4 6.2.4 第1课时 向量的数量积(一)（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦向量的夹角、数量积及投影向量，以初中物理功的概念导入，通过“实际问题—抽象概念—性质应用”的脉络，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解知识形成过程。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合几何图形分析夹角计算、数量积性质及投影向量公式，培养数学抽象与逻辑推理能力。课堂小结明确概念差异，强化数学表达，学生能深化理解，教师可提升教学效率。

6．2.4　向量的数量积 第1课时　向量的数量积(一) 1 新课导入 学习目标 在初中物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角．受此启发，我们引入向量“数量积”的概念． 1.理解平面向量夹角的概念，会求两向量的夹角． 2．理解平面向量数量积的概念，会计算平面向量的数量积． 3．通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 思考　功只与所受力的大小与移动的位移有关，对吗？ 提示：不对，还与力与位移夹角的大小有关． 返回导航 返回导航 2．三种特殊情况 同向 反向 垂直 a⊥b 返回导航 × √ × 返回导航 √ 返回导航 3．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是________；a－b与a的夹角是________． 30° 60° 返回导航 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ. 返回导航 提示：不是，是标量． 返回导航 [知识梳理] 1．定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量____________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝____________． 规定：零向量与任一向量的数量积为___． |a||b|cos θ |a||b|cos θ 0 返回导航 2．性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝___． 0 |a||b| －|a||b| |a|2 ≤ (4)由|cos θ|≤1还可以得到|a·b|___|a||b|. 返回导航 √ 返回导航 3 返回导航 返回导航 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 返回导航 [跟踪训练1] (1)已知向量b＝－2a，|a|＝3，则a·b＝(　　) A．－6 B．6 C．－18 D．18 解析：因为向量b＝－2a，|a|＝3，所以|b|＝6，且〈a，b〉＝180°，则a·b＝3×6×cos 180°＝－18. √ 返回导航 －2 返回导航 提示：|OD|＝|OA|cos θ. 返回导航 2．公式 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在 向量b上的投影向量是____________． 投影 a b 投影向量 |a|cos θ e 返回导航 √ 返回导航 返回导航 求投影向量的方法 (1)依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量． (2)首先根据题意确定向量a的模，与b同向的单位向量e，及向量a与b的夹角θ，然后依据公式|a|cos θ e计算向量a在向量b上的投影向量． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 4．(教材P20T1改编)已知|a|＝2，|b|＝4，按下列条件分别求a·b. (1)向量a，b的夹角为120°； 返回导航 (2)a∥b； 解：由a∥b，可知向量a，b的夹角为0°或180°， 则cos 〈a，b〉＝±1， 所以a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝2×4×(±1)＝±8. (3)a⊥b. 解：由a⊥b，可知〈a，b〉＝90°，则a·b＝0. 返回导航 1．已学习：向量的夹角、向量的数量积、投影向量． 2．须贯通：向量的数量积是一个实数，不是向量；向量a在向量b上的投影向量是一个向量，不是数；二者都离不开向量的夹角，而解决向量的夹角时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法． 3．应注意：(1)用几何法求两个向量的夹角时，两个向量需共起点； (2)向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不同． 返回导航 eq \a\vs4\al(一　两向量的夹角) [知识梳理] 1．定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 eq \o(OA,\s\up16(→))＝a， eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．a，b的夹角记作〈a，b〉． a与b的夹角θ a与b的关系 θ＝0 a与b_____ θ＝π a与b_____ θ＝ eq \f(π,2) a与b_____，记作_____ [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)两个向量的夹角的范围是[0， eq \f(π,2)].(　　) (2)若非零向量a，b互相垂直，则它们的夹角为90°.(　　) (3)两个非零向量a，b的夹角为π时，这两个向量是相反向量．(　　) 2．已知单位向量e1与e2的夹角为 eq \f(2π,3)，则〈2e1，－3e2〉＝(　　) A． eq \f(2π,3) B． eq \f(π,3) C． eq \f(π,6) D． eq \f(5π,6) 解析：向量e1与向量2e1方向相同， 向量e2与向量－3e2方向相反，故〈e1，e2〉与〈2e1，－3e2〉互补，即〈2e1，－3e2〉＝ eq \f(π,3). 解析：如图所示，作 eq \o(OA,\s\up16(→))＝a， eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，且∠AOB＝60°. 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则 eq \o(OC,\s\up16(→))＝a＋b， eq \o(BA,\s\up16(→))＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以 eq \o(OC,\s\up16(→))与 eq \o(OA,\s\up16(→))的夹角为30°， eq \o(BA,\s\up16(→))与 eq \o(OA,\s\up16(→))的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. eq \a\vs4\al(二　向量的数量积) 思考　物理学中的功是向量吗？ (3)当a与b同向时，a·b＝______；当a与b反向时，a·b＝_________．特别地，a·a＝___或|a|＝ eq \r(a·a). (5)cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|). [例1] (1)(对接教材例9)已知向量|a|＝2 eq \r(3)，|b|＝3，且两向量夹角为 eq \f(π,6)，则a·b＝(　　) A．18 B．9 C．9 eq \r(3) D．3 eq \r(3) 【解析】　依题意，a·b＝2 eq \r(3)×3×cos eq \f(π,6)＝6 eq \r(3)× eq \f(\r(3),2)＝9. (2)如图，△ABC，△BDE都是边长为1的等边三角形，A，B，D三点共线，则 eq \o(AD,\s\up16(→))· eq \o(AE,\s\up16(→))＝________． 【解析】　因为△ABC，△BDE都是边长为1的等边三角形， 所以∠DBE＝∠BDE＝60°，∠ABE＝120°， 在△ABE中，AB＝BE＝1， 所以∠DAE＝30°，∠AED＝90°， 所以| eq \o(AE,\s\up16(→))|＝ eq \r(3)， 所以 eq \o(AD,\s\up16(→))· eq \o(AE,\s\up16(→))＝| eq \o(AD,\s\up16(→))|| eq \o(AE,\s\up16(→))|cos ∠DAE＝2× eq \r(3)× eq \f(\r(3),2)＝3. (2)在等腰直角三角形ABC中，若C＝90°，AC＝ eq \r(2)，则 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(BC,\s\up16(→))的值为________． 解析：由题意，| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝2，| eq \o(BC,\s\up16(→))|＝ eq \r(2)，〈 eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(BC,\s\up16(→))〉＝135°，所以 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(BC,\s\up16(→))＝ | eq \o(AB,\s\up16(→))|| eq \o(BC,\s\up16(→))|cos 〈 eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(BC,\s\up16(→))〉＝2× eq \r(2)×cos 135°＝－2. eq \a\vs4\al(三　投影向量) 思考　如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则线段OD就是线段OA在OB上的投影，试用|OA|和θ表示|OD|. [知识梳理] 1．定义 如图，设a，b是两个非零向量， eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(CD,\s\up16(→))＝b，过 eq \o(AB,\s\up16(→))的起点A和终点B，分别作 eq \o(CD,\s\up16(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到 eq \o(A1B1,\s\up16(→))，我们称上述变换为向量a向向量b_____， eq \o(A1B1,\s\up16(→))叫做向量____在向量____上的____________． [例2] (1)已知向量|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为45°，则b在a上的投影向量为(　　) A． eq \f(\r(2),4)a B． eq \r(2)a C． eq \r(2)b D．b 【解析】　b在a上的投影向量为|b|cos 〈a，b〉 eq \f(a,|a|)＝2×cos 45°× eq \f(1,4)a＝ eq \f(\r(2),4)a. 【解析】　由题得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|b|))) eq \f(b,|b|)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|b|2)))b＝－ eq \f(1,6)b，则 eq \f(a·b,|b|2)＝－ eq \f(1,6)，又|b|＝3，所以a·b＝－ eq \f(3,2). (2)已知平面向量a，b，|b|＝3，向量a在向量b上的投影向量为－ eq \f(1,6)b，则a·b＝________． － eq \f(3,2) 常用结论　(1)a在b上的投影向量为|a|cos 〈a，b〉 eq \f(b,|b|)＝|a| eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|a||b|))) eq \f(b,|b|)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|b|2)))b； (2)b在a上的投影向量为|b|cos 〈a，b〉 eq \f(a,|a|)＝|b| eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|a||b|))) eq \f(a,|a|)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|a|2)))a. [跟踪训练2] 已知平面向量a与b满足：a在b上的投影向量为 eq \f(1,4)b，b在a上的投影向量为 eq \f(1,2)a，且|a|＝2，则|b|＝(　　) A．2 B．3 C．2 eq \r(2) D．4 解析：a在b上的投影向量为 |a| eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|a||b|))) eq \f(b,|b|)＝ eq \f(1,4)b，即 eq \f(a·b,|b|2)＝ eq \f(1,4)，① b在a上的投影向量为|b| eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|a||b|))) eq \f(a,|a|)＝ eq \f(1,2)a， 即 eq \f(a·b,|a|2)＝ eq \f(1,2)，② 由①②得 eq \f(|a|2,|b|2)＝ eq \f(1,2)，又|a|＝2，所以|b|＝2 eq \r(2). 1．在菱形ABCD中，∠ABD＝50°，则向量 eq \o(AD,\s\up16(→))与 eq \o(DC,\s\up16(→))的夹角为(　　) A．50° B．130° C．80° D．100° 解析：如图所示，在菱形ABCD中， eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \o(DC,\s\up16(→))，所以向量 eq \o(AD,\s\up16(→))与 eq \o(DC,\s\up16(→))的夹角等于向量 eq \o(AD,\s\up16(→))与 eq \o(AB,\s\up16(→))的夹角，所以向量 eq \o(AD,\s\up16(→))与 eq \o(DC,\s\up16(→))的夹角为180°－2×50°＝80°. 2．在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝ eq \r(3)，BC＝3，则 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(BC,\s\up16(→))＝(　　) A．3 B． eq \f(9,2) C．－3 D．－ eq \f(9,2) 解析：由题意知， eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(BC,\s\up16(→))＝| eq \o(AB,\s\up16(→))|| eq \o(BC,\s\up16(→))|·cos (180°－∠ABC)＝ eq \r(3)×3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝ － eq \f(9,2). 3．(教材P20T3改编)已知〈a，b〉＝ eq \f(π,6)，|a|＝ eq \r(3)，|b|＝1，则向量a在向量b上的投影向量为________． 解析：因为〈a，b〉＝ eq \f(π,6)，|a|＝ eq \r(3)，|b|＝1，所以向量a在向量b上的投影向量为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a|cos 〈a，b〉,|b|)))b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)×\f(\r(3),2),1)))b＝ eq \f(3,2)b. eq \f(3,2)b 解：由|a|＝2，|b|＝4，且向量a，b的夹角为120°， 则a·b＝|a||b|cos 120°＝2×4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4. $