6.2.1 向量的加法运算-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 第六章 平面向量及其应用 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课堂 互动学案 课后 素养提升 02 03 课前 预习学案 01 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课程标准 素养解读 1.理解并掌握向量加法的概念，了解加法的物理意义． 2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练运用这两个法则作两个向量的加法运算． 3．了解向量加法的交换律和结合律. 通过学习向量的加法，重点培养学生的数学抽象和逻辑推理、数学建模素养. [情境引入] 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个重物，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力． 问题　1.你能从数学的角度解释这种现象吗？ 2．物理学中的两个位移的和体现了向量的什么运算？ 提示1.这涉及到向量的合成问题．即向量的加法． 2．体现了两个向量的加法运算． [知识梳理] [知识点一]　向量加法的定义及运算法则 1．求定义 求　两个向量和　的运算，叫作向量的加法． 2．运算法则 (1)三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A， 作eq \o(AB,\s\up13(→))＝a，eq \o(BC,\s\up13(→))＝b，再作向量eq \o(AC,\s\up13(→))，则向量　eq \o(AC,\s\up13(→))　 叫作a与b的和(或和向量)，记作　a＋b　， 即a＋b＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＝　eq \o(AC,\s\up13(→))　. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 规定：零向量与任一向量a的和都有a＋0＝　0　＋　a　＝a. (2)平行四边形法则 如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的　eq \o(OC,\s\up16(→))　就是a与b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则． 1.两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ 提示：两个向量相加，和向量还是一个向量，通过三角形法则或平行四边形法则可得和向量，两个向量的模相加，其和是一个实数，不是一个向量． [知识点二]　向量加法的运算律 (1)向量加法的交换律：将a的起点移至A点，将b的起点移至a的终点，则由a的起点A指向b的终点C的向量eq \o(AC,\s\up13(→))＝a＋b；同样将b的起点移至A点，将a的起点移至b的终点，则由b的起点A指向a的终点C′的向量eq \o(AC′,\s\up13(→))＝b＋a，由平行四边形法则知C必然和C′重合，即a＋b＝b＋a. (2)向量的加法满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，就可以按照任意的次序和任意的组合去进行．如(a＋b)＋(c＋d)＝(a＋d)＋(b＋c)． (3)向量加法运算满足：eq \o(A1A2,\s\up13(→))＋eq \o(A2A3,\s\up13(→))＋…＋An－1An＝eq \o(A1An,\s\up13(→)). 2.用运算律求得eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(CA,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))的结果是什么？ 提示：eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(CA,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＋eq \o(CA,\s\up13(→))＝eq \o(AC,\s\up13(→))＋eq \o(CA,\s\up13(→))＝0，故结果是0. [知识点三]　向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系 (1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|，几何背景是三角形两边之和大于第三边． (2)当a与b同向时，a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|. (3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. [预习自测] 1．在△ABC中，eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＝(　　) A.eq \o(BA,\s\up13(→)) B.eq \o(CB,\s\up13(→)) C.eq \o(AC,\s\up13(→)) D.eq \o(CA,\s\up13(→)) 答案：C 2．在矩形ABCD中，eq \o(AC,\s\up13(→))＝(　　) A.eq \o(BC,\s\up13(→))＋eq \o(BA,\s\up13(→)) B.eq \o(AD,\s\up13(→))＋eq \o(CD,\s\up13(→)) C.eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(DA,\s\up13(→)) D.eq \o(AD,\s\up13(→))＋eq \o(DC,\s\up13(→)) 答案：D 3.eq \o(AO,\s\up13(→))＋eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \o(OC,\s\up13(→))＋eq \o(CA,\s\up13(→))＋eq \o(BO,\s\up13(→))等于(　　) A.eq \o(AB,\s\up13(→)) B．0 C.eq \o(BC,\s\up13(→)) D.eq \o(AC,\s\up13(→)) 答案：B 4.在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))|＝________. 答案：eq \r(13) 5.如图所示，求： (1)a＋d； (2)c＋b； (3)e＋c＋b； (4)c＋f＋b 解：(1)a＋d＝d＋a＝eq \o(DO,\s\up13(→))＋eq \o(OA,\s\up13(→))＝eq \o(DA,\s\up13(→))； (2)c＋b＝eq \o(CO,\s\up13(→))＋eq \o(OB,\s\up13(→))＝eq \o(CB,\s\up13(→))； (3)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋eq \o(CB,\s\up13(→))＝eq \o(DC,\s\up13(→))＋eq \o(CB,\s\up13(→))＝eq \o(DB,\s\up13(→))； (4)c＋f＋b＝eq \o(CO,\s\up13(→))＋eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \o(BA,\s\up13(→))＝eq \o(CA,\s\up13(→)). 向量加法法则的应用 [例1]　(1)如图(1)所示，用向量加法的三角形法则作出a＋b； (2)如图(2)所示，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b. [思路点拨]　借助向量加法的几何意义作图． [解]　(1)在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up13(→))＝a，eq \o(AB,\s\up13(→))＝b，再作向量eq \o(OB,\s\up13(→))，则eq \o(OB,\s\up13(→))＝a＋b. (2)在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up13(→))＝a，eq \o(OB,\s\up13(→))＝b，再作平行eq \o(OB,\s\up13(→))的eq \o(AC,\s\up13(→))＝b，连接BC，则四边形OACB为平行四边形，eq \o(OC,\s\up13(→))＝a＋b. 用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用． [变式训练] 1．已知向量a，b，c，如图所示． 求作a＋b＋c. 解：在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up13(→))＝a，eq \o(AB,\s\up13(→))＝b，eq \o(BC,\s\up13(→))＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得eq \o(OB,\s\up13(→))＝a＋b，eq \o(OC,\s\up13(→))＝a＋b＋c. 向量加法运算 [例2] 如图，O为正六边形ABCDEF的中点，化简下列向量： (1)eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \o(OC,\s\up13(→))； (2)eq \o(BC,\s\up13(→))＋eq \o(FE,\s\up13(→))； (3)eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \o(FE,\s\up13(→)). [思路点拨]　解答本题充分利用正六边形的有关性质，利用向量加法法则运算作出相应向量． [解]　(1)由图知，OABC为平行四边形，∴eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \o(OC,\s\up13(→))＝eq \o(OB,\s\up13(→)). (2)由题图知eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \o(FE,\s\up13(→))＝eq \o(OD,\s\up13(→))＝eq \o(AO,\s\up13(→))， ∴eq \o(BC,\s\up13(→))＋eq \o(FE,\s\up13(→))＝eq \o(AO,\s\up13(→))＋eq \o(OD,\s\up13(→))＝eq \o(AD,\s\up13(→)). (3)∵eq \o(OD,\s\up13(→))＝eq \o(FE,\s\up13(→))， ∴eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \o(FE,\s\up13(→))＝eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \o(OD,\s\up13(→)). 又eq \o(OA,\s\up13(→))＝eq \o(DO,\s\up13(→))，∴eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \o(FE,\s\up13(→))＝eq \o(DO,\s\up13(→))＋eq \o(OD,\s\up13(→))＝0. 应用三角形法则和平行四边形法则求和向量时，要注意它们的使用条件，三角形法则适用于任何两个非零向量，且要首尾相接，平行四边形法则适用于不共线的两个向量，且要有同一起点．当两个向量不是首尾相接或同一起点时，可通过相等向量进行转化． [变式训练] 2．化简或计算： (1)eq \o(CD,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＋eq \o(AB,\s\up13(→))； (2)eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(DF,\s\up13(→))＋eq \o(CD,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＋eq \o(FA,\s\up13(→)). 解：(1)eq \o(CD,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＋eq \o(AB,\s\up13(→))＝(eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→)))＋eq \o(CD,\s\up13(→)) ＝eq \o(AC,\s\up13(→))＋eq \o(CD,\s\up13(→))＝eq \o(AD,\s\up13(→)). (2)eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(DF,\s\up13(→))＋eq \o(CD,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＋eq \o(FA,\s\up13(→))＝(eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→)))＋(eq \o(CD,\s\up13(→))＋eq \o(DF,\s\up13(→)))＋eq \o(FA,\s\up13(→))＝eq \o(AC,\s\up13(→))＋eq \o(CF,\s\up13(→))＋eq \o(FA,\s\up13(→))＝eq \o(AF,\s\up13(→))＋eq \o(FA,\s\up13(→))＝0. 用向量加法证明几何问题 [例3] 如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上取点E，F，使BE＝DF. 求证：四边形AECF是平行四边形． [思路点拨]　证明eq \o(FA,\s\up13(→))＝eq \o(CE,\s\up13(→))或eq \o(FC,\s\up13(→))＝eq \o(AE,\s\up13(→))即可． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DA綊CB，∴eq \o(DA,\s\up13(→))＝eq \o(CB,\s\up13(→)). 又∵DF＝BE且DF与BE共线，∴eq \o(FD,\s\up13(→))＝eq \o(BE,\s\up13(→)). ∴eq \o(FD,\s\up13(→))＋eq \o(DA,\s\up13(→))＝eq \o(BE,\s\up13(→))＋eq \o(CB,\s\up13(→)). 即eq \o(FA,\s\up13(→))＝eq \o(CE,\s\up13(→)).∴FA綊CE.∴四边形AECF是平行四边形． 用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题． [变式训练] 3.如图，在平行四边形ABCD中．对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点． 求证：eq \o(PA,\s\up13(→))＋eq \o(PB,\s\up13(→))＋eq \o(PC,\s\up13(→))＋eq \o(PD,\s\up13(→))＝4eq \o(PO,\s\up13 (→)). 证明：∵eq \o(PA,\s\up13(→))＋eq \o(PB,\s\up13(→))＋eq \o(PC,\s\up13(→))＋eq \o(PD,\s\up13(→)) ＝eq \o(PO,\s\up13(→))＋eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \o(PO,\s\up13(→))＋eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \o(PO,\s\up13(→))＋eq \o(OC,\s\up13(→))＋eq \o(PO,\s\up13(→))＋eq \o(OD,\s\up13(→)) ＝4eq \o(PO,\s\up13(→))＋(eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \o(OC,\s\up13(→))＋eq \o(OD,\s\up13(→))) ＝4eq \o(PO,\s\up13(→))＋(eq \o(OA,\s\up13(→))＋eq \o(OC,\s\up13(→)))＋(eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \o(OD,\s\up13(→))) ＝4eq \o(PO,\s\up13(→))＋0＋0＝4eq \o(PO,\s\up13(→)). ∴eq \o(PA,\s\up13(→))＋eq \o(PB,\s\up13(→))＋eq \o(PC,\s\up13(→))＋eq \o(PD,\s\up13(→))＝4eq \o(PO,\s\up13(→)). $