11 6.2.4 第2课时 向量的数量积（二）（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量数量积的运算律、模与夹角计算及垂直关系应用，通过回顾向量加法和数乘运算律，提出数量积运算律的探究问题，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于结合几何直观呈现例题（如平行四边形中向量表示），通过推理训练（如模长先平方再开方）培养数学思维，用符号语言精准表达运算规律。实例中例2利用中点公式转化向量求模，跟踪训练结合图形转化向量关系，助力学生提升逻辑推理与问题解决能力，也为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积 第2课时 向量的数量积（二） 1 1 2 新知学习 探究 课堂巩固 自测 2 学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律，会利用运算律进行数量积的运算. 2.理解 平面向量数量积的性质，能利用数量积解决向量的模与夹角问题. 3.会用 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 3 PART 01 第一部分 新知学习 探究 4 通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向 量的数乘运算满足结合律,分配律 ， . 思考 向量的数量积是否满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的 分配律？ 提示：向量的数量积满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的分配律. 新知学习 探究 返回目录 5 一 向量数量积的运算律 1.向量数量积的运算律 已知向量，，和实数 ,则 （1）交换律： ①_____； （2）数乘结合律： ②________； （3）分配律： ③___________. 新知学习 探究 返回目录 6 2.向量数量积的常用结论 （1）<m></m>; （2）<m></m>; （3）<m></m>; （4）<m></m>. 新知学习 探究 返回目录 7 例1（1）（对接教材例12）已知,,与的夹角为 ，则 _____; 解析： . 新知学习 探究 返回目录 8 （2）如图所示，在平行四边形中，已知， ， ，，则 ____. 22 解析：由，得 ， ， .因为 ，所以 ，即 .又 ，，所以 . 新知学习 探究 返回目录 9 数量积运算的两个关键点 （1）求含向量线性运算的数量积：利用向量数量积的运算律转化为直接 利用公式求解的问题； （2）涉及含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向 量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解. 新知学习 探究 返回目录 10 ［跟踪训练1］ （1）已知向量,满足, ,则 ( ) B A.4 B.3 C.2 D.0 【解析】 选 . 新知学习 探究 返回目录 11 （2）如图,在中,,,则 ____. 解析：因为, ,所以 . 新知学习 探究 返回目录 12 二 向量模的计算 例2（1）已知平面向量,的夹角为，且,,在 中， ,,为的中点，则 ( ) A A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】 因为 ,则 .即 . 新知学习 探究 返回目录 13 （2）已知非零向量,满足， ，且 ，则 _____. 解析：由两边平方得 ，即 ，所以 . 所以 . 新知学习 探究 返回目录 14 求向量的模的常见思路及方法 （1）求模的问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用 <m></m>,勿忘记开方. <m></m>或<m></m>,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 新知学习 探究 返回目录 15 ［跟踪训练2］ （1）已知,,向量,的夹角为 ，那么 ( ) B A.2 B. C.6 D.12 【解析】 选B.因为,所以 . 新知学习 探究 返回目录 16 （2）若平面向量,满足,,且,则 ( ) B A. B. C.2 D.8 【解析】 选B.因为,,且 ,对等式两边平方易 知 ,故 . 新知学习 探究 返回目录 17 三 向量的夹角与垂直 角度1 求两向量的夹角 例3（1）（2024·广西南宁期中）设向量,满足, , ,则与 的夹角为( ) D A. B. C. D. 【解析】 设与的夹角为 ,由题意得 ,所以 , 又,,所以 , 所以,则 . 又,所以与的夹角为 . 新知学习 探究 返回目录 18 （2）已知向量,满足，,且,则与 的 夹角的余弦值为( ) A A. B. C. D. 【解析】 因为,, , 所以 ，① ,② 所以得，, , 所以 , 所以, . 新知学习 探究 返回目录 19 求向量夹角的基本步骤 新知学习 探究 返回目录 20 角度2 利用数量积解决向量的垂直问题 例4 （对接教材例13）已知，,向量，的夹角为 ， ，.求实数为何值时，与 垂直. 【解】 由已知得 . 若，则 ， 所以 ， 解得 . 故当时，与 垂直. 新知学习 探究 返回目录 21 向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是<m></m>,利用向量数量积的运算 代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题. 新知学习 探究 返回目录 22 ［跟踪训练3］ （1）（2024·广东广州期中）已知, ,且 ,则向量与 的夹角的余弦值是( ) B A. B. C. D. 【解析】 选B.因为 , ,且 , 所以 , 所以,所以, . 新知学习 探究 返回目录 23 （2）已知两个单位向量与的夹角为，若 ， ，且，则实数 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 选D.由题意 ， 又向量与的夹角为且与为单位向量，所以 ， 解得 .故选D. 新知学习 探究 返回目录 24 PART 02 第二部分 课堂巩固 自测 25 1.设和是互相垂直的单位向量，且, ,则 ( ) B A. B. C.1 D.2 【解析】 选B.因为, ，所以 . 课堂巩固 自测 返回目录 26 2.设,,都是单位向量,且,则向量, 的夹角为( ) A A. B. C. D. 【解析】 选A.由,可知,故 ,所以 .设,的夹角为 ,即,又 ,所以 .故选A. 课堂巩固 自测 返回目录 27 3.已知,,且,的夹角为 ，,则 的 值为( ) C A. B. C. D. 【解析】 选C.由题意知 , 即 ， 所以 , 解得 . 课堂巩固 自测 返回目录 28 4.（2023· 新课标Ⅱ卷）已知向量，满足 ， ，则 ____． 解析：由,得,即 .① 由,得 ,整理得, ，结合①，得，整理得, , 所以 . 课堂巩固 自测 返回目录 29 5.（教材PT改编）若两个向量与的夹角为，且 是单位向量， ,,则向量与 的夹角为__. 解析：由题知 , 所以 , . 设向量与的夹角为 , 则 . 因为，所以 . 课堂巩固 自测 返回目录 30 1.已学习：向量数量积的运算律、求向量的模和夹角、向量垂直的应用. 2.须贯通：求向量的数量积要灵活应用其运算律；求向量的模时，则要灵 活应用模的计算公式；用向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的思 想方法. 3.应注意： 不一定成立. 课堂巩固 自测 返回目录 31 $