6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 　 第六章 单元学习三　平面向量基本定理及坐标表示 学习目标 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示. 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，培养数学运 算、逻辑推理的核心素养. 任务一　数乘运算的坐标表示 1 任务二　平面向量共线的坐标表示 2 任务三　向量坐标运算的综合运用 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　数乘运算的坐标表示 返回 (阅读教材P31，完成问题1) 问题1.已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？ 提示：λa＝λ(xi＋yj)＝λxi＋λyj，即λa＝(λx，λy). 问题导思 平面向量数乘运算的坐标表示 1.语言表示：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应 坐标. 2.坐标表示：a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝_________. 新知构建 (λx，λy) 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b； 解：2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a－3b； 解：a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). (3)a－b. 解：a－b＝(－1，2)－(2，1)＝－＝. 典例 1 规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行计算，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 对点练1.已知向量a＝，b＝，c＝(4，7). (1)求2a－3b＋c； 解：2a－3b＋c＝－＋(4，7)＝(17，－3). (2)求满足c＝ma＋nb的实数m，n. 解：因为c＝ma＋nb，所以＝m＋n＝， 所以 返回 任务二　平面向量共线的坐标表示 返回 (阅读教材P31，完成问题2) 问题2.已知a，b两个向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ 提示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，则有(x1，y1)＝λ(x2，y2)⇒消去λ，得x1y2－x2y1＝0. 问题导思 平面向量共线的坐标表示 新知构建 条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0 结论 向量a，b共线的充要条件是_______________ x1y2－x2y1＝0 角度1　向量共线的判定 (1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，－4)，则a与b A.平行且同向 B.平行且反向 C.垂直 D.不垂直也不平行 √ 典例 2 根据题意可知，b＝－2a，即a，b平行且反向.故选B. (2)(链接教材P31例7)已知向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，且a＋2b与2a－2b共 线，则λ＝___. 因为向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，所以a＋2b＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝(2－2λ，2).又a＋2b与2a－2b共线，所以(1＋2λ)×2－4×(2－2λ)＝0，解得λ＝. 规律方法 向量共线的判定方法 角度2　三点共线的应用 (链接教材P32例8)已知A(1，－3)，B(8，)，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线. 证明：＝＝，＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，因为7×4－×8＝0，所以∥，又直线AB，直线AC有公共点A，所以A，B，C三点共线. 典例 3 规律方法 三点共线的证明 1.由点的坐标得到相应向量的坐标. 2.根据坐标关系判断向量是否共线. 3.结合是否有公共点，判断三点是否共线. 对点练2.(1)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝_____. －1 由已知a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1，2)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0，所以m＝－1. (2)设＝(1，－2)，＝(3，4)，＝(t，1)，若A，B，C三点能构成三角形，求实数t应满足的条件. 由已知＝－＝(2，6)≠0，＝－＝(t－1，3). 若A，B，C三点共线，由向量共线定理可知，存在唯一的λ∈R，使得＝λ， 所以(t－1，3)＝λ(2，6)＝(2λ，6λ)，即解得λ＝，t＝2. 所以当t≠2时，A，B，C三点能构成三角形. 返回 任务三　向量坐标运算的综合运用 返回 角度1　定比分点问题 (链接教材P32例9)已知两点A(3，－4)和B(－9，2)，在直线AB上存在一点P，使｜｜＝｜｜，那么点P的坐标为______________________. 典例 4 (－1，－2)或(7，－6) 点P的坐标为(x，y)，由｜｜＝｜｜，可得＝＝ －，①若＝，则有(x－3，y＋4)＝(－12，6)，所以x－3＝－4，y＋4＝2，解得x＝－1，y＝－2，此时P(－1，－2)；②若＝ －，则有(x－3，y＋4)＝－(－12，6)，所以x－3＝4，y＋4＝－2，解得x＝7，y＝－6，此时P(7，－6).综上，点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6). 规律方法 1.用有向线段的定比分点坐标公式(λ≠－1)可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比. 2.若＝λ，其中λ≠0. (1)当λ＞0时，点P在线段P1P2上； (2)当λ＜－1时，点P在线段P1P2的延长线上； (3)当－1＜λ＜0时，点P在线段P1P2的反向延长线上. 角度2　求直线的交点坐标 如图，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标. 解：因为＝＝(0，5)＝， 所以C. 因为＝＝(4，3)＝， 所以D. 典例 5 设M(x，y)，则＝(x，y－5)， 因为∥，＝，所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.① 又＝，＝，∥， 所以x－4＝0，即7x－16y＝－20.② 联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为. 规律方法 求直线交点坐标 1.设交点坐标. 2.根据交点所在位置构造关于交点的共线向量. 3.列方程组求交点坐标. 对点练3.(1)已知M(－2，5)，N(10，－1)，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M，则点P的坐标为________. (2，3) 由题可知＝3，设P(x，y)，则＝(12，－6)，＝(x＋2，y－5)，3＝(3x＋6，3y－15)，所以⇒⇒P(2，3). (2)如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)， D(1，0)，则直线AC与BD的交点P的坐标为__________. 设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0).由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ).又因为＝－＝(5λ－4，4λ)，由共线，得(5λ－4)×6＋12λ＝0，解得λ＝，所以＝(x－1，y)＝，所以x＝，y＝，所以点P的坐标为. 返回 课堂小结 任务再现 (1)平面向量数乘运算的坐标表示.(2)两个向量共线的坐标表示 方法提炼 化归与转化 易错警示 两个向量共线的坐标表示的公式易记错 随堂评价 返回 1.已知向量a＝，b＝，那么2a＋b＝ A. B. C. D. √ 因为a＝，b＝，所以2a＋b＝2(1，－1)＋＝＋＝.故选A. 2.已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的 值为 A.－1或 B.1或－ C.－1 D. √ 非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，所以－2(m2－1)－1×(m＋1)＝0，且m≠－1，所以m＝.故选D. 3.已知＝(k，2)，＝(1，2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B， C共线，则实数k＝_____. － ＝－＝(1－k，2k－2)，＝－＝(1－2k，－3)，由题意可知∥，所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－(k＝1不合题意，舍去). 4.已知A，B，O为坐标原点，A，B，M三点共线，且＝＋λ，则点M的坐标为_________. 因为A，B，M三点共线，且＝＋λ，所以λ＝.又A，B，即＝(2，－1)，＝(－1，1)，所以＝(2，－1)＋(－1，1)＝，则点M的坐标为. 返回 课时分层评价 返回 1.下列向量组中，能作为基底的是 A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(2，－3)，e2＝(，－) √ 对于A，因为e1＝0，则有e1∥e2，e1与e2不能作为基底；对于B，因为e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)，(－1)×7－2×5≠0，则有e1与e2不共线，e1与e2可作基底；对于C，因为e1＝(3，5)，e2＝(6，10)，则有e2＝2e1，e1与e2不能作为基底；对于D，因为e1＝(2，－3)，e2＝(，－)，则有e1＝4e2，e1与e2不能作为基底.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c＝ A. B. C. D. √ 因为a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，且a－2b＋3c＝0，所以c＝－(a－2b)＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知点A(1，3)，B(m－5，1)，C(3，m＋1)，若A，B，C三点共线，则的坐标为 A.(－2，2) B.(2，－2) C.(2，2) D.(－2，－2) √ 由题意可知＝(m－6，－2)，＝(2，m－2).由于A，B，C三点共线，所以共线，则有(m－6)(m－2)＝－4⇒(m－4)2＝0⇒m＝4，所以＝(－2，－2).故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(一题多解)已知点O(0，0)，向量＝(2，3)，＝(6，－3)，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是 A. B. C.或 D.或 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 法一：因为＝(2，3)，＝(6，－3)，可得＝－＝(4，－6).又因为点P是线段AB的三等分点，则＝＝＝＝，所以＝＋＝＝＋＝.即点P的坐标为(，－1)或(，1).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 法二：由法一知，＝＝，设点P(x，y)，则＝－＝(x－2，y－3)，又＝－＝(4，－6)，所以即点P的坐标为.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是 A.2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B.存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C.xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D.a＝(1，－2)，b＝(－1，2) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，因为2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，解得a＝e，b＝－e，此时一定能使a，b共线，故A正确；对于B，存在相异实数λ，μ，使λa＝μb，由向量共线定理即可判定a，b共线，故B正确；对于C，当x＝y＝0时，a，b不一定共线，故C错误；对于D，a＝－b，由向量共线定理即可判定a，b共线，故D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知λ，μ∈R，＝(λ，1)，＝(－1，1)，＝(1，μ)，那么 A.＋＝(λ－1，1－μ) B.若∥，则λ＝2，μ＝ C.若A是BD的中点，则B，C两点重合 D.若点B，C，D共线，则μ＝1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，＋＝－＋－＝－＝(λ，1)－(1，μ)＝(λ－1，1－μ)，故A正确；对于B，若∥，则λμ＝1，故也可取λ＝3，μ＝，故B错误；对于C，若A是BD的中点，则＝－，即(λ，1)＝(－1，－μ)⇒λ＝μ＝－1，所以＝＝(－1，1)，所以B，C两点重合，故C正确；对于D，由于B，C，D三点共线，所以∥，＝－＝(－1，1)－(λ，1)＝(－1－λ，0)，＝－＝(1，μ)－(λ，1)＝(1－λ，μ－1)，则(－1－λ)×(μ－1)＝0×(1－λ)⇒λ＝－1或μ＝1，故D错误.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4).若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝______. － 3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以0－(－10－30k)＝0，解得k＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，则点G的坐标为 _____________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为D是AB的中点，所以点D的坐标为.因为＝2，所以＝2.设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得x＝＝，y＝＝，即点G的坐标为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知A(2，4)，B(－4，6)，若＝，＝，则的坐标为 _____________. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，＝，则(x1－2，y1－4)＝(－6，2)＝ (－9，3)，所以x1＝－7，y1＝7，即C(－7，7).＝，则(x2＋4，y2－6)＝(6，－2)＝，所以x2＝4，y2＝，即D，则＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1). (1)若＝，求D点的坐标； 解：设D(x，y)，则＝(1，－5)，＝(x－4，y－1). 因为＝，所以(1，－5)＝(x－4，y－1)， 即 所以D点的坐标为(5，－4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值. 解：由题意得a＝＝(1，－5)，b＝＝(2，3)， 所以ka－b＝(k－2，－5k－3)，a＋3b＝(7，4). 因为(ka－b)∥(a＋3b)， 所以4(k－2)＝7(－5k－3)， 解得k＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，－1)，c＝(－4，x)，若2a＋b，a－c反向共线，则实数x的值为 A.－7 B.3 C.3或－7 D.－3或7 √ 因为向量a＝(1，－2)，b＝(x，－1)，c＝(－4，x)，所以2a＋b＝(2＋x，－5)，a－c＝(5，－2－x).因为2a＋b，a－c反向共线，所以(2＋x)×(－2－x)－(－5)×5＝0，解得x＝3或x＝－7.又2a＋b，a－c反向共线，代入验证可知x＝3时为同向，舍去，x＝－7满足条件，所以x＝－7.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知在平面直角坐标系Oxy中，P1(3，1)，P2(－1，3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ)，则λ＝ A.－3 B.3 C.1 D.－1 √ 设＝(x，y)，因为向量与向量a＝(1，－1)共线，所以x＋y＝0，所以＝(x，－x).若＝λ＋(1－λ)，则(x，－x)＝λ(3，1)＋(1－λ)(－1，3)＝(4λ－1，3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知A(－3，0)，B(0，－2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，｜｜＝2，且∠AOC＝，设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝____. 由题设知，C在第三象限内，又｜｜＝2且∠AOC＝，所以C (－2，－2)，所以＝(－2，－2)，而＝(－3，0)，＝(0，－2)，则＝λ＋，即(－2，－2)＝λ(－3，0)＋(0，－2)＝(－3λ，－2)，可得λ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，用向量法求AC和OB的交点P的坐标. 解：设P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且 共线，所以4x＝4y，即x＝y. 又＝(x－4，y)，＝(－2，6)且共线，则 (x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3. 所以点P的坐标为(3，3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)设向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝(m，＋sin α)，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，则的取值范围为__________. [－6，1] 由a＝2b，知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以又cos2α＋2sin α＝－sin2α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2，所以－2≤cos2α＋2sin α≤2，所以－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2，所以≤m≤2.因为＝＝2－，所以－6≤2－≤1，所以的取值范围为[－6，1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边作正方形，以斜边为边的正方形的面积正好等于以两条直角边为边的正方形的面积之和.现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得到了如图所示的图形，若＝x＋y，求x＋y的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：如图所示，以A为原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为2a，则正方形DEHI的边长为a，正方形EFGC的边长为a，可得A(0，0)，B(2a，0)，D(0，2a)，DF＝(＋1)a，设F的坐标为(xF，yF)，则xF＝(＋1)a·cos 30°，yF＝(＋1)a·sin 30°＋2a，即F. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为＝x＋y，所以＝x(2a，0)＋y(0，2a)＝(2ax，2ay)，即则2ax＋2ay＝a＋a，化简得x＋y＝. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 $