6.2.2 向量的减法运算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

6.2.2　向量的减法运算 1 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、理解向量减法的几何意义（数学抽象、直观想象）. 2.掌握平面向量的减法运算及运算法则（直观想象、数学运算）. 课标要求 　　在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”，类比数的减法，如何定义向量的减法法则？今天我们一起来学习. 情景导入 知识点一　向量的减法运算 01 知识点二　向量减法的几何意义 02 提能点　向量加、减法的综合应用 04 目录 课时作业 05 知识点三　向量加、减法的混合运算 03 4 知识点一 向量的减法运算 01 PART 目 录 问题1　（1）互为相反数的两个数有什么性质？类比相反数，能否给出 “相反向量”的定义？ 提示：互为相反数的两个数符号不同且绝对值相等，相反向量应为长度相 等但方向相反的向量. （2）类比两个实数的减法，如何定义向量的减法？ 提示：两个向量的差的运算，其运算法则为“减去一个向量等于加上这个 向量的相反向量”. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 相反向量 （1）定义：与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的相反 向量，记作－a； （2）性质：①－（－a）＝a； ②零向量的相反向量仍是零向量； ③对于相反向量有：a＋（－a）＝（－a）＋a＝0； ④如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 　　提醒：相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行 定义，相反向量必为平行向量. 相等　 相反　 数学·必修第二册 目 录 2. 向量减法的定义 向量a加上b的 ，叫做a与b的差，即a－b＝a＋（－b）. 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 　　提醒：两向量的差仍是向量. 相反向量　 数学·必修第二册 目 录 【例1】　（1） － ＋ － ＝（　D　） A. B. C. D. 0 解析： － ＋ － ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝0.故选D. D 数学·必修第二册 目 录 解析： ＝ ＋ ＝－ － ＝－m－n.故选A. （2）在△ABC中，O为BC的中点，记 ＝m， ＝n，则 ＝ （　A　） A. －m－n B. －m＋n C. m－n D. m＋n A 【规律方法】 两个向量的减法可以通过转化为向量的加法来进行运算，如a－b，可以 先作－b，然后用加法a＋（－b）即可. 数学·必修第二册 目 录 训练1　〔多选〕下列命题中，正确的是（　　） A. 相反向量就是方向相反的向量 B. 向量 与 是相反向量 C. 两个向量的差仍是一个向量 D. 相反向量是共线向量 解析：由相反向量的定义知B、D正确，且C正确，A错误.故选B、C、D. √ √ √ 数学·必修第二册 目 录 知识点二 向量减法的几何意义 02 PART 目 录 问题2　如果已知 ＝a， ＝b，请利用向量减法与加法的转化规则， 用作图的方法得到a－b. 提示：如图，作 ＝－b，由向量减法与加法的转化规则 可知a－b＝a＋（－b）＝ ＋ ，以OA和OD为邻边 作平行四边形OACD，则 ＋ ＝ ，且AC与OD平行 且相等.再结合相反向量的定义，在四边形OCAB中，AC与 OB平行且相等，所以四边形OCAB是平行四边形，所以 ＝ ＝a－b. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，则 ＝a －b.即a－b 可以表示为从 的终点指向 ⁠的终点的向 量，这就是向量减法的几何意义. 　　提醒：作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终 点，指向被减”. 向量b　 向量a　 数学·必修第二册 目 录 【例2】　（链接教材P12例3）如图，已知向量a，b，c不共线，求作向 量a＋b－c. 解：法一　如图1所示，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，则 ＝a＋b，再作 ＝c，则 ＝a＋b－c. 法二　如图2所示，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，则 ＝ a＋b，再作 ＝c，连接OC，则 ＝a＋b－c. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 作两向量的差向量的步骤 数学·必修第二册 目 录 训练2　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解：由向量减法的三角形法则， 令a＝ ，b＝ ，则a－b＝ － ＝ ， 令c＝ ，所以a－b－c＝ － ＝ .如图中 即为a－b－c. 数学·必修第二册 目 录 知识点三 向量加、减法的混合运算 03 PART 目 录 【例3】　化简：（1） ＋ － － ； 解： ＋ － － ＝（ － ）＋（ － ）＝ ＋ ＝ . （2）（ ＋ ＋ ）－（ － － ）. 解： （ ＋ ＋ ）－（ － － ） ＝ ＋ － ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 向量减法运算的常用方法 数学·必修第二册 目 录 2. 向量加、减法化简的两种形式 （1）首尾相连且为和； （2）起点相同且为差. 　　提醒：做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用. 数学·必修第二册 目 录 训练3　（1）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且 ＝ ，则 化简 ＋ － － 的结果为（　A　） A. 0 B. C. D. 解析： ＋ － － ＝（ － ）＋（ － ）＝ ＋ ＝ － ＝0. A 数学·必修第二册 目 录 （2）在矩形ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，则 ＋ － ＝ ⁠. 解析： ＋ － ＝ － ＝ . 　 数学·必修第二册 目 录 04 PART 提能点 向量加、减法的综合应用 目 录 【例4】　（链接教材P12例4）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且 ＝a， ＝b， ＝c，试用向量a， b，c表示向量 ， ， . 解：由平行四边形的性质可知 ＝ ＝c， 由向量的减法可知 ＝ － ＝b－a， 由向量的加法可知 ＝ ＋ ＝b－a＋c. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 用已知向量表示其他向量的一般步骤 （1）先观察各个向量在图形中的位置； （2）寻找（或作出）相应的平行四边形或三角形； （3）运用法则找关系； （4）化简结果. 　　提醒：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和或差， 即 ＝ ＋ 或 ＝ － （M，N均是同一平面内的任意点）. 数学·必修第二册 目 录 训练4　如图，设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若 ＝ a， ＝b， ＝c，则 ＝ .（用a，b，c表示） 解析：依题意，在△OAD中， ＝ ＋ ＝c－b；在△OAB中， ＝ ＋ ＝c－b＋a，所以 ＝a－b＋c. a－b＋c　 数学·必修第二册 目 录 1. 在△ABC中， ＝a， ＝b，则 ＝（　　） A. a＋b B. －a－b C. a－b D. b－a 解析：如图，∵ ＝ ＋ ＝a＋b， ∴ ＝－ ＝－a－b. √ 数学·必修第二册 目 录 2. － ＋ ＋ ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　原式＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋0＝ . √ 3. 若菱形ABCD的边长为2，则｜ － ＋ ｜＝ ⁠. 解析：｜ － ＋ ｜＝｜ ＋ ＋ ｜＝｜ ｜＝2. 2　 数学·必修第二册 目 录 4. 如图，已知 ＝a， ＝b， ＝c， ＝d，试用a，b，c，d 表示以下向量： （1） ； 解： ） ＝ － ＝c－a. （2） ； 解： ＝ － ＝d－a. （3） . 解： ＝ － ＝d－b. 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）向量减法的定义及几何意义； （2）向量加、减法的混合运算； （3）向量加、减法的综合应用. 2.应体会 向量的减法可以转化为向量的加法来进行，体现转化思想，三角形法则 仍然可以进行向量减法运算，体现了数形结合思想. 3.避易错 求两向量的差时，将两向量移至共起点，连接两向量的终点，差向量的 方向指向被减向量的终点. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 05 PART 目 录 1. 已知空间中三个不同的点A，B，C，则下列等式成立的是（　　） A. ＋ ＝ B. － ＝ C. ＋ ＝ D. － ＝ 解析：　由平面向量的加法可知A、C选项错误；由平面向量的减法可得 － ＝ ，B对，D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 已知正六边形ABCDEF，则 ＋ － ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　如图，由正六边形的特征可知 ＝ ， ＝ ，所以 ＋ － ＝ ＋ － ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 如图，在四边形ABCD中，设 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝ （　　） A. a－b＋c B. b－（a＋c） C. a＋b＋c D. b－a＋c 解析： ＝ － ＝ ＋ － ＝ － ＋ ＝a－b＋c. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 在△ABC中，｜ ｜＝｜ － ｜＝｜ ＋ ｜，则△ABC是 （　　） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 解析：　 － ＝ ， ＋ ＝ ，由｜ ｜＝｜ － ｜ ＝｜ ＋ ｜可得，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，∴△ABC是等边三 角形.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 〔多选〕下列结果为零向量的是（　　） A. ＋（ － ） B. － ＋ － C. － ＋ D. ＋ ＋ － √ √ √ 解析： 对于A， ＋（ － ）＝ ＋（ ＋ ）＝ ＋ ＝ ≠0，故选项A不正确；对于B， － ＋ － ＝ ＋ － ＝ － ＝0，故选项B正确；对于C， － ＋ ＝ ＋ ＝0，故选项C正确；对于D， ＋ ＋ － ＝ ＋ － ＝ － ＝0，故选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕对于菱形ABCD，下列各式正确的是（　　） A. ＝ B. ｜ ｜＝｜ ｜ C. ｜ － ｜＝｜ ＋ ｜ D. ｜ ＋ ｜＝｜ － ｜ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 向量 与 的方向不同，但它们的模相等，所以B正确，A错误；因为｜ － ｜＝｜ ＋ ｜＝2｜ ｜，｜ ＋ ｜＝2｜ ｜，且｜ ｜＝｜ ｜，所以｜ － ｜＝｜ ＋ ｜，所以C正确；因为｜ ＋ ｜＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜，｜ － ｜＝｜ ｜，所以D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 如图，在梯形ABCD中，AC与BD交于点O，则 － ＋ － ＋ ＝ ⁠. 解析： － ＋ － ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝0. 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 若a，b为相反向量，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，则｜a＋b｜ ＝ ，｜a－b｜＝ ⁠. 解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以｜a＋b｜＝0，又a＝－ b，所以｜a｜＝｜－b｜＝1，因为a与－b共线，所以｜a－b｜＝2. 0　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 已知非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，作 ＝a， ＝a＋b，则∠AOB＝ ⁠. 解析：构造如图所示的平行四边形OABC， ＝a， ＝a＋b，则 ＝b， ＝a－b，又｜a｜＝｜b｜ ＝｜a－b｜，则△AOC为正三角形，故∠COA＝ 60°，平行四边形OABC为菱形，故OB平分∠COA，则 ∠AOB＝30°. 30°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 如图，在各小题中，已知a，b，分别求作a－b. 解：将a，b的起点移到 同一点，再首尾相接，方 向指向被减向量，如图， ＝a－b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 设a表示“向东走6 km”，b表示“向南走 3 km”，则b－a＋b所表 示的意义为（　　） A. 向东南走6 km B. 向东南走3 km C. 向西南走6 km D. 向西南走3 km √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　如图，分别作出 ＝a， ＝2b，则利用 向量加法的交换律可得b－a＋b＝（b＋b）－a，故 ＝（b＋b）－a.易知△OAB为等腰直角三角形，故 ∠OAB＝45°，且｜ ｜＝6 ，于是b－a＋b所表 示的意义为向西南走6 km.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 〔多选〕非零共线向量a，b的差为a－b，下列命题为真的是 （　　） A. 若a，b反向，则a－b与a同向，且｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜ B. 若a，b同向，且｜a｜＞｜b｜，则a－b与a同向，且｜a－b｜＝｜ a｜－｜b｜ C. 若a，b同向，且｜b｜＞｜a｜，则a－b与a反向，且｜a－b｜＝｜ b｜－｜a｜ D. 若｜a｜＝｜b｜，则a－b＝0 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　由符合条件的两向量差的几何意义知，对于A，如图1，A正 确；对于选项B，如图2，B正确；对于选项C，如图3，C正确；对于选项 D，当｜a｜＝｜b｜且a，b反向时，a－b≠0，D错误. 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 已知｜ ｜＝7，｜ ｜＝9，则｜ － ｜的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：∵｜｜ ｜－｜ ｜｜≤｜ － ｜≤｜ ｜＋｜ ｜ 且｜ ｜＝9，｜ ｜＝7，∴2≤｜ － ｜≤16.∴｜ － ｜ 的取值范围为[2，16]. [2， 16]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB和BC的中 点，G为AC与BD的交点. （1）若｜ ｜＝｜ ＋ ＋ ｜，则四边形ABCD是什么特殊的平 行四边形？ 解： ｜ ｜＝｜ ＋ ＋ ｜＝｜ ｜，故平行四边形ABCD 是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）化简 － － ，并在图中作出化简后的向量. 解： 因为E为AB的中点，所以 ＝ . 又F为BC的中点，所以由三角形中位线定理知EF∥AC， EF＝ AC，故 ＝ . 所以 － － ＝ － － ＝ －（ ＋ ）＝ － ＝ . 作出向量 ，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 如图，O为△ABC的外心，H为垂心，求证： ＝ ＋ ＋ . 证明：如图，连接AH，HC，延长BO交圆O于点D， 连接DA，DC，则OB＝OD，DA⊥AB，DC⊥BC. 又AH⊥BC，CH⊥AB， ∴CH∥DA，AH∥DC，∴四边形AHCD是平行四边形. ∴ ＝ .又 ＝ － ＝ ＋ ， ∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $