＋22))＝－ eq \f(3,2). 解析：因为a∥c， 所以－4x－4＝0，得x＝－1， 所以a＝(－1，2)，|a|＝ eq \r((－1)2＋22)＝ eq \r(5)， 又|b|＝ eq \r(22＋32)＝ eq \r(13)， 所以 eq \f(b,|b|)＝( eq \f(2,\r(13))， eq \f(3,\r(13)))， 设a，b的夹角为θ， ( eq \f(8,13)， eq \f(12,13)) 则cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(－2＋6,\r(5)×\r(13))＝ eq \f(4,\r(65))， 所以a在b上的投影向量坐标为(|a|cos θ) eq \f(b,|b|)＝ eq \r(5)× eq \f(4,\r(65))×( eq \f(2,\r(13))， eq \f(3,\r(13)))＝( eq \f(8,13)， eq \f(12,13)). 4．以字母“NK”为灵感设计的一款纪念胸章，如图所示，C＝ eq \f(π,2)，| eq \o(BC,\s\up16(→))|＝4， | eq \o(CD,\s\up16(→))|＝6， eq \o(CF,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(CD,\s\up16(→))， eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(ED,\s\up16(→))＝ eq \o(AG,\s\up16(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(AF,\s\up16(→))，则 eq \o(BF,\s\up16(→))·( eq \o(GE,\s\up16(→))＋ eq \o(GD,\s\up16(→)))＝__________． 解析：以点C为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 由已知得，B(0，4)，F(3，0)，G(3，2)，D(6，0)，E(6，4)， 所以 eq \o(BF,\s\up16(→))＝(3，－4)， eq \o(GD,\s\up16(→))＝(3，－2)， eq \o(GE,\s\up16(→))＝(3，2)， 所以 eq \o(BF,\s\up16(→))·( eq \o(GE,\s\up16(→))＋ eq \o(GD,\s\up16(→)))＝(3，－4)·(6，0)＝18. eq \a\vs4\al(题型三　平面向量中的最值) 角度1　线性运算中的参数最值 [例1] 已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，1)，c＝(m－2，－n)，且(a＋b)∥c，则mn的最大值为(　　) A．1 B．2 C．2 eq \r(2) D．4 【解析】　a＋b＝(1，2)，c＝(m－2，－n)，(a＋b)∥c，故－n＝2(m－2)，即2m＋n＝4，当m≤0，n>0或n≤0，m>0时，mn≤0；当m>0且n>0时，2m＋n＝4≥2 eq \r(2mn)，mn≤2，当且仅当2m＝n，即m＝1，n＝2时等号成立．综上所述mn的最大值为2. 角度2　向量数量积的最值 [例2] 如图，在边长为3的正方形ABCD中， eq \o(DE,\s\up16(→))＝2 eq \o(EC,\s\up16(→))，若P为线段BE上的动点(包括端点)，则 eq \o(AP,\s\up16(→))· eq \o(DP,\s\up16(→))的最小值为________． eq \f(27,8) 【解析】　在正方形ABCD中， 建立如图所示平面直角坐标系，由正方形边长为3且 eq \o(DE,\s\up16(→))＝2 eq \o(EC,\s\up16(→))， 可得A(0，0)，B(3，0)，D(0，3)， E(2，3)， 设 eq \o(BP,\s\up16(→))＝λ eq \o(BE,\s\up16(→))＝(－λ，3λ)，λ∈[0，1]， 则P(3－λ，3λ)， 则 eq \o(AP,\s\up16(→))＝(3－λ，3λ)， eq \o(DP,\s\up16(→))＝(3－λ，3λ－3)， 故 eq \o(AP,\s\up16(→))· eq \o(DP,\s\up16(→))＝(3－λ)2＋3λ(3λ－3)＝10λ2－15λ＋9＝10 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(3,4)))2＋ eq \f(27,8)， 故当λ＝ eq \f(3,4)时， eq \o(AP,\s\up16(→))· eq \o(DP,\s\up16(→))取得最小值，最小值为 eq \f(27,8). 【解析】　设向量a，b的夹角为θ， 则|a－2b|＝ eq \r((a－2b)2)＝ eq \r(|a|2＋4|b|2－4a·b)＝ eq \r(17－8cos θ)≤ eq \r(25)＝5. 当且仅当cos θ＝－1，即a，b反向共线时等号成立， 所以|a－2b|的最大值为5. (2)已知向量a，b满足a＝(t，2 eq \r(2)－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b夹角的最小值为(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4) C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,2) 【解析】　因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0， 即a·b＝b2，cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(|b|2,|a||b|)＝ eq \f(|b|,|a|)＝ eq \f(1,|a|)＝ eq \f(1,\r(2t2－4\r(2)t＋8))， 又因为2t2－4 eq \r(2)t＋8＝2[(t－ eq \r(2))2＋2]≥2[( eq \r(2)－ eq \r(2))2＋2]＝4， 所以0<cos 〈a，b〉≤ eq \f(1,2)，又因为0≤〈a，b〉≤π， 所以 eq \f(π,3)≤〈a，b〉< eq \f(π,2)，所以a，b夹角的最小值为 eq \f(π,3). (1)求向量模的最值(范围)一般要利用公式|a|＝ eq \r(a2)转化为函数或基本不等式求解，或利用向量三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求解． (2)若两向量的夹角为α，先求出cos α的范围，再根据余弦函数y＝cos α在[0，π]上的单调性求出夹角α的范围． [跟踪训练] (1)已知向量a＝( eq \r(3)，1)，向量a与向量b的夹角为 eq \f(π,3)，则|a－b|的最小值为(　　) A．2 B． eq \r(3) C． eq \r(2) D．1 解析：设|b|＝x，又|a|＝2，所以|a－b|＝ eq \r((a－b)2)＝ eq \r(a2－2a·b＋b2)＝ eq \r(x2－2x＋4)，根据二次函数性质，当x＝1时，|a－b|min＝ eq \r(3). (2)在△ABC中，D为边AC的中点，E为中线BD上的一点且 eq \o(AE,\s\up16(→))＝x eq \o(AB,\s\up16(→))＋y eq \o(AC,\s\up16(→))，则 eq \f(1,x)＋ eq \f(2,y)的最小值为________． 解析：如图所示： 因为 eq \o(AE,\s\up16(→))＝x eq \o(AB,\s\up16(→))＋y eq \o(AC,\s\up16(→))，D为边AC的中点， 所以 eq \o(AE,\s\up16(→))＝x eq \o(AB,\s\up16(→))＋2y eq \o(AD,\s\up16(→))； 又B，E，D三点共线， 所以x＋2y＝1(x>0，y>0)； 则 eq \f(1,x)＋ eq \f(2,y)＝( eq \f(1,x)＋ eq \f(2,y))(x＋2y)＝1＋ eq \f(2y,x)＋ eq \f(2x,y)＋4≥ 5＋2 eq \r(\f(2y,x)·\f(2x,y))＝9， 当且仅当 eq \f(2y,x)＝ eq \f(2x,y)，即x＝y＝ eq \f(1,3)时，等号成立． 因此 eq \f(1,x)＋ eq \f(2,y)的最小值为9. (3)在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为AD的中点，F为AB的中点，Q为边CD上的动点(包括端点)，则 eq \o(QE,\s\up16(→))· eq \o(QF,\s\up16(→))的取值范围为____________． 解析：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意知E(0，1)，F(2，0)，设Q(t，2)，0≤t≤4， 从而 eq \o(QE,\s\up16(→))＝(－t，－1)， eq \o(QF,\s\up16(→))＝(2－t，－2)， eq \o(QE,\s\up16(→))· eq \o(QF,\s\up16(→))＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，t∈[0，4]， 所以 eq \o(QE,\s\up16(→))· eq \o(QF,\s\up16(→))＝(t－1)2＋1，t∈[0，4]的取值范围是[1，10]. $