5 6.2.4 第2课时 向量的数量积(二)（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦向量数量积的运算律、模与夹角计算及垂直关系判断，通过类比实数乘法及数乘运算律导入，引导学生思考数量积运算律，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以“思考-提示”驱动探究，结合运算律推导和单位向量夹角计算等实例，培养数学思维中的推理能力与数学语言表达。课堂小结系统梳理方法，帮助学生构建知识网络，教师可通过结构化内容提升教学针对性和效率。

第2课时　向量的数量积(二) 1 新课导入 学习目标 　　在前面，我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？数量积还能解决哪些问题呢？ 1.掌握平面向量数量积的运算律，会利用运算律进行数量积的运算． 2．理解平面向量数量积的性质，能利用数量积解决向量的模与夹角问题． 3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 思考　向量的数量积是否满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的分配律？ 提示：向量的数量积满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的分配律． 返回导航 [知识梳理] 1．向量数量积的运算律 已知向量a，b，c和实数λ，则 (1)交换律：a·b＝_____； (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝______； (3)分配律：(a＋b)·c＝____________． b·a a·(λb) a·c＋b·c 返回导航 2．向量数量积的常用结论 (1)(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2； (2)a2－b2＝(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； (3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)； (4)a2＋b2＝0⇔a＝b＝0. 返回导航 × √ × × 返回导航 2．已知向量a，b满足|a|＝2，a·b＝1，则a·(a＋2b)＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：因为|a|＝2，a·b＝1，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝6. √ 返回导航 3．若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝________． 返回导航 数量积运算的两个关键点 (1)求含向量线性运算的数量积：利用向量数量积的运算律转化为直接利用公式求解的问题； (2)涉及含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 √ 解析：由题意得，(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－4|a||b|cos 60°＋|b|2＝7，即|b|2－2|b|－3＝0，由|b|>0，解得|b|＝3. 返回导航 (2)已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|3a－b＋2c|＝________． 返回导航 返回导航 母题探究　本例条件不变，求向量3a＋b与a的夹角的余弦值． 返回导航 求向量夹角的基本步骤 返回导航 返回导航 向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是若a，b为非零向量，a⊥b ⇔a·b＝0，利用向量数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题． 提醒　零向量与任意向量垂直． 返回导航 解析：由已知|a＋b|＝4，即a2＋b2＋2a·b＝4＋b2＋2a·b＝16，又(b－a)⊥b，则(b－a)·b＝b2－a·b＝0，解得b2＝4，故|b|＝2. √ 返回导航 (2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，a·b＝－1，则cos 〈a－b，a〉＝___． 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 √ 返回导航 √ 返回导航 3．(教材P23T11改编)已知向量a，b满足|a|＝2，|a＋2b|＝|a－b|，则|a＋b|＝________． 2 返回导航 4．(教材P24T18改编)已知|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－6. (1)求向量a与b的夹角大小； 返回导航 (2)求|a＋2b|. 返回导航 1．已学习：向量数量积的运算律、求向量的模和夹角、向量垂直的应用． 2．须贯通：求向量的数量积要灵活应用其运算律；求向量的模时，则要灵活应用模的计算公式；用向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的思想方法． 3．应注意：(a·b)c＝a(b·c)不一定成立． 返回导航 eq \a\vs4\al(一　向量数量积的运算律) 通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向量的数乘运算满足结合律λ(μa)＝(λμ)a，分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb(λ，μ∈R). [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　) (2)对于非零向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c).(　　) (3)对于任意两个非零向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.(　　) (4) eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(CD,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))·( eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→)))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AD,\s\up16(→)).(　　) 解析：由单位向量e1，e2的夹角为60°，得e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝ eq \f(1,2)，所以(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e eq \o\al(2,1)＋2e eq \o\al(2,2)＋e1·e2＝－6＋2＋ eq \f(1,2)＝－ eq \f(7,2). － eq \f(7,2) eq \a\vs4\al(二　向量模的计算) [例1] (1)已知|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则|a－b|＝(　　) A．1 B． eq \r(2) C． eq \r(3) D．2 【解析】　由已知得a·b＝1×2×cos 60°＝1，所以|a－b|＝ eq \r((a－b)2)＝ eq \r(a2－2a·b＋b2)＝ eq \r(1－2×1＋4)＝ eq \r(3). 【解析】　根据题意可得 eq \o(AC,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))， eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(AD,\s\up16(→))－ eq \o(AB,\s\up16(→))， 因为 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＝2，即 eq \o(AB,\s\up16(→))·( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→)))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))2＋ eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AD,\s\up16(→))＝2，所以 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AD,\s\up16(→))＝－2， | eq \o(BD,\s\up16(→))|2＝( eq \o(AD,\s\up16(→))－ eq \o(AB,\s\up16(→)))2＝ eq \o(AD,\s\up16(→))2－2 eq \o(AD,\s\up16(→))· eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AB,\s\up16(→))2＝12，即| eq \o(BD,\s\up16(→))|＝2 eq \r(3). (2)已知菱形ABCD的边长为2， eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＝2，则| eq \o(BD,\s\up16(→))|＝________． 2 eq \r(3) 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模的问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ eq \r(a2)，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [跟踪训练1] (1)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝1，|2a－b|＝ eq \r(7)，则|b|＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：因为a，b，c是两两垂直的单位向量，所以a2＝1，b2＝1，c2＝1，a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0， 所以|3a－b＋2c|＝ eq \r(9a2＋b2＋4c2－6a·b＋12a·c－4b·c)＝ eq \r(14). eq \r(14) eq \a\vs4\al(三　向量的夹角与垂直) 角度1　求两向量的夹角 [例2] 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|2a－b|＝2 eq \r(3)，求向量a，b的夹角． 【解】　由|2a－b|＝2 eq \r(3)， 得|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝12， 即4－4×1×2cos 〈a，b〉＋4＝12， 则cos 〈a，b〉＝－ eq \f(1,2)， 因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝ eq \f(2π,3). 解：(3a＋b)·a＝3a2＋a·b＝3＋1×2×cos eq \f(2π,3)＝3－1＝2， |3a＋b|＝ eq \r((3a＋b)2)＝ eq \r(9a2＋6a·b＋b2)＝ eq \r(9－6＋4)＝ eq \r(7)， 所以cos 〈3a＋b，a〉＝ eq \f((3a＋b)·a,|3a＋b||a|)＝ eq \f(2,\r(7))＝ eq \f(2\r(7),7). 角度2　利用数量积解决向量的垂直问题 [例3] 已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角为 eq \f(2π,3).当实数k为何值时，(a＋kb)⊥(a－b). 【解】　由已知得a·b＝|a||b|cos eq \f(2π,3)＝4×8× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－16， 因为(a＋kb)⊥(a－b)， 所以(a＋kb)·(a－b)＝a2＋(k－1)a·b－kb2＝16－16(k－1)－64k＝0， 即2－5k＝0，解得k＝ eq \f(2,5). [跟踪训练2] (1)已知向量a，b满足|a|＝2，|a＋b|＝4，且(b－a)⊥b，则|b|＝(　　) A．1 B． eq \r(2) C． eq \r(3) D．2 解析：由|a|＝1，|b|＝3，a·b＝－1，得(a－b)·a＝a2－a·b＝2，|a－b|＝ eq \r(a2＋b2－2a·b)＝2 eq \r(3)， cos 〈a－b，a〉＝ eq \f((a－b)·a,|a－b||a|)＝ eq \f(2,2\r(3))＝ eq \f(\r(3),3). eq \f(\r(3),3) 1．已知单位向量a，b的夹角为 eq \f(π,3)，则a·(2b－a)＝(　　) A．－1 B．－ eq \f(1,2) C．0 D．1 解析：由题知|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|·cos eq \f(π,3)＝ eq \f(1,2)，所以a·(2b－a)＝2a·b－a2＝2× eq \f(1,2)－1＝0. 解析：因为a·(λa－b)＝λa2－a·b＝4λ－2× eq \r(3)×cos 30°＝0，所以4λ＝3，解得λ＝ eq \f(3,4). 2．已知向量a与b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝ eq \r(3)，若a⊥(λa－b)，则实数λ＝(　　) A． eq \f(3,4) B．1 C． eq \f(4,3) D．2 解析：由|a＋2b|＝|a－b|，得a2＋4a·b＋4b2＝a2－2a·b＋b2，整理得b2＋2a·b＝0，所以|a＋b|＝ eq \r((a＋b)2)＝ eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝ eq \r(a2)＝2. 解：由(a＋b)·(a－2b)＝－6可得a2－a·b－2b2＝|a|2－|a||b|cos 〈a，b〉－2|b|2＝－6， 所以1－1×2cos 〈a，b〉－2×22＝－6， 解得cos 〈a，b〉＝－ eq \f(1,2)， 且〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝ eq \f(2π,3). 解：|a＋2b|＝ eq \r((a＋2b)2) ＝ eq \r(|a|2＋4|a||b|cos \f(2π,3)＋4|b|2) ＝ eq \r(1＋4×1×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋4×22)＝ eq \r(13). $