2 阶段提升(八) 事件的独立性与概率(范围：10.2～10.3)（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦事件的相互独立性、频率与概率及综合应用，通过抛掷骰子、考试答题等实例导入，衔接事件互斥对立等基础，以例题解析和“感悟提升”为支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于结合现实情境设计题型，如多选题得分、摸球实验等，通过“感悟提升”总结独立性与互斥关系等规律。运用数学眼光观察现实问题，用数学思维推理概率计算，用数学语言表达统计结果，提升学生应用能力，为教师提供系统教学资源。

阶段提升(八)　事件的独立性与概率 (范围：10.2～10.3) 1 题型一　事件的相互独立性 1．已知随机事件A，B，C中，A与B相互独立，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A∪B)＝(　　) A.0.7 B．0.58 C．0.42 D．0.18 解析：P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(AB)＝P(A)P(B)＝0.3×0.4＝0.12，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.3＋0.4－0.12＝0.58. √ 2．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A: 点数大于 2; 事件B: 点数小于4; 事件C: 点数为偶数. 则下列关于事件描述正确的是(　　) A.A与B是互斥事件 B.A与B是对立事件 C.A与C相互独立 D.B与C相互独立 √ 解析：依题意事件A＝{3，4，5，6}，事件B＝{1，2，3}，事件C＝{2，4，6}，所以A与B不是互斥事件，显然不可能是对立事件，故A，B错误； (1)两个事件的独立性是事件之间的一种特殊的关系，直观意义是两个事件发生与否互不影响，本质上是两个事件积的概率等于这两个事件概率的积． (2)事件A，B相互独立，则事件A，B不互斥；事件A，B互斥，则事件A，B不独立． (3)事件的互斥与独立往往交织在一起，对于复杂事件而言，往往先分为几个互斥事件的和，处理这类问题，厘清事件关系、借助集合符号表示事件是正确利用公式解决问题的关键． √ √ √ 解析：对于A，概率的取值范围为[0，1]，A错误； 对于B，10 000次的界定没有科学依据，“不一定很准确”的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，B正确； 2．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球________个． 8 3．A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间 /分钟 [10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60] 选择L1 的人数 6 12 18 12 12 选择L2 的人数 0 4 16 16 4 (1)试用频率估计概率，估计40分钟内不能赶到火车站的概率； 解：调查的100人中，其中40分钟内不能赶到火车站有12＋12＋16＋4＝44(人)， 因此40分钟内不能赶到火车站的频率为0.44， 用频率估计概率，所以40分钟内不能赶到火车站的概率为0.44. (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟的时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试用频率估计概率通过计算说明，他们应如何选择各自的路径． (1)概率和频率都是用来描述事件发生的可能性．当实验次数趋于无穷大时，频率会围绕某一常数上下波动，且趋近于稳定，该常数就是事件发生的概率． (2)频率是概率的近似值，随着实验次数的变化，频率是变化的，随机的，而概率是不变的，稳定的． 题型三　概率与统计的综合 [典例] 某次考试中多项选择题的得分规则如下，每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分． (1)学生甲在作答某道多选题时，对四个选项作出正确判断、判断不了(不选)和错误判断的概率如表： 选项 作出正确判断 判断不了(不选) 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC.求学生甲答此题得6分的概率； 【解】　设事件M表示“学生甲答此题得6分”，即对于选项A，C作出正确的判断，且对于选项B，D作出正确的判断或判断不了，所以P(M)＝0.8×(0.7＋0.1)×0.6×(0.5＋0.3)＝0.307 2. (2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为1－p(0<p<1).现有一道多选题，学生乙完全不会，随机选一个选项，求学生乙本题得0分的概率． 破解概率与统计图表综合问题的方法 [跟踪训练] 为普及航天知识，某学校举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题． (1)求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层随机抽样抽取5人成绩，求抽取的5人中成绩不高于50分的人数； 因为AC＝{4，6}，所以P(AC)＝＝，又P(A)＝＝，P(C)＝＝，所以P(AC)＝P(A)P(C)，所以A与C相互独立，故C正确； 因为BC＝{2}，所以P(BC)＝，又P(B)＝＝，所以P(BC)≠P(B)P(C)，所以B与C不相互独立，故D错误． 3．某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛. 决赛阶段进行线上答题. 题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立. 选择题答对得5分，否则得0分；填空题答对得4分，否则得0分，将得分逐题累加． (1)若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为，，. 求他得分不低于10分的概率； 解：记“小明得分不低于10分”为事件A， 则P(A)＝××＋××＋××＋××＝＋＋＋＝，即小明得分不低于10分的概率为. (2)规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止. 已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为. 小红依次做一道选择题两道填空题，求小红通过考试的概率． 解：记“小红通过考试”为事件B，则P(B)＝×＋××＋××＝＋＋＝，即小红通过考试的概率为. 1．(多选)下述关于频率与概率的说法中，错误的是(　　) A.任何事件发生的概率总是在(0，1)之间 B.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10 000，所估计出的概率也不一定很准确 C.某种福利彩票的中奖概率为，那么买1 000张这种彩票一定能中奖 D.做7次抛掷硬币的试验，结果3次出现正面，因此抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面的概率是 对于C，中奖概率为，并不是买1 000张这种彩票一定能中奖，C错误； 对于D，做7次抛掷硬币的试验，结果3次出现正面，因此抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面的频率是，不是概率为，D错误． 解析：因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，所以摸到绿球的概率为0.4，设不透明的袋中有x个绿球，因为袋中有8个红球，4个白球，所以＝0.4，解得x＝8.故袋中约有绿球8个． 解：设A1，A2分别表示甲选择L1，L2时，在40分钟内赶到火车站， B1，B2分别表示乙选择L1，L2时，在50分钟内赶到火车站， 依题意，P(A1)＝＋＋＝0.6， P(A2)＝＋＝0.5， 由P(A1)>P(A2)，得甲应选择路径L1. P(B1)＝＋＋＋＝0.8， P(B2)＝＋＋＝0.9， 由P(B1)<P(B2)，得乙应选择路径L2， 所以甲应选择路径L1，乙应选择路径L2. 【解】　记A＝“从四个选项中随机选择一个选项的得0分”，若正确答案是两个选项，选错的概率是，若正确答案是三个选项，选错的概率是，则P(A)＝p×＋(1－p)×＝(1＋p). 解：由(0.005＋0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋a)×10＝1， 解得a＝0.030， 因为成绩不高于50分的有0.010×10×200＝20(人)， 成绩不高于60分的有20＋0.015×10×200＝50(人). 所以抽取的5人中成绩不高于50分的有 5×＝2(人). (2)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 解：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A， 方法一：P(A)＝×＋×＋×＝. 即至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 方法二：P(A)＝1－P()＝1－×＝， 即至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. $