4 6.2.4 第1课时 向量的数量积(一) 课后达标检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦向量数量积核心知识，涵盖定义、投影向量、夹角计算等内容。课堂导入从基础公式出发，通过已知模和夹角求数量积的基础题，逐步过渡到网格向量、扇形动点等几何情境，再延伸到足球烯结构的实际应用，构建由易到难的学习支架。 其亮点在于结合几何直观与实际情境，借助网格图、扇形图、足球烯结构等载体，培养学生用数学眼光观察空间形式，用数学思维推理计算（如投影向量推导、动点问题逻辑分析），用数学语言表达数量关系。分层设计题目（基础、能力、素养），学生能提升运算能力与空间观念，教师可用于分层教学和素养评价。

6．2.4　第1课时　课后达标检测 1 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 课后达标检测 解析：依题意，任意两个向量的夹角均为120°，由平行四边形法则可知，a＋b＝－c，所以λ＝－1. √ 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 1 2 课后达标检测 3．已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则a·b＝(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 √ 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 3 课后达标检测 √ 3 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 4 课后达标检测 √ 3 4 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 5 课后达标检测 3 4 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 5 课后达标检测 √ 3 4 5 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 6 √ 课后达标检测 3 4 5 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 6 课后达标检测 7．若|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则a与b的夹角为________． 3 4 5 6 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 7 60° 课后达标检测 3 4 5 6 7 9 10 2 12 13 14 15 11 1 8 －a 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 10 2 12 13 14 15 11 1 9 课后达标检测 (2)求a在b上的投影向量．(6分) 3 4 5 6 7 8 9 2 12 13 14 15 11 1 10 课后达标检测 11．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|＝(　　) A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 1 11 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 13 14 15 11 1 12 －25 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 14 15 11 1 13 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 14 15 11 1 13 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 15 11 1 14 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 15 11 1 14 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 15 11 1 14 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 15 11 1 14 课后达标检测 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 15 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 15 课后达标检测 解析：a·b＝1×2×cos eq \f(π,3)＝1. 1．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为 eq \f(π,3)，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知a，b，c为不共线的单位向量，且任意两个向量的夹角均相等，若a＋b＝λc，则λ＝(　　) A．－ eq \f(1,2) B．－1 C．－ eq \r(3) D．－2 解析：观察图形知，|a|＝2 eq \r(2)，|b|＝2，〈a，b〉＝ eq \f(3π,4)，所以a·b＝2 eq \r(2)×2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－4. 解析：由题意，a在b上的投影向量为|a|cos 120° eq \f(b,|b|)＝|a|cos 120° eq \f(b,2|a|)＝－ eq \f(1,4)b. 4．已知|b|＝2|a|，若a与b的夹角为120°，则a在b上的投影向量为(　　) A．－b B． eq \f(1,2)b C．－ eq \f(1,4)b D．－ eq \f(1,2)b 5．如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中A，B是正方形的两个顶点，P是三段圆弧上的动点，若AB＝4，则 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AP,\s\up16(→))的取值范围是(　　) A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－24，24)) B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－8，24)) C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－16\r(2)，16\r(2))) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－8，16\r(2))) 解析：如图，作CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D，F，且CD与左半圆相切，切点为C，EF与右半圆相切，切点为E. eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AP,\s\up16(→))＝| eq \o(AB,\s\up16(→))|·| eq \o(AP,\s\up16(→))|cos 〈 eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(AP,\s\up16(→))〉，因为AB＝4，所以AD＝BF＝2.当P与E重合时，| eq \o(AP,\s\up16(→))|cos 〈 eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(AP,\s\up16(→))〉最大，最大值为4＋2＝6，此时 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AP,\s\up16(→))取得最大值，最大值为4×6＝24；当P与C重合时，| eq \o(AP,\s\up16(→))|cos 〈 eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(AP,\s\up16(→))〉最小，最小值为－2，此时 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AP,\s\up16(→))取得最小值，最小值为4×(－2)＝－8.故 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AP,\s\up16(→))的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－8，24)). 6．(多选)在△ABC中，下列说法正确的是(　　) A．与 eq \o(AB,\s\up16(→))共线的单位向量为± eq \f(\o(AB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|) B.若△ABC是等边三角形，则向量 eq \o(AB,\s\up16(→))在向量 eq \o(AC,\s\up16(→))上的投影向量为 eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→)) C．若 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))<0，则△ABC为钝角三角形 D．若△ABC是等边三角形，则 eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(BC,\s\up16(→))的夹角为60° 对于B，因为△ABC为等边三角形，所以 eq \o(AB,\s\up16(→))在 eq \o(AC,\s\up16(→))上的投影向量为 | eq \o(AB,\s\up16(→))|cos A· eq \f(\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AC,\s\up16(→))|)＝ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))，故B错误； 对于C， eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＝| eq \o(AB,\s\up16(→))|·| eq \o(AC,\s\up16(→))|cos A<0，所以cos A<0，又0°<A<180°，所以A为钝角，则△ABC为钝角三角形，故C正确； 对于D，若△ABC是等边三角形，则 eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(BC,\s\up16(→))的夹角为120°，故D错误． 解析：对于A，与 eq \o(AB,\s\up16(→))共线的单位向量为± eq \f(\o(AB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|)，故A正确； 解析：作 eq \o(OA,\s\up16(→))＝a， eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则 eq \o(BA,\s\up16(→))＝a－b，∠AOB为a与b的夹角，由|a|＝|b|＝|a－b|＝1，可知△AOB为等边三角形，则∠AOB＝60°，所以a与b的夹角为60°. 解析：向量b在向量a上的投影向量为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|a|))) eq \f(a,|a|)＝ eq \f(－3,\r(3)×\r(3))a＝－a. 8．已知|a|＝ eq \r(3)，且a·b＝－3，则向量b在向量a上的投影向量为________． 解析：如图，C为圆心，AC为半径，AB为弦，故 eq \o(AC,\s\up16(→))在 eq \o(AB,\s\up16(→))上的投影向量的长度为 eq \f(1,2)| eq \o(AB,\s\up16(→))|，所以 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2)| eq \o(AB,\s\up16(→))|·| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝ eq \f(1,2)×1×1＝ eq \f(1,2). eq \f(1,2) 9．在圆C中，已知弦AB＝1，则 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＝________． 解：因为sin 〈a，b〉＝ eq \f(1,2)，〈a，b〉∈[0，π]，所以cos 〈a，b〉＝± eq \f(\r(3),2)，a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝3×2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),2)))＝±3 eq \r(3). 解：a在b上的投影向量为|a|cos 〈a，b〉e＝± eq \f(3\r(3),2)e. 10．(13分)已知|a|＝3，|b|＝2，sin 〈a，b〉＝ eq \f(1,2)，与b同向的单位向量为e. (1)求a·b；(7分) 解析：cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(－6,2×5)＝－ eq \f(3,5)，因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝ eq \f(4,5)，所以|a×b|＝2×5× eq \f(4,5)＝8. 解析：因为| eq \o(CA,\s\up16(→))|2＝| eq \o(AB,\s\up16(→))|2＋| eq \o(BC,\s\up16(→))|2， 所以B＝90°，所以 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(BC,\s\up16(→))＝0. 因为cos C＝ eq \f(4,5)，cos A＝ eq \f(3,5)， 所以 eq \o(BC,\s\up16(→))· eq \o(CA,\s\up16(→))＝| eq \o(BC,\s\up16(→))|| eq \o(CA,\s\up16(→))|cos (180°－C)＝4×5×(－ eq \f(4,5))＝－16. eq \o(CA,\s\up16(→))· eq \o(AB,\s\up16(→))＝| eq \o(CA,\s\up16(→))|| eq \o(AB,\s\up16(→))|cos (180°－A)＝5×3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－9. 所以 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))· eq \o(CA,\s\up16(→))＋ eq \o(CA,\s\up16(→))· eq \o(AB,\s\up16(→))＝－25. 12．已知点A，B，C满足| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝3，| eq \o(BC,\s\up16(→))|＝4，| eq \o(CA,\s\up16(→))|＝5，则 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))· eq \o(CA,\s\up16(→))＋ eq \o(CA,\s\up16(→))· eq \o(AB,\s\up16(→))的值是________． 解：△ABC为正三角形，理由如下： 因为| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝| eq \o(AC,\s\up16(→))|＝4， eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＝8， 所以cos 〈 eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(AC,\s\up16(→))〉＝ eq \f(\o(AB,\s\up16(→))·\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))||\o(AC,\s\up16(→))|)＝ eq \f(8,4×4)＝ eq \f(1,2)，又〈 eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(AC,\s\up16(→))〉∈(0，π)， 13．(13分)在△ABC中，| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝| eq \o(AC,\s\up16(→))|＝4， eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＝8.判断△ABC的形状，并说明理由． 所以〈 eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(AC,\s\up16(→))〉＝ eq \f(π,3)，即∠BAC＝ eq \f(π,3)， 又| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝| eq \o(AC,\s\up16(→))|， 所以∠ACB＝∠CBA＝ eq \f(π,3)，故△ABC为正三角形． 14．(15分)如图，扇形AOB中 eq \o(AB,\s\up18(︵))的中点为M，动点C，D分别在线段OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. (1)若点D是线段OB上靠近点O的四等分点，用 eq \o(OA,\s\up16(→))， eq \o(OB,\s\up16(→))表示向量 eq \o(MC,\s\up16(→))；(7分) 解：连接BM，AM(图略). 由已知可得 eq \o(OC,\s\up16(→))＝ eq \f(3,4) eq \o(OA,\s\up16(→))，四边形OAMB是菱形， 则 eq \o(OM,\s\up16(→))＝ eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→))， 所以 eq \o(MC,\s\up16(→))＝ eq \o(OC,\s\up16(→))－ eq \o(OM,\s\up16(→))＝ eq \f(3,4) eq \o(OA,\s\up16(→))－( eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→))) ＝－ eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up16(→))－ eq \o(OB,\s\up16(→)). 解：在菱形OAMB中，∠AOB＝120°，所以△BOM，△MOA是等边三角形．因为BM＝OM，BD＝OC，∠MBD＝∠MOC，所以△MBD≌△MOC，所以 ∠BMD＝∠OMC，所以∠DMC＝∠DMO＋∠OMC＝∠DMO＋∠BMD＝ ∠BMO＝60°，即∠DMC＝60°，且| eq \o(MC,\s\up16(→))|＝| eq \o(MD,\s\up16(→))|， 那么只需求| eq \o(MC,\s\up16(→))|的最大值与最小值即可． 当 eq \o(MC,\s\up16(→))⊥ eq \o(OA,\s\up16(→))时，| eq \o(MC,\s\up16(→))|最小，此时| eq \o(MC,\s\up16(→))|＝ eq \f(\r(3),2)， (2)求 eq \o(MC,\s\up16(→))· eq \o(MD,\s\up16(→))的取值范围．(8分) 则 eq \o(MC,\s\up16(→))· eq \o(MD,\s\up16(→))＝ eq \f(\r(3),2)× eq \f(\r(3),2)×cos 60°＝ eq \f(3,8). 当 eq \o(MC,\s\up16(→))与 eq \o(MO,\s\up16(→))或 eq \o(MA,\s\up16(→))重合时，| eq \o(MC,\s\up16(→))|最大， 此时| eq \o(MC,\s\up16(→))|＝1，则 eq \o(MC,\s\up16(→))· eq \o(MD,\s\up16(→))＝1×1×cos 60°＝ eq \f(1,2). 所以 eq \o(MC,\s\up16(→))· eq \o(MD,\s\up16(→))的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(1,2))). 15．C60是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，A，B，C为正多边形的顶点，则 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：如图所示， 连接BC，由对称性可知，BA＝BC，取AC的中点H，连接BH，则AC⊥BH，AH＝ eq \f(1,2)AC， 又因为正六边形的边长为1，所以AC＝2， 所以 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＝| eq \o(AC,\s\up16(→))|| eq \o(AB,\s\up16(→))|cos ∠BAC＝| eq \o(AC,\s\up16(→))|·| eq \o(AH,\s\up16(→))|＝2. $