6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 1 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示（直观想象）. 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示（数学运算）. 课标要求 　　上节课所学的平面向量基本定理告诉我们，指定基底之后，对平面上的任何一个向量都存在一组有序数对，使该向量具有唯一的分解方式.那这组有序数对能否称为“向量的坐标”呢？若建立了“向量的坐标”，可使抽象的向量数字化，对我们研究向量带来很多方便，下面让我们到知识的海洋里遨游吧！ 情景导入 知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示 01 知识点二　平面向量加、减运算的坐标表示 02 提能点　平面向量坐标运算的应用 03 目录 课时作业 04 4 知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示 01 PART 目 录 问题1　（1）如图，在平面直角坐标系中，设与x轴，y轴方向相同的两个 单位向量分别为i，j，这里的向量i，j长度和方向上有什么特点？ 提示：向量i，j都是单位向量且互相垂直. （2）i，j能作为平面内的一个基底吗？ 提示：能. （3）在平面直角坐标系中，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向 量a，可以用{i，j}表示成什么？ 提示：由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋ yj. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解. 互相垂直　 数学·必修第二册 目 录 2. 平面向量的坐标表示 （1）向量的坐标表示 数学·必修第二册 目 录 （2）向量坐标与点的坐标的关系 在直角坐标平面中，以原点O为起点作 ＝a，设 ＝xi＋yj，则向量 的坐标（x，y）就是 的坐标；反过来，终点A的坐标 （x，y）也就是向量 的坐标. 　　提醒：（1）点的坐标表示与向量的坐标表示不同，A（x，y），a ＝（x，y）；（2）当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐 标相同. 终点A　 数学·必修第二册 目 录 【例1】　（链接教材P29例3）如图所示，在边长为1的正方形ABCD中， AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及向量 与 的坐标. 数学·必修第二册 目 录 解：由题意及题图知B，D分别是30°角，120°角的终边与单位圆的 交点. 设B（x1，y1），D（x2，y2）， 由三角函数的定义，得x1＝ cos 30°＝ ，y1＝ sin 30°＝ ，x2＝ cos 120°＝－ ，y2＝ sin 120°＝ ， ∴B（ ， ），D（－ ， ）， 又A（0，0），∴ ＝（ ， ）， ＝（－ ， ）. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 求点和向量坐标的常用方法 （1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的 坐标； （2）在求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点 坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标. 数学·必修第二册 目 录 训练1　（1）已知 ＝（－2，4），则下列说法正确的是（　D　） A. 点A的坐标是（－2，4） B. 点B的坐标是（－2，4） C. 当B是原点时，点A的坐标是（－2，4） D. 当A是原点时，点B的坐标是（－2，4） D 数学·必修第二册 目 录 （2）已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标 系，i是与x轴方向相同的单位向量，j是与y轴方向相同的单位向量，则 和 的坐标分别为 ⁠. 解析：由题图知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，因为 AB＝4，AD＝3，所以 ＝4i＋3j，所以 ＝（4，3）；因为 ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－4i＋3j，所以 ＝（－4，3）. （4，3），（－4，3）　 数学·必修第二册 目 录 知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示 02 PART 目 录 问题2　（1）已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a －b的坐标吗？ 提示：a＋b＝（x1i＋y1j）＋（x2i＋y2j）＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2） j，即a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）.同理可得a－b＝（x1－x2，y1－y2）. （2）如图，已知A（x1，y1），B（x2，y2），怎样求 的坐标？ 提示： ＝ － ＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则： （1）a＋b＝ ；a－b＝ ⁠ ，即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 （差）； （x1＋x2，y1＋y2）　 （x1－x2，y1－ y2）　 数学·必修第二册 目 录 （2）向量坐标的几何意义： 如图所示，在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），则 ＝（x1，y1）， 若A（x1，y1），B（x2，y2），则 ＝ . 结论：（1）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 ⁠的坐 标减去 的坐标； （2）两向量相等，对应坐标分别 ⁠. （x2－x1，y2－y1）　 终点　 起点　 相等　 数学·必修第二册 目 录 【例2】　（1）（链接教材P29例4）已知向量a＝（2，4），a＋b＝ （3，2），则b＝ ，b－a＝ ⁠； 解析： b＝a＋b－a＝（3，2）－（2，4）＝（1，－2）.b－a＝ （1，－2）－（2，4）＝（－1，－6）. （2）已知A（1，－2），B（2，1），C（3，2）和D（－2，3），则 ＋ ＋ 的坐标为 ⁠. 解析： ＝（－3，5）， ＝（－4，2）， ＝（－5，1），所 以 ＋ ＋ ＝（－3，5）＋（－4，2）＋（－5，1）＝（－12，8）. （1，－2）　 （－1，－6）　 （－12，8）　 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行 计算； （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进行向 量的坐标运算； （3）向量的坐标运算可类比数的运算进行. 数学·必修第二册 目 录 训练2　已知点A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），设 ＝ a， ＝b， ＝c，且 ＝c， ＝b. （1）求a＋b－c； 解：由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1，8）.　 （1）a＋b－c＝（5，－5）＋（－6，－3）－（1，8）＝（－2，－ 16）. 数学·必修第二册 目 录 （2）求点M，N的坐标及向量 的坐标. 解： 设O为坐标原点， ∵ ＝ － ＝c， ∴ ＝c＋ ＝（1，8）＋（－3，－4）＝（－2，4）， ∴M（－2，4）. 又∵ ＝ － ＝b， ∴ ＝b＋ ＝（－6，－3）＋（－3，－4）＝（－9，－7）， ∴N（－9，－7）， ∴ ＝（－9，－7）－（－2，4）＝（－7，－11）. 数学·必修第二册 目 录 03 PART 提能点 平面向量坐标运算的应用 目 录 提能点｜平面向量坐标运算的应用 【例3】　（链接教材P30例5）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点 B，C，D的坐标分别是（－1，3），（3，4），（2，2），求： （1）向量 的坐标； 解：因为点B，C的坐标分别是（－1，3）， （3，4）， 所以 ＝（3，4）－（－1，3）＝（4，1）. 数学·必修第二册 目 录 （2）顶点A的坐标. 解： 设顶点A的坐标为（x，y）， 因为四边形ABCD为平行四边形，点D的坐标是（2，2），所以 ＝（2 －x，2－y）， 所以 ＝ ，即（4，1）＝（2－x，2－y）， 所以 解得 所以顶点A的坐标为（－2，1）. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 坐标形式下向量相等的条件及应用 （1）条件：相等向量的对应坐标相等； （2）应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系即构造 方程（组），由此可以求出某些参数的值或点的坐标. 数学·必修第二册 目 录 训练3　已知点A（2，3），B（5，4）， ＝（5λ，7λ）（λ∈R）.若 ＝ ＋ ，试求λ为何值时： （1）点P在第一、三象限的角平分线上； 解：设点P的坐标为（x，y），则 ＝（x，y）－（2，3）＝（x－ 2，y－3）， ＋ ＝（5，4）－（2，3）＋（5λ，7λ）＝（3，1）＋ （5λ，7λ）＝（3＋5λ，1＋7λ）.∵ ＝ ＋ ，且 与 不共线，∴ 则 （1）若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝ . 数学·必修第二册 目 录 （2）点P在第三象限内. 解： 若点P在第三象限内，则 ∴λ＜－1. 数学·必修第二册 目 录 1. 已知向量a＝（1，2），b＝（3，1），则b＋a＝（　　） A. （－2，1） B. （2，－1） C. （2，0） D. （4，3） 解析：　因为a＝（1，2），b＝（3，1），所以b＋a＝（3，1）＋ （1，2）＝（4，3）.故选D. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 如果用i，j分别表示与x轴和y轴方向相同的单位向量，且A（2， 3），B（4，2），则 可以表示为（　　） A. 2i＋3j B. 4i＋2j C. 2i－j D. －2i＋j 解析：　设O为坐标原点，因为A（2，3），B（4，2），所以 ＝2i ＋3j， ＝4i＋2j，所以 ＝ － ＝4i＋2j－2i－3j＝2i－j. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 如图，分别用基底{i，j}表示向量 a，b，c，则a＋b＋c＝（　　） A. （－4，6） B. （－6，0） C. （－2，－4） D. （0，2） 解析：　因为a＝－i－3j＝（－1，－3），b＝－3i＋j＝（－3， 1），c＝2i－2j＝（2，－2），所以a＋b＋c＝（－2，－4）. √ 数学·必修第二册 目 录 4. 已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边 AB，AD分别落在x轴，y轴的非负半轴上，则向量 － ＋ 的坐标 为 ⁠. 解析：因为 － ＋ ＝ ＋（ ＋ ）＝ ＋ ，由题意得A （0，0），B（1，0），所以 ＝（1，0），故 － ＋ ＝ ＋ ＝（1，0）＋（1，0）＝（2，0）. （2，0）　 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）平面向量的正交分解及坐标表示； （2）平面向量加、减运算的坐标表示； （3）平面向量坐标运算的应用. 2.应体会 平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是 要求两个向量互相垂直；向量的和与差的坐标就是它们对应向量坐标的 和与差；两个向量相等，则它们的坐标相同. 3.避易错 （1）向量的坐标不一定是终点的坐标； （2） 的坐标一定是终点B的坐标减去起点A的坐标. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 已知向量a＝（m，2），b＝（1，－2），若a＋b＝0，则实数m的值 为（　　） A. －4 B. 4 C. －1 D. 1 解析：　由题意，向量a＝（m，2），b＝（1，－2），所以a＋b＝ （m＋1，0）＝（0，0），可得m＋1＝0，解得m＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 在平面直角坐标系xOy内， 已知点A（－1，1）， ＝（1，－2）， 则 ＝（　　） A. （2，－3） B. （0，－1） C. （－2，3） D. （0，1） 解析：　因为点A（－1，1），所以 ＝（－1，1），故 ＝ ＋ ＝（－1，1）＋（1，－2）＝（0，－1）.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 若 ＝（3，4），A点的坐标为（－2，－1），则B点的坐标为 （　　） A. （1，3） B. （5，5） C. （1，5） D. （5，4） 解析：　设B（x，y），∵A点的坐标为（－2，－1），∴ ＝（x＋ 2，y＋1）.又∵ ＝（3，4），∴ 解得 即B点的 坐标为（1，3）.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，P是函数y＝ sin x图象的最高点，Q 是y＝ sin x的图象与x轴的交点，则 ＋ 的坐标是（　　） A. （ ，1） B. （π，0） C. （－π，0） D. （2π，0） 解析：　由题意以及题图可知Q（π，0），O（0，0），所以 ＋ ＝ ＝（π，0）.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 已知平行四边形ABCD中， ＝（3，7）， ＝（－2，3），对角线 为AC，BD，则 － ＝（　　） A. （1，10） B. （5，4） C. （－4，6） D. （－5，2） 解析：　因为四边形ABCD为平行四边形，所以 ＝ ＋ ＝（1， 10）， ＝ － ＝（5，4），所以 － ＝（1，10）－（5， 4）＝（－4，6）.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕在平面直角坐标系xOy内，下面四种说法正确的有（　　） A. 相等向量的坐标相同 B. 平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C. 一个坐标对应唯一的一个向量 D. 平面上一个点的坐标与以原点为始点、该点为终点的向量的坐标一一 对应 解析： 　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向 量，故C错误，A、B、D正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 若A（2，－1），B（4，2），C（1，5），则 ＋ ＝  　  　. 解析：法一　由题意得 ＝（2，3）， ＝（－3，3），所以 ＋ ＝（2，3）＋（－3，3）＝（－1，6）. （－1， 6） 法二　 ＋ ＝ ＝（－1，6）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 如图，向量a，b，c的坐标分别是 ， ⁠ ， ⁠. （－4，0）　 （0， 6）　 （－2，－5）　 解析：将各向量分别向i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0j，所以a＝ （－4，0）；b＝0i＋6j，所以b＝（0，6）；c＝－2i－5j，所以c＝ （－2，－5）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 已知i，j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为 坐标原点，设 ＝（x2＋x＋1）i－（x2－x＋1）j（x∈R），则点A位 于第 ⁠象限 解析：由题意得A（x2＋x＋1，－x2＋x－1），∵x2＋x＋1＝（x＋ ）2 ＋ ＞0，同理得－x2＋x－1＜0，∴点A位于第四象限. 四　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3， 2）. （1）若 ＝ ＋ ，求点P的坐标； 解： 因为 ＝（1，2）， ＝（2，1）， 所以 ＝（1，2）＋（2，1）＝（3，3）， 即点P的坐标为（3，3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）若 ＋ ＋ ＝0，求 的坐标. 解： 设点P的坐标为（x，y），因为 ＋ ＋ ＝0， 又 ＋ ＋ ＝（1－x，1－y）＋（2－x，3－y）＋（3－x，2－y） ＝（6－3x，6－3y）. 所以 解得 所以点P的坐标为（2，2），故 ＝（2，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 已知向量 与a＝（6，－8）的夹角为π，且｜ ｜＝｜a｜，若点 A的坐标为（－1，2），则点B的坐标为（　　） A. （－7，10） B. （7，10） 解析：由题意知， 与a方向相反，且｜ ｜＝｜a｜，∴ ＋a＝0.设B（x，y），则 ＝（x＋1，y－2），∴ 解得 故点B的坐标为（－7，10）. √ C. （5，－6） D. （－5，6） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 已知对任意平面向量 ＝（x，y），把 绕其起点沿逆时针方向旋 转θ角得到向量 ＝（x cos θ－y sin θ，x sin θ＋y cos θ），叫做点B绕点 A沿逆时针方向旋转θ角得到点P. 已知平面内点A（0，1），点B（ ， 1－2 ），把点B绕点A沿顺时针方向旋转 后得到点P，则点P的坐标 为（　　） A. （－3，－1） B. （－3，0） C. （－1，－2） D. （－1，－3） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　因为A（0，1），B（ ，1－2 ），所以 ＝（ ，－ 2 ），将向量 绕起点A沿顺时针方向旋转 ，即逆时针方向旋转－ ，得到 ＝（ cos （－ ）－（－2 ） sin （－ ）， sin （－ ）＋（－2 ） cos （－ ）），化简得 ＝（－1，－3），所以点P 的坐标为（－1，－2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 〔多选〕已知A（3，2），B（5，4），C（6，7），则以A，B，C 为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为（　　） A. （4，5） B. （8，9） C. （2，－1） D. （3，－1） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　设点D的坐标为（x，y）.若是平行四边形ABCD，则有 ＝ ，即（5－3，4－2）＝（6－x，7－y），解得x＝4，y＝5，所以所 求顶点D的坐标为（4，5），所以A正确；若是平行四边形ABDC，则有 ＝ ，即（5－3，4－2）＝（x－6，y－7），解得x＝8，y＝9，所 以所求顶点D的坐标为（8，9），所以B正确；若是平行四边形ACBD， 则有 ＝ ，即（6－3，7－2）＝（5－x，4－y）， 解得x＝2，y＝ －1，所以所求顶点D的坐标为（2，－1），所以C正确.综上，顶点D的 坐标为（4，5）或（8，9）或（2，－1）.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 如图，已知O是平面直角坐标系的原点，∠OAB＝∠ABC＝120°，｜ ｜＝｜ ｜＝2｜ ｜＝4. （1）求 的坐标； 解：过点B作BE⊥x轴于点E， 如图所示. 因为∠OAB＝120°，所以∠EAB＝60°， 又｜ ｜＝2， 所以在Rt△ABE中，AE＝1，BE＝ ， 又｜ ｜＝4， 所以A（4，0），B（5， ）， 所以 ＝（1， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）若四边形ABCD为平行四边形，求点D的坐标. 解： 过点C作CF⊥x轴于点F，过点B作BM⊥CF于点M，如图所示. 在Rt△CMB中，｜ ｜＝4，∠CBM＝60°，所以BM＝2，CM＝2 ， 所以CF＝CM＋MF＝CM＋BE＝3 ，OF＝OE－BM＝3，即C（3， 3 ）， 设点D（x，y），因为四边形ABCD为平行四边形，所以 ＝ ， 又 ＝（1， ）， ＝（3－x，3 －y）， 所以 解得 所以点D的坐标为（2，2 ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 已知向量u＝（x，y）和向量v＝（y，2y－x）的对应关系可以用v ＝f（u）表示. （1）若a＝（1，1），b＝（1，0），试求向量f（a）及f（b）的坐 标； 解： 由v＝f（u）可得，当u＝（x，y）时，有v＝（y，2y－x） ＝f（u），从而f（a）＝（1，2×1－1）＝（1，1），f（b）＝（0， 2×0－1）＝（0，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）求使f（c）＝（4，5）的向量c的坐标. 解： 设c＝（x，y），则f（c）＝（y，2y－x）＝（4，5）， 所以 解得 即c＝（3，4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $