3 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件核心内容为平面向量数乘运算的坐标表示及向量共线的坐标条件。课堂导入通过复习向量加减坐标运算，提出“2a坐标与a坐标关系”的问题，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡。 其亮点在于以知识梳理表格化呈现法则，结合例题解析和跟踪训练，培养数学思维与数学语言表达。如例1的坐标运算、跟踪训练3用共线条件求参数，小结通过感悟提升总结方法。帮助学生提升运算与推理能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

6．3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 1 新课导入 学习目标 　　我们上一节课学习了平面向量加、减运算的坐标表示，知道当a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，那么当a＝b时，a＋b＝2a，向量2a的坐标与a的坐标有什么关系呢？ 1.掌握向量数乘的坐标运算法则． 2．理解用坐标表示两向量共线的条件，能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 提示：因为a＝(x，y)＝xi＋yj，所以λa＝λ(xi＋yj)＝λxi＋λyj，即λa＝(λx，λy). 返回导航 [知识梳理] 符号表示 若a＝(x，y)，则λa＝_________ 文字表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的_________ (λx，λy) 相应坐标 返回导航 [例1] (1)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，则2a＋3b＝(　　) A．(－5，－10) B．(－4，－8) C．(－3，－6) D．(－2，－4) 【解析】　由向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，可得2a＋3b＝2(1，2)＋ 3(－2，－4)＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8). √ 返回导航 返回导航 向量数乘坐标运算的三个关注点 (1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用． (2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题． (3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题． 返回导航 √ 返回导航 (2)已知向量a＝(0，4)，b＝(3，6)，c＝(－1，6)，若c＝λa＋μb，则λ＋μ＝________． 返回导航 返回导航 [知识梳理] 条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0 结论 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是______________ x1y2－x2y1＝0 返回导航 √ √ 【解】　因为a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，所以2a＋b＝(3，1).若向量(x，y)与2a＋b平行，则3y－x＝0，检验易知A，D符合题意． 返回导航 返回导航 (1)向量共线的判定方法   (2)三点共线的实质是有公共点的两个向量共线问题． 返回导航 √ √ √ 返回导航 对于C，因为1×1≠0×0，所以a与b不是共线向量，可以作为基底，故C符合题意； 对于D，因为(－2)×(－2)≠6×6，所以a与b不是共线向量，可以作为基底，故D符合题意． 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 利用向量共线求参数的思路 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路．一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)，列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 [跟踪训练3] (1)已知向量m＝(a，2)，n＝(8，a)，则“a＝－4”是“m∥n”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为向量m＝(a，2)，n＝(8，a)，若m∥n，则a2＝2×8，解得a＝±4，故“a＝－4”是“m∥n”的充分不必要条件． √ 返回导航 (－4，－2) 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 √ 返回导航 2．(多选)下面向量b与向量a＝(4，3)平行的是(　　) A．b＝(－4，－3) B．b＝(－4，3) C．b＝(8，6) D．b＝(4，－3) 解析：对于A，因为4×(－3)－3×(－4)＝0，所以a∥b，故A正确； 对于B，因为4×3－3×(－4)＝24≠0，所以a，b不平行，故B错误； 对于C，因为4×6－3×8＝0，所以a∥b，故C正确； 对于D，因为4×(－3)－3×4＝－24≠0，所以a，b不平行，故D错误． √ √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 eq \a\vs4\al(一　向量数乘运算的坐标表示) 思考　已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？ (2)已知点O(0，0)，A(－1，3)，B(2，－4)， eq \o(OP,\s\up16(→))＝ eq \o(OA,\s\up16(→))＋m eq \o(AB,\s\up16(→)).若点P在y轴上，则实数m的值为________． 【解析】　因为O(0，0)，A(－1，3)，B(2，－4)， 所以 eq \o(OA,\s\up16(→))＝(－1，3)， eq \o(AB,\s\up16(→))＝(3，－7)， 因为 eq \o(OP,\s\up16(→))＝ eq \o(OA,\s\up16(→))＋m eq \o(AB,\s\up16(→))， 所以 eq \o(OP,\s\up16(→))＝(－1，3)＋m(3，－7)＝(－1＋3m，3－7m)， 因为点P在y轴上， 所以－1＋3m＝0， 解得m＝ eq \f(1,3). eq \f(1,3) [跟踪训练1] (1)已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若 eq \o(BD,\s\up16(→))＝2 eq \o(DA,\s\up16(→))－3 eq \o(DC,\s\up16(→))，且 eq \o(AC,\s\up16(→))＝(2，－1)，则 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(　　) A．(4，－2) B．(－4，2) C．(6，－3) D．(－6，3) 解析：由 eq \o(BD,\s\up16(→))＝2 eq \o(DA,\s\up16(→))－3 eq \o(DC,\s\up16(→))得 eq \o(BD,\s\up16(→))＋ eq \o(DA,\s\up16(→))＝3 eq \o(DA,\s\up16(→))－3 eq \o(DC,\s\up16(→))，即 eq \o(BA,\s\up16(→))＝3 eq \o(CA,\s\up16(→))，又 eq \o(AC,\s\up16(→))＝(2，－1)，所以 eq \o(AB,\s\up16(→))＝3 eq \o(AC,\s\up16(→))＝(6，－3). 解析：向量a＝(0，4)，b＝(3，6)，c＝(－1，6)，若c＝λa＋μb，则(－1，6)＝λ(0，4)＋μ(3，6)＝(3μ，4λ＋6μ)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3μ＝－1，,4λ＋6μ＝6，))可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(μ＝－\f(1,3)，,λ＝2，))所以λ＋μ＝2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝ eq \f(5,3). eq \f(5,3) eq \a\vs4\al(二　平面向量共线的坐标表示) 思考　已知两向量a，b，则两个向量共线的充要条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ 提示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，则(x1，y1)＝λ(x2，y2)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝λx2，,y1＝λy2，))消去λ，得x1y2－x2y1＝0. [例2] (1)(多选)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，则下列向量与2a＋b平行的是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3))) B．(1，－3) C．(1，－2) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3))) (2)(对接教材例8)已知点A(－1，－1), B(1，3), C(1，5), D(2，7)，向量 eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(CD,\s\up16(→))平行吗？直线AB平行于直线CD吗？ 【解】　因为点A(－1，－1), B(1，3), C(1，5), D(2，7)，则 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，4), eq \o(CD,\s\up16(→))＝(1，2)，所以2×2－1×4＝0，得 eq \o(AB,\s\up16(→))∥ eq \o(CD,\s\up16(→))，因为 eq \o(AC,\s\up16(→))＝ (2，6), 而 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，4)，即有2×4－2×6＝－4≠0，则 eq \o(AC,\s\up16(→))与 eq \o(AB,\s\up16(→))不平行，即点A，B，C不共线，因此，直线AB与直线CD不重合，所以直线AB与直线CD平行． [跟踪训练2] (1)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．a＝(2， eq \r(2))，b＝(1， eq \r(2)) B．a＝( eq \r(3)，3)，b＝(1， eq \r(3)) C.a＝(1，0)，b＝(0，1) D．a＝(－2，6)，b＝(6，－2) 解析：对于A，因为2× eq \r(2)≠ eq \r(2)×1，所以a与b不是共线向量，可以作为基底，故A符合题意； 对于B，因为 eq \r(3)× eq \r(3)＝3×1，所以a∥b，不可以作为基底，故B不符合题意； (2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断 eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(AC,\s\up16(→))是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ 解：因为 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，3)－(－1，－1)＝(2，4)， eq \o(AC,\s\up16(→))＝(2，5)－(－1，－1)＝(3，6)， 因为2×6－3×4＝0， 所以 eq \o(AB,\s\up16(→))∥ eq \o(AC,\s\up16(→))，所以 eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(AC,\s\up16(→))共线． 又 eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→))，所以 eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(AC,\s\up16(→))的方向相同． eq \a\vs4\al(三　平面向量共线的应用) 角度1　利用向量共线求参数 [例3] (1)已知向量a＝(－2，3)，b＝(m－1，3m)，a∥(a＋2b)，则m＝(　　) A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2) C．－ eq \f(1,3) D．－ eq \f(1,2) 【解析】　方法一：因为a＝(－2，3)，b＝(m－1，3m)，故a＋2b＝(－2，3)＋2(m－1，3m)＝(2m－4，6m＋3)，又a∥(a＋2b)，故－2×(6m＋3)＝3×(2m－4)，解得m＝ eq \f(1,3). 方法二：由a∥(a＋2b)得a∥b，所以－2×3m＝3(m－1)，解得m＝ eq \f(1,3). (2)若向量 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，6)， eq \o(AC,\s\up16(→))＝(m，m＋1)，且A，B，C三点共线，则m＝________． 【解析】　因为A，B，C三点共线，则 eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(AC,\s\up16(→))共线，又 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，6)， eq \o(AC,\s\up16(→))＝(m，m＋1)，则2(m＋1)＝6m，解得m＝ eq \f(1,2). eq \f(1,2) 角度2　求点的坐标 [例4] (对接教材例9)已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且| eq \o(AP,\s\up16(→))|＝2| eq \o(PB,\s\up16(→))|，求点P的坐标． 【解】　设点P的坐标为(x，y)， 因为| eq \o(AP,\s\up16(→))|＝2| eq \o(PB,\s\up16(→))|， 所以当P在线段AB上时， eq \o(AP,\s\up16(→))＝2 eq \o(PB,\s\up16(→))， 所以(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝－2－2x，,y＋4＝4－2y，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝0，)) 所以点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))； 当P在线段AB的延长线上时， eq \o(AP,\s\up16(→))＝－2 eq \o(PB,\s\up16(→))， 所以(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝2＋2x，,y＋4＝－4＋2y，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝8，)) 所以点P的坐标为(－5，8). 综上所述，点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))或(－5，8). 母题探究　若将本例条件“| eq \o(AP,\s\up16(→))|＝2| eq \o(PB,\s\up16(→))|”改为“ eq \o(AP,\s\up16(→))＝3 eq \o(PB,\s\up16(→))”，其他条件不变，求点P的坐标． 解：设点P的坐标为(x，y). 因为 eq \o(AP,\s\up16(→))＝3 eq \o(PB,\s\up16(→))， 所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x，2－y)， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝－3－3x，,y＋4＝6－3y，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝\f(1,2)，)) 所以点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))). 利用向量共线求点的坐标的方法 (1)求点的坐标：把向量模的比例关系转化为向量数乘关系，再代入坐标运算； (2)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).若点P是线段P1P2的中点，则点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；若点P是直线P1P2上的一点，且 eq \o(P1P,\s\up16(→))＝λ eq \o(PP2,\s\up16(→))，则点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))). (2)在△ABC中，A(2，3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且 eq \o(AG,\s\up16(→))＝2 eq \o(GD,\s\up16(→))，则点C的坐标为______________． 解析：设点C的坐标为(x，y)，则点D的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8＋x,2)，\f(－4＋y,2))). 由 eq \o(AG,\s\up16(→))＝2 eq \o(GD,\s\up16(→))可得(0，－4)＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x,2)，－1＋\f(y,2)))，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4＋x＝0，,－2＋y＝－4，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，))故点C的坐标为(－4，－2). 1．(教材P33T1改编)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量 eq \f(1,2)a－ eq \f(3,2)b＝(　　) A．(－2，1) B．(2，－1) C．(－1，0) D．(－1，2) 解析：因为平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以 eq \f(1,2)a＝( eq \f(1,2)， eq \f(1,2))， eq \f(3,2)b＝( eq \f(3,2)， － eq \f(3,2))，则 eq \f(1,2)a－ eq \f(3,2)b＝(－1，2). 3．已知直角坐标平面上两点P1(－1，1)，P2(2，3)，若P满足 eq \o(P1P,\s\up16(→))＝2 eq \o(PP2,\s\up16(→))，则点P的坐标为_________________． 解析：方法一：设点P的坐标为(x，y)，因为点P1(－1，1)，P2(2，3)，所以 eq \o(P1P,\s\up16(→))＝(x＋1，y－1)， eq \o(PP2,\s\up16(→))＝(2－x，3－y)，因为 eq \o(P1P,\s\up16(→))＝2 eq \o(PP2,\s\up16(→))，所以(x＋1，y－1)＝2(2－x，3－y)，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1＝2(2－x)，,y－1＝2(3－y)，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\f(7,3)，))所以点P的坐标为(1， eq \f(7,3)). (1， eq \f(7,3)) 方法二：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， eq \o(P1P,\s\up16(→))＝λ eq \o(PP2,\s\up16(→))，则点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ)))，由 eq \o(P1P,\s\up16(→))＝2 eq \o(PP2,\s\up16(→))可得λ＝2，所以点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋2×2,3)，\f(1＋2×3,3)))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(7,3))). 4．(教材P33T3改编)已知O为坐标原点，在△ABC中，向量 eq \o(OA,\s\up16(→))＝(2，3)， eq \o(OB,\s\up16(→))＝(1，4)，且 eq \o(OC,\s\up16(→))＝3 eq \o(OA,\s\up16(→))， eq \o(OD,\s\up16(→))＝3 eq \o(OB,\s\up16(→))， eq \o(OE,\s\up16(→))＝2 eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→)).判断C，D，E三点是否共线． 解：因为 eq \o(OA,\s\up16(→))＝(2，3)，所以 eq \o(OC,\s\up16(→))＝3 eq \o(OA,\s\up16(→))＝3(2，3)＝(6，9)；又 eq \o(OB,\s\up16(→))＝(1，4)，所以 eq \o(OD,\s\up16(→))＝3 eq \o(OB,\s\up16(→))＝3(1，4)＝(3，12)；又 eq \o(OE,\s\up16(→))＝2 eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→))＝2(2，3)＋(1，4)＝(5，10)；因为 eq \o(CD,\s\up16(→))＝ eq \o(OD,\s\up16(→))－ eq \o(OC,\s\up16(→))＝(3，12)－(6，9)＝(－3，3)， eq \o(CE,\s\up16(→))＝ eq \o(OE,\s\up16(→))－ eq \o(OC,\s\up16(→))＝(5，10)－(6，9)＝(－1，1)，所以 eq \o(CD,\s\up16(→))＝3 eq \o(CE,\s\up16(→))，即 eq \o(CD,\s\up16(→))∥ eq \o(CE,\s\up16(→))，又直线CD与直线CE有公共点C，所以C，D，E三点共线． 1．已学习：平面向量数乘运算的坐标表示、两个向量共线的坐标表示． 2．须贯通：利用向量共线的坐标表示可以解决参数问题及三点共线问题；向量数乘运算的坐标表示及应用体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，只有当x2y2≠0时，a∥b⇔ eq \f(x1,x2)＝ eq \f(y1,y2). $