1 6.2.1 向量的加法运算 课后达标检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦向量加法运算，系统覆盖运算法则、几何意义及应用，通过基础题（如三角形向量合成）、综合题（正六边形向量转化）搭建学习支架，衔接向量概念与后续运算，帮助学生逐步掌握向量加法的核心方法。 其亮点在于以多样化题目培养数学眼光（观察几何图形中向量关系）、数学思维（逻辑推理与运算），如正六边形向量化简、雨滴速度合成问题，结合数形结合教学方法。学生能提升向量运算能力与应用意识，教师可通过分层题目实现精准教学。

6．2.1　课后达标检测 1 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 课后达标检测 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 1 2 课后达标检测 √ 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 3 课后达标检测 4．已知a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(　　) A.a，b同向 B.a，b反向 C.a与b不共线 D.以上选项均不正确 √ 3 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 4 课后达标检测 解析：当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；向量a与b同向时，a＋b的方向与a，b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a＋b的方向与b的方向相同(与a的方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|，向量a与b反向且|a|>|b|时，a＋b的方向与a的方向相同(与b的方向相反)，且|a＋b|＝|a|－|b|. 3 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 4 课后达标检测 √ 3 4 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 5 课后达标检测 √ 3 4 5 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 6 √ 课后达标检测 3 4 5 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 6 课后达标检测 7．某人骑自行车的速度是v1，风速是v2，则他逆风行驶的速度为__________． 解析：因为速度是向量，由向量的加法定义可得逆风行驶的速度为v1＋v2. 3 4 5 6 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 7 v1＋v2 课后达标检测 3 4 5 6 7 9 10 2 12 13 14 15 11 1 8 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 10 2 12 13 14 15 11 1 9 课后达标检测 10．(13分)如图，按下列要求作答． (1)以A为起点，作出a＋b；(4分) 解：将a，b的起点同时平移到点A，利用平行四边形法则作出a＋b，如图． 3 4 5 6 7 8 9 2 12 13 14 15 11 1 10 课后达标检测 (2)以B为起点，作出c＋d＋e；(4分) 解：先将共线向量c，d的起点同时平移到点B，计算出c＋d，再平移向量e与之首尾相接，利用三角形法则即可作出c＋d＋e，如图． 3 4 5 6 7 8 9 2 12 13 14 15 11 1 10 课后达标检测 (3)若图中小正方形边长为1，求|a＋b|，|c＋d＋e|.(5分) 3 4 5 6 7 8 9 2 12 13 14 15 11 1 10 课后达标检测 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 1 11 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 13 14 15 11 1 12 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 14 15 11 1 13 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 14 15 11 1 13 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 15 11 1 14 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 15 11 1 14 课后达标检测 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 15 √ √ 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 15 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 15 课后达标检测 解析： eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(MB,\s\up16(→))＋ eq \o(BO,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(OM,\s\up16(→))＝( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BO,\s\up16(→)))＋( eq \o(MB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→)))＋ eq \o(OM,\s\up16(→))＝ eq \o(AO,\s\up16(→))＋ eq \o(MC,\s\up16(→))＋ eq \o(OM,\s\up16(→))＝( eq \o(AO,\s\up16(→))＋ eq \o(OM,\s\up16(→)))＋ eq \o(MC,\s\up16(→))＝ eq \o(AM,\s\up16(→))＋ eq \o(MC,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→)). 1． eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(MB,\s\up16(→))＋ eq \o(BO,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(OM,\s\up16(→))＝(　　) A． eq \o(BC,\s\up16(→)) B． eq \o(AB,\s\up16(→)) C. eq \o(AC,\s\up16(→)) D． eq \o(AM,\s\up16(→)) 解析：在正六边形ABCDEF中，因为 eq \o(CD,\s\up16(→))＝ eq \o(AF,\s\up16(→))，所以 eq \o(BA,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))＋ eq \o(FE,\s\up16(→))＝ eq \o(BA,\s\up16(→))＋ eq \o(AF,\s\up16(→))＋ eq \o(FE,\s\up16(→))＝ eq \o(BE,\s\up16(→)). 2．如图，在正六边形ABCDEF中， eq \o(BA,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))＋ eq \o(FE,\s\up16(→))＝(　　) A.0 B． eq \o(BE,\s\up16(→)) C. eq \o(AD,\s\up16(→)) D． eq \o(DF,\s\up16(→)) 解析：由题意可得| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝| eq \o(BC,\s\up16(→))|＝| eq \o(AC,\s\up16(→))|，则△ABC为等边三角形． 3．在△ABC中，| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝| eq \o(BC,\s\up16(→))|＝| eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))|，则△ABC是(　　) A.直角三角形 B．等边三角形 C.钝角三角形 D．等腰直角三角形 解析： eq \o(PA,\s\up16(→))＋ eq \o(PB,\s\up16(→))＝ eq \o(PC,\s\up16(→))，根据向量加法的平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外部． 5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足 eq \o(PA,\s\up16(→))＋ eq \o(PB,\s\up16(→))＝ eq \o(PC,\s\up16(→))，则下列结论中正确的是(　　) A.P在△ABC的内部 B.P在△ABC的边AB上 C.P在AB边所在的直线上 D.P在△ABC的外部 6．(多选)下列四个式子中能化简为 eq \o(AD,\s\up16(→))的有(　　) A.( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→)))＋ eq \o(BC,\s\up16(→)) B.( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(MB,\s\up16(→)))＋( eq \o(CD,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))) C.( eq \o(MB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→)))＋ eq \o(BD,\s\up16(→)) D.( eq \o(OC,\s\up16(→))＋ eq \o(AO,\s\up16(→)))＋ eq \o(CD,\s\up16(→)) ( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(MB,\s\up16(→)))＋( eq \o(CD,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→)))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))＋ eq \o(MB,\s\up16(→))＝ eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \o(MB,\s\up16(→))，B不符合题意； ( eq \o(MB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→)))＋ eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(MB,\s\up16(→))＋ eq \o(BD,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(MD,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))，则C不符合题意； ( eq \o(OC,\s\up16(→))＋ eq \o(AO,\s\up16(→)))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))＝ eq \o(AD,\s\up16(→))，则D符合题意． 解析：( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→)))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))＝ eq \o(AD,\s\up16(→))，则A符合题意； 解析：在平行四边形ABCD中， eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(DC,\s\up16(→))＋ eq \o(BA,\s\up16(→))＝ eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(BA,\s\up16(→))＋ eq \o(DC,\s\up16(→))＝ eq \o(BD,\s\up16(→))＋ eq \o(DC,\s\up16(→))＝ eq \o(BC,\s\up16(→)). eq \o(BC,\s\up16(→)) 8．在平行四边形ABCD中， eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(DC,\s\up16(→))＋ eq \o(BA,\s\up16(→))＝__________． 解析：以OA，OB为邻边作平行四边形OACB(图略)，则 eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→))＝ eq \o(OC,\s\up16(→))，由∠AOB＝60°，| eq \o(OA,\s\up16(→))|＝| eq \o(OB,\s\up16(→))|＝1，得| eq \o(OC,\s\up16(→))|＝ eq \r(3). eq \r(3) 9．已知| eq \o(OA,\s\up16(→))|＝| eq \o(OB,\s\up16(→))|＝1，且∠AOB＝60°，则| eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→))|＝________． 解：由图中小正方形的边长为1，根据作出的向量利用勾股定理可知，|a＋b|＝ eq \r(12＋22)＝ eq \r(5)，|c＋d＋e|＝ eq \r(22＋32)＝ eq \r(13). 解析：因为点O是△ABC的外心， 则| eq \o(OA,\s\up16(→))|＝| eq \o(OB,\s\up16(→))|＝| eq \o(OC,\s\up16(→))|， 由 eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→))＝ eq \o(OC,\s\up16(→))结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且 ∠ACO＝∠BCO＝60°，所以△ABC的内角C等于120°. 11．若点O是△ABC的外心，且 eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→))＝ eq \o(OC,\s\up16(→))，则△ABC的内角C等于(　　) A.120° B．90° C．60° D．45° 解析：因为DE∥BC，AB∥CF， 所以四边形DFCB为平行四边形， 所以 eq \o(DF,\s\up16(→))＝ eq \o(BC,\s\up16(→))， eq \o(FC,\s\up16(→))＝ eq \o(DB,\s\up16(→))， 所以 eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(DF,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))， eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \o(FC,\s\up16(→))＝ eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \o(DB,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→)). eq \o(AC,\s\up16(→)) eq \o(AB,\s\up16(→)) 12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，则 eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(DF,\s\up16(→))＝________， eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \o(FC,\s\up16(→))＝________． 13．(13分)如图，已知在矩形ABCD中，| eq \o(AD,\s\up16(→))|＝4 eq \r(3)，设 eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(BC,\s\up16(→))＝b， eq \o(BD,\s\up16(→))＝c.求|a＋b＋c|. 解：a＋b＋c＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(BD,\s\up16(→))， 如图，延长BC至E，使| eq \o(CE,\s\up16(→))|＝| eq \o(BC,\s\up16(→))|，连接DE，因为 eq \o(CE,\s\up16(→))＝ eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(AD,\s\up16(→))， 所以四边形ACED是平行四边形， 所以 eq \o(AC,\s\up16(→))＝ eq \o(DE,\s\up16(→))， 所以 eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(DE,\s\up16(→))＋ eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(BE,\s\up16(→))， 所以|a＋b＋c|＝| eq \o(BE,\s\up16(→))|＝2| eq \o(BC,\s\up16(→))|＝2| eq \o(AD,\s\up16(→))|＝8 eq \r(3). 解：如图，用 eq \o(OA,\s\up16(→))表示无风时雨滴下落的速度， eq \o(OB,\s\up16(→))表示风使雨滴水平向东的速度． 14．(15分)雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4 m/s，现在有风，风使雨滴以 eq \f(4\r(3),3) m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时速度的大小和方向． 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则 eq \o(OC,\s\up16(→))就是雨滴下落的实际速度． 在Rt△OAC中，| eq \o(OA,\s\up16(→))|＝4， | eq \o(AC,\s\up16(→))|＝| eq \o(OB,\s\up16(→))|＝ eq \f(4\r(3),3)， 所以| eq \o(OC,\s\up16(→))|＝ eq \r(\a\vs4\al(|\o(OA,\s\up16(→))|2＋|\o(AC,\s\up16(→))|2))＝ eq \r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))\s\up12(2))＝ eq \f(8\r(3),3)， 所以tan ∠AOC＝ eq \f(|\o(AC,\s\up16(→))|,|\o(OA,\s\up16(→))|)＝ eq \f(\f(4\r(3),3),4)＝ eq \f(\r(3),3)，又0°<∠AOC<90°，所以∠AOC＝30°.故雨滴着地时速度的大小是 eq \f(8\r(3),3) m/s，方向为与竖直向下方向成30°角的方向． 15．(多选)已知△ABC是正三角形，给出下列等式，其中正确的有(　　) A.| eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))|＝| eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(CA,\s\up16(→))| B.| eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(CB,\s\up16(→))|＝| eq \o(BA,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))| C.| eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AC,\s\up16(→))|＝| eq \o(CA,\s\up16(→))＋ eq \o(CB,\s\up16(→))| D.| eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(AC,\s\up16(→))|＝| eq \o(CB,\s\up16(→))＋ eq \o(BA,\s\up16(→))＋ eq \o(CA,\s\up16(→))| 对于B，| eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(CB,\s\up16(→))|＝| eq \o(AB,\s\up16(→))|，如图所示，以BA，BC为邻边作平行四边形ABCD，由平面向量加法的平行四边形法则可得 eq \o(BA,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(BD,\s\up16(→))，显然| eq \o(AB,\s\up16(→))|≠| eq \o(BD,\s\up16(→))|，B错误； 对于C，以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，则 eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AC,\s\up16(→))＝ eq \o(AE,\s\up16(→))，以CA，CB为邻边作平行四边形ACBF，则 eq \o(CA,\s\up16(→))＋ eq \o(CB,\s\up16(→))＝ eq \o(CF,\s\up16(→)).由图可知，| eq \o(AE,\s\up16(→))|＝| eq \o(CF,\s\up16(→))|，即| eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AC,\s\up16(→))|＝| eq \o(CA,\s\up16(→))＋ eq \o(CB,\s\up16(→))|，C正确； 解析：对于A，| eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))|＝| eq \o(AC,\s\up16(→))|，| eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(CA,\s\up16(→))|＝| eq \o(BA,\s\up16(→))|，因为| eq \o(AC,\s\up16(→))|＝| eq \o(BA,\s\up16(→))|，A正确； 对于D，| eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2| eq \o(AC,\s\up16(→))|，| eq \o(CB,\s\up16(→))＋ eq \o(BA,\s\up16(→))＋ eq \o(CA,\s\up16(→))|＝2| eq \o(CA,\s\up16(→))|，因为| eq \o(AC,\s\up16(→))|＝| eq \o(CA,\s\up16(→))|，D正确． $