09 6.2.4 第1课时 向量的数量积（一）（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量的数量积（一），核心涵盖向量夹角、数量积及投影向量。以物理中力做功实例导入，从具体情境抽象出数量积概念，搭建“实际问题—数学抽象—概念形成”的学习支架，衔接向量运算前序知识。 其亮点在于以数学眼光观察物理现象抽象概念，通过例1求等边三角形中向量夹角、例2计算数量积等实例，用数学思维引导逻辑推理，以规范符号语言表达公式推导。采用情境导入、例题解析与跟踪训练结合的教学方法，课堂小结明确数量积与投影向量的本质区别，助力学生深化理解，也为教师提供清晰教学路径。

第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积 第1课时 向量的数量积（一） 1 1 2 新知学习 探究 课堂巩固 自测 2 学习目标 1.理解平面向量夹角的概念，会求两向量的夹角. 2.理解平面向量数量积的 概念，会计算平面向量的数量积. 3.通过几何直观了解平面向量投影的概 念以及投影向量的意义. 3 PART 01 第一部分 新知学习 探究 4 我们在物理课中学过，力与物体在力的作用下产生的位移的乘积称为 力对物体所做的功，如图所示，如果作用在小车上的力的大小为 ，小 车在水平面上的位移的大小为 ，力的方向与小车位移的方向的夹角为 ，那么这个力所做的功为 . 新知学习 探究 返回目录 5 思考1 功与力向量及位移向量有关，这三者之间有什么关系，功 是 向量还是数量？ 提示：与及的关系为.功 是数量. 思考2 给定任意两个向量, ，能确定出一个和功类似的数量吗？ 提示：向量的数量积 . 新知学习 探究 返回目录 一 两向量的夹角 1.定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作, , 则叫做向量与 的夹角. 新知学习 探究 返回目录 7 2.三种特殊情况 与的夹角 与 的关系 与 ①______ 与 ②______ 与 ③______，记作④______ 同向 反向 垂直 新知学习 探究 返回目录 例1 如图，在等边三角形中，点，，分别是边，， 的中 点，写出下列各组向量的夹角. 新知学习 探究 返回目录 9 （1）与 ； 【解】与的夹角是 . （2）与 ； [答案] 因为，所以与的夹角等于与 的夹角，即 . （3）与 . [答案] 如图，延长至，使，则 ， 则与的夹角等于与的夹角，即 . 新知学习 探究 返回目录 10 （1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作 两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. （2）特别地，与的夹角为 ，与（， 是非零常数）的夹角 为，当时， ；当时， . 新知学习 探究 返回目录 11 ［跟踪训练1］ 如图，已知 是等边三角形. 新知学习 探究 返回目录 12 （1）求向量与 的夹角； 解：因为为等边三角形，所以 . 如图，延长至点,使，则,所以 为向量与 的夹角. 因为 ，所以 , 所以向量与的夹角为 . 新知学习 探究 返回目录 （2）若为的中点，求向量与 的夹角. 解：因为为的中点，所以 ， 所以向量与的夹角为 . 新知学习 探究 返回目录 14 二 向量的数量积 1.定义：已知两个非零向量与,它们的夹角为 ,把数量①___________叫 做向量与的数量积（或内积）,记作,即 ②___________. 规定：零向量与任一向量的数量积为③___. 0 新知学习 探究 返回目录 15 2.性质 设,是非零向量,它们的夹角是 ,是与 方向相同的单位向量,则 （1） . （2） ④___. （3）当与同向时,⑤______；当与反向时, ⑥________. 特别地,⑦_____或 . （4）由还可以得到⑧___ . （5） . 0 新知学习 探究 返回目录 16 例2（1）（对接教材例9）已知向量与的夹角 为 ，且 ， ，求： ① ; ② ; 【解】由题意得 . 【解】 . 新知学习 探究 返回目录 17 ② ； ③ . 【解】 因为与的夹角为 ，所以 . （2）已知正三角形 的边长为1，求： ① ； 【解】因为与的夹角为 ，所以 . 【解】 因为与的夹角为 ，所以 . 新知学习 探究 返回目录 18 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式<m></m>.运 用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角,条件是两向量的起点必须 重合,否则,要通过平移使两向量符合以上条件. 新知学习 探究 返回目录 19 ［跟踪训练2］ （1）若,,与的夹角 为 ,则 ( ) D A.12 B. C. D. 【解析】 选 .故选D. 新知学习 探究 返回目录 20 （2）已知满足，， ，则 ( ) D A. B.7 C.25 D. 【解析】 选D.由题得，所以 ，所以原式 .故选D. 新知学习 探究 返回目录 21 三 投影向量 1.定义 如图，设,是两个非零向量，,,过的起点 和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为， ， 投影 投影向量 2.公式 设与方向相同的单位向量为,与的夹角为 ,则向量在向量 上的投影 向量是⑤__________. 得到，我们称上述变换为向量向向量①______， 叫做向量② ___在向量③___上的④__________. 新知学习 探究 返回目录 22 例3（1）已知,,,与同向的单位向量为,则向量 在向量 上的投影向量是( ) A A. B. C. D. 【解析】 根据投影向量的定义，设，的夹角为 ,可得向量在向量 上的投影向量是 . 新知学习 探究 返回目录 23 （2）已知,为与方向相同的单位向量.若在 上的投影向量为 ,则 ___. 4 解析：设与的夹角为 ,且，所以,又因为 在 上的投影向量为,所以,所以，所以 . 新知学习 探究 返回目录 24 求投影向量的方法 （1）依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投 影向量. （2）首先根据题意确定向量<m></m>的模，与<m></m>同向的单位向量<m></m>,及两向量<m></m>与<m></m> 的夹角<m></m> ,然后依据公式<m></m>计算向量<m></m>在向量<m></m>上的投影向量. （3）向量<m></m>在<m></m>上的投影向量可表示为<m></m>. ［提醒］ <m></m>表示与<m></m>同向的单位向量. 新知学习 探究 返回目录 25 ［跟踪训练3］ （1）在等腰梯形中，，则向量 在向量 上的投影向量为( ) C A. B. C. D. 【解析】 选C.如图，过点D，C分别作 ， 于点，，在等腰梯形中， ， 可得，则 ，故向 量在向量上的投影向量为 . 新知学习 探究 返回目录 26 （2）已知向量，,且，则向量在向量 上的投影向 量为____. 解析：依题意向量在向量上的投影向量为 . 新知学习 探究 返回目录 27 PART 02 第二部分 课堂巩固 自测 28 1.已知在中, ,则与 的夹角为( ) D A. B. C. D. 【解析】 选D.如图,与的夹角与的值相等，等于 .故选D. 课堂巩固 自测 返回目录 29 2.（教材PT改编）已知,,与的夹角是 ，则 ( ) B A.3 B. C. D. 【解析】 选B.由向量数量积的定义，得 .故选B. 课堂巩固 自测 返回目录 30 3.（教材PT改编）若,,向量与向量的夹角为 ，则 向量在向量 上的投影向量为( ) D A. B. C. D. 【解析】 选D.向量在向量上的投影向量是 , .故选D. 课堂巩固 自测 返回目录 31 4.两个向量的夹角的取值范围是______.当与同向时，夹角为___.当与 反向时，夹角为___. 0 解析：根据向量夹角的定义可知，两个向量的夹角的取值范围是 ， 当与同向时，夹角为0，当与反向时，夹角为 . 课堂巩固 自测 返回目录 32 5.在中，弦长为2， ___. 2 解析：过作于点，则点为 的中点， . 课堂巩固 自测 返回目录 33 1.已学习：向量的夹角、向量的数量积、投影向量. 2.须贯通：向量的数量积是一个实数，不是向量；向量在向量 上的投影 向量是一个向量，不是数；二者都离不开向量的夹角，而解决向量的夹角 时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法. 3.应注意：（1）用几何法求两个向量的夹角时，两个向量需共起点； （2）向量在向量上的投影向量与向量在向量 上的投影向量不同. 课堂巩固 自测 返回目录 34 $