2 6.2.2 向量的减法运算（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦向量的减法运算，涵盖相反向量定义、减法几何意义及运算转化。课堂导入通过回顾初中相反数概念、减法与加法关系，搭建新旧知识支架，引导学生从数的运算自然过渡到向量运算。 其亮点在于以问题驱动和数形结合为主，通过平行四边形中点、帆船风速等实例，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），例题推理与跟踪训练提升运算能力和推理意识（数学思维），用向量语言描述几何关系与实际问题（数学语言）。小结系统梳理方法，助学生掌握转化思想，为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

6．2.2　向量的减法运算 1 新课导入 学习目标 　　在初中，我们学过相反数，是怎么给它定义的？互为相反数的两个数有什么性质？在数的运算过程中，减法与加法是什么关系？在向量中是否有类似的内容呢？ 1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义． 2．掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算． 3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 提示：减去一个数等于加上这个数的相反数． 返回导航 [知识梳理] 1．相反向量 定义 与向量a长度_____，方向_____的向量，叫做a的相反向量，记作_____ 规定 零向量的相反向量仍是零向量 结论 a和－a互为相反向量，于是－(－a)＝_____ a＋(－a)＝(－a)＋a＝_____ 如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝___ 相等 相反 －a a 0 0 返回导航 2.向量的减法 差 相反向量 终点 终点 返回导航 √ 返回导航 (2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 返回导航 求作向量的差向量的方法 (1)作两向量的差向量的步骤：   (2)求作两个向量的减法可以通过转化为向量的加法来进行运算，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可． 返回导航 √ 返回导航 (2)(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．表中给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　) 返回导航 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 √ 级数 名称 风速大小(单位：m/s) 2 轻风 1.6～3.3 3 微风 3.4～5.4 4 和风 5.5～7.9 5 劲风 8.0～10.7 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 (1)向量减法运算的常用方法   (2)利用三角形法则进行向量加、减法化简的两种形式 ①首尾相接且为和； ②起点相同且为差． 返回导航 √ √ √ 返回导航 返回导航 √ 返回导航 [3，9] 返回导航 (1)表示向量的方法：首先要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道，然后利用向量的加减法及运算律表示向量． (2)向量加减法的几何意义：利用平面几何知识，得出||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|的关系，灵活使用绝对值三角不等式． 返回导航 [跟踪训练3] (1)(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题中真命题是(　　) A．若|a|＋|b|>|a＋b|，则a与b方向相反 B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反 C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模 D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同 解析：对于A，若|a|＋|b|>|a＋b|，则a与b方向相反或a与b不共线，A是假命题； 对于B，C，若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反，B是真命题，C是假命题； 对于D，若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同，D是真命题． √ √ 返回导航 a＋c－b 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 √ 返回导航 √ √ 返回导航 b－a 返回导航 返回导航 1．已学习：向量的减法运算及几何意义． 2．须贯通：向量的减法运算通过相反向量可以转化为向量的加法运算，三角形法则仍然可以进行向量减法运算，体现了数形结合思想． 3．应注意：(1)向量共起点时才可以进行向量的减法运算； (2)差向量连接两向量的终点，方向指向被减向量的终点． 返回导航 eq \a\vs4\al(一　向量的减法运算) 思考　在实数的运算中，减法是加法的逆运算，它的运算法则是什么？ 定义 求两个向量____的运算，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________ 作法 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作 eq \o(OA,\s\up16(→))＝a， eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则 eq \o(BA,\s\up16(→))＝a－b.如图所示 几何意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的_____指向向量a的_____的向量 [例1] (1)在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则 eq \o(AF,\s\up16(→))－ eq \o(DB,\s\up16(→))＝(　　) A． eq \o(FD,\s\up16(→)) B． eq \o(FC,\s\up16(→)) C． eq \o(FE,\s\up16(→)) D． eq \o(BE,\s\up16(→)) 【解】　如图，因为D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， 所以 eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(DB,\s\up16(→))， eq \o(DF,\s\up16(→))＝ eq \o(BE,\s\up16(→))， 因此 eq \o(AF,\s\up16(→))－ eq \o(DB,\s\up16(→))＝ eq \o(AF,\s\up16(→))－ eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(DF,\s\up16(→))＝ eq \o(BE,\s\up16(→)). 【解】　方法一：如图1，在平面内任取一点O，作 eq \o(OA,\s\up16(→))＝a， eq \o(AB,\s\up16(→))＝b，则 eq \o(OB,\s\up16(→))＝a＋b，再作 eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，则 eq \o(CB,\s\up16(→))＝a＋b－c. 方法二：如图2，在平面内任取一点O，作 eq \o(OA,\s\up16(→))＝a， eq \o(AB,\s\up16(→))＝b，则 eq \o(OB,\s\up16(→))＝a＋b，再作 eq \o(CB,\s\up16(→))＝c，连接OC，则 eq \o(OC,\s\up16(→))＝a＋b－c. [跟踪训练1] (1)已知在四边形ABCD中， eq \o(DB,\s\up16(→))－ eq \o(DA,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \o(AD,\s\up16(→))，则四边形ABCD一定是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 解析：由 eq \o(DB,\s\up16(→))－ eq \o(DA,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \o(AD,\s\up16(→))，可得 eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \o(DC,\s\up16(→))，所以四边形ABCD一定是平行四边形． 解析：如图，由题意知，视风风速对应的向量为 eq \o(AB,\s\up16(→))，船速对应的向量为 eq \o(CA,\s\up16(→))，因为船行风风速对应的向量与船速对应的向量为相反向量，所以船行风风速对应的向量为 eq \o(AC,\s\up16(→))，则真风风速对应的向量为 eq \o(AB,\s\up16(→))－ eq \o(AC,\s\up16(→))＝ eq \o(CB,\s\up16(→))，| eq \o(CB,\s\up16(→))|＝ eq \r(22＋22)＝2 eq \r(2)，而2 eq \r(2)∈(1.6，3.3)，故该时刻的真风为轻风．故选A. eq \a\vs4\al(二　向量加减法的混合运算) [例2] 化简下列各向量的表达式： (1) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))－ eq \o(AD,\s\up16(→))； 【解】　 eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))－ eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(DC,\s\up16(→)). (2)( eq \o(AB,\s\up16(→))－ eq \o(CD,\s\up16(→)))－( eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \o(BD,\s\up16(→)))； 【解】　( eq \o(AB,\s\up16(→))－ eq \o(CD,\s\up16(→)))－( eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \o(BD,\s\up16(→)))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))－ eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(BD,\s\up16(→))－ eq \o(CD,\s\up16(→))＝ eq \o(CB,\s\up16(→))＋ eq \o(BD,\s\up16(→))＋ eq \o(DC,\s\up16(→))＝ eq \o(CB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＝0. (3)( eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(BO,\s\up16(→))＋ eq \o(OA,\s\up16(→)))－( eq \o(DC,\s\up16(→))－ eq \o(DO,\s\up16(→))－ eq \o(OB,\s\up16(→))). 【解】　( eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(BO,\s\up16(→))＋ eq \o(OA,\s\up16(→)))－( eq \o(DC,\s\up16(→))－ eq \o(DO,\s\up16(→))－ eq \o(OB,\s\up16(→)))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(BA,\s\up16(→))－( eq \o(OC,\s\up16(→))－ eq \o(OB,\s\up16(→)))＝ eq \o(BC,\s\up16(→))－ eq \o(BC,\s\up16(→))＝0. [跟踪训练2] (多选)下列四个式子中能化简为 eq \o(PQ,\s\up16(→))的是(　　) A． eq \o(QC,\s\up16(→))－ eq \o(QP,\s\up16(→))＋ eq \o(CQ,\s\up16(→)) B． eq \o(AB,\s\up16(→))＋( eq \o(PA,\s\up16(→))＋ eq \o(BQ,\s\up16(→))) C．( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(PC,\s\up16(→)))＋( eq \o(BA,\s\up16(→))－ eq \o(QC,\s\up16(→))) D． eq \o(PA,\s\up16(→))＋ eq \o(AB,\s\up16(→))－ eq \o(BQ,\s\up16(→)) 解析： eq \o(QC,\s\up16(→))－ eq \o(QP,\s\up16(→))＋ eq \o(CQ,\s\up16(→))＝ eq \o(PC,\s\up16(→))＋ eq \o(CQ,\s\up16(→))＝ eq \o(PQ,\s\up16(→))(或 eq \o(QC,\s\up16(→))－ eq \o(QP,\s\up16(→))＋ eq \o(CQ,\s\up16(→))＝0－ eq \o(QP,\s\up16(→))＝ eq \o(PQ,\s\up16(→)))，故A正确； eq \o(AB,\s\up16(→))＋( eq \o(PA,\s\up16(→))＋ eq \o(BQ,\s\up16(→)))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BQ,\s\up16(→))＋ eq \o(PA,\s\up16(→))＝ eq \o(AQ,\s\up16(→))＋ eq \o(PA,\s\up16(→))＝ eq \o(PQ,\s\up16(→))，故B正确； ( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(PC,\s\up16(→)))＋( eq \o(BA,\s\up16(→))－ eq \o(QC,\s\up16(→)))＝ eq \o(PC,\s\up16(→))－ eq \o(QC,\s\up16(→))＝ eq \o(CQ,\s\up16(→))－ eq \o(CP,\s\up16(→))＝ eq \o(PQ,\s\up16(→))，故C正确； eq \o(PA,\s\up16(→))＋ eq \o(AB,\s\up16(→))－ eq \o(BQ,\s\up16(→))＝ eq \o(PB,\s\up16(→))－ eq \o(BQ,\s\up16(→))，故D不正确． eq \a\vs4\al(三　向量加减法的综合应用) [例3] (1)如图，向量 eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(AC,\s\up16(→))＝b， eq \o(CD,\s\up16(→))＝c，则向量 eq \o(BD,\s\up16(→))可以表示为(　　) A．a＋b－c B．a－b＋c C．b－a＋c D．b－a－c 【解析】　由题图可知， eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))＝b－a＋c. (2)已知| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝6，| eq \o(AC,\s\up16(→))|＝3，则| eq \o(BC,\s\up16(→))|的取值范围是________． 【解析】　由题意得 eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \o(AB,\s\up16(→))， 所以| eq \o(BC,\s\up16(→))|＝| eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \o(AB,\s\up16(→))|， 所以|| eq \o(AC,\s\up16(→))|－| eq \o(AB,\s\up16(→))||≤| eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \o(AB,\s\up16(→))|≤| eq \o(AC,\s\up16(→))|＋| eq \o(AB,\s\up16(→))|， 则3≤| eq \o(BC,\s\up16(→))|≤9. (2)如图，已知O为平行四边形ABCD内一点， eq \o(OA,\s\up16(→))＝a， eq \o(OB,\s\up16(→))＝b， eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，则 eq \o(OD,\s\up16(→))＝________． 解析：由已知 eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(BC,\s\up16(→))，则 eq \o(OD,\s\up16(→))＝ eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(OC,\s\up16(→))－ eq \o(OB,\s\up16(→))＝a＋c－b. 1．化简： eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))－ eq \o(AD,\s\up16(→))＝(　　) A． eq \o(CB,\s\up16(→)) B． eq \o(BC,\s\up16(→)) C． eq \o(DC,\s\up16(→)) D． eq \o(CD,\s\up16(→)) 解析： eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))－ eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))－ eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))＝ eq \o(DB,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))＝ eq \o(CB,\s\up16(→)). 2．(多选)(教材P22T4改编)下列式子可以化简为 eq \o(AB,\s\up16(→))的是(　　) A. eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))－ eq \o(BD,\s\up16(→)) B． eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \o(CB,\s\up16(→)) C． eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→)) D． eq \o(OB,\s\up16(→))－ eq \o(OA,\s\up16(→)) 解析： eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))－ eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(AD,\s\up16(→))－ eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \o(DB,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(OB,\s\up16(→))－ eq \o(OA ,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))，故A，D选项正确，B，C选项不正确． 3．如图，在正六边形ABCDEF中，记向量 eq \o(FA,\s\up16(→))＝a， eq \o(ED,\s\up16(→))＝b，则向量 eq \o(BC,\s\up16(→))＝__________.(用a，b表示) 解析：连接BE，CF，交于点O(图略)，由正六边形的性质知 eq \o(FA,\s\up16(→))＝ eq \o(OB,\s\up16(→))， eq \o(ED,\s\up16(→))＝ eq \o(OC,\s\up16(→))，所以 eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(OC,\s\up16(→))－ eq \o(OB,\s\up16(→))＝ eq \o(ED,\s\up16(→))－ eq \o(FA,\s\up16(→))，所以 eq \o(BC,\s\up16(→))＝b－a. 4．(教材P24T23改编)已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量 eq \o(OA,\s\up16(→))＝a， eq \o(OB,\s\up16(→))＝b， eq \o(OC,\s\up16(→))＝c， eq \o(OD,\s\up16(→))＝d，且a＋c＝b＋d.求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：因为a＋c＝b＋d，所以a－b＝d－c， 又向量 eq \o(OA,\s\up16(→))＝a， eq \o(OB,\s\up16(→))＝b， eq \o(OC,\s\up16(→))＝c， eq \o(OD,\s\up16(→))＝d， 所以 eq \o(OA,\s\up16(→))－ eq \o(OB,\s\up16(→))＝ eq \o(OD,\s\up16(→))－ eq \o(OC,\s\up16(→))，即 eq \o(BA,\s\up16(→))＝ eq \o(CD,\s\up16(→))， 所以BA∥CD，且BA＝CD， 所以四边形ABCD是平行四边形． $