6.1 平面向量的概念（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量的概念、表示方法及零向量、单位向量、相等向量、共线向量等相关概念。以军事演习导弹射击实例导入，通过A、B两地航行指令的思考搭建支架，衔接实际背景与数学抽象，逐步展开知识梳理与跟踪训练。 其亮点在于用真实情境培养数学眼光，通过表格梳理概念、即时练辨析易错点发展数学思维，以有向线段表示位移强化数学语言表达。采用实例驱动、讲练结合的教学方法，课堂小结系统整合知识，助力学生理解向量本质，也为教师提供清晰教学逻辑与丰富资源。

第六章　平面向量及其应用 6．1　平面向量的概念 1 新课导入 学习目标   在一次军事演习中，某导弹 部队接到射击某目标的命令． 要使导弹击中目标，不仅需要知道目标与导弹发射地点间的距离，还需要知道导弹发射的方向．可用本节所要学的平面向量来表示． 1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念． 2．掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念． 3．理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 4 思考　大海中A，B两地相距15 n mile，位置如图．怎样下达航行指令，小船才能从A地到达B地？ 提示：沿东南方向，航行15 n mile. 返回导航 [知识梳理] 1．概念：既有______又有______的量叫做向量． 2．表示：(1)有向线段：具有______的线段，它包含三个要素：______、______、______． 大小 方向 方向 起点 方向 长度 返回导航 (2)向量的表示： 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 用有向线段表示向量的方法 (1)画图思路 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向． (2)具体步骤 返回导航 [跟踪训练1] (1) 如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出向量的个数为________． 12 返回导航 (2) 如图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移． 返回导航 提示：模为0. 返回导航 [知识梳理] 向量名称 定义 零向量 长度为____ 的向量，记作 ____ 单位向量 长度等于____________的向量 0 0 1个单位长度 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)向量的模都是正实数．(　　) (2)单位向量只有一个．(　　) (3)向量的大小与方向无关．(　　) (4)方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小．(　　) × × √ × 返回导航 2．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量的长度都为0 C．单位向量方向相同 D．单位向量的长度都相等 解析：对于A，B，零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确； 对于C，D，单位向量是长度等于1个单位长度的向量，方向不一定相同，故C错误，D正确． √ √ 返回导航 理解零向量和单位向量应注意的问题 (1)零向量的方向是任意的，零向量的模为0. (2)单位向量的模都相等，平面内同一起点的单位向量有无数个，当起点为原点时，它们的终点构成一个单位圆． 返回导航 提示：大小相等，方向相同． 返回导航 提示：大小不等，方向相同． 返回导航 [知识梳理] 向量名称 定义 平行向量 (共线向量) 方向____________的非零向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定：零向量与任意向量______，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 长度______且方向______的向量．向量a与b相等，记作a＝b 相同或相反 平行 相等 相同 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量． 返回导航 √ √ 返回导航 解析：当|a|＝|b|时，a，b的方向不一定相同，所以a，b可能不相等，A错误； 根据向量相等的定义，由a＝b，b＝c可得a＝c，C正确； 当|a|＝|b|且a，b方向相反时，a≠b，所以“a＝b”是“|a|＝|b|且a∥b”的充分不必要条件，D错误． 返回导航 1 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 29 1．下列说法中正确的是(　　) A．时间能称为向量 B．所有单位向量都是相等向量 C．若a，b是共线的单位向量，则a＝b D．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 √ 返回导航 解析：时间只有大小，没有方向，不是向量，故A错误； 所有单位向量的模都为1，但方向不一定相同，所以不一定是相等向量，故B错误； 若a，b是共线的单位向量，则a与b的方向相同或相反，故C错误； 因为零向量与任何向量共线，故D正确． 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 菱形 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：(1)向量的概念及表示． (2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量). 2．须贯通：向量是既有大小又有方向的量，共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量，与平面几何中的“共线”、“平行”是不同的． 3．应注意：(1)零向量的模为零，方向不确定，不是没有方向； (2)所有的单位向量的模都是1个单位长度，方向未必相同． 返回导航 [例1] 如图，某人从点A出发，向西走了200 m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了100m后到达点C，最后向东走了200 m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； 【解】　根据题意可知，点B的坐标为(－200，0)，且BD⊥AB，CD⊥BD. 又||＝100，||＝200，所以||＝300，即D，C两点的坐标分别为(－200，300)，(－400，300). 作出，，，如图所示． (2)求的模． 【解】　由题意可知，CD∥AB且CD＝AB＝200， 所以四边形ABCD是平行四边形， 则||＝||＝100. 解析：由向量的几何表示知，可以写出的向量如下：，，，，，，，，，，，，共12个． 解：上午的位移为，下午的位移为，这一天内的位移为，如图． 思考　在实数中，有“0”这样特殊的数，在向量中，终点与起点重合的向量的模是多少？ 思考1　如图所示，边长为1的菱形ABCD中，向量与有什么关系？ 思考2　如图所示，在梯形ABCD中，向量与有什么关系？ [例2] (对接教材例2)如图，E，F，G依次是正三角形ABC的边AB，BC，AC的中点． (1)在以A，B，C，E，F，G为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，找出与向量共线的非零向量； 【解】　因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，且EF＝AC，所以与向量共线的向量是，，，，，，. (2)在以A，B，C为起点，E，F，G为终点的所有有向线段表示的向量中，找出与向量模相等的向量； 【解】　因为△ABC是正三角形， 所以AB＝AC＝BC， 又E，F，G分别为边AB，BC，AC的中点， 所以AE＝EB＝GF＝EF＝GC＝AG＝BF＝FC＝EG， 所以在以A，B，C为起点，E，F，G为终点的所有有向线段表示的向量中，与向量模相等的向量为，，，，，. (3)在以E，F，G为起点，A，B，C为终点的所有有向线段表示的向量中，找出与向量相等的向量． 【解】　在以E，F，G为起点，A，B，C为终点的所有有向线段表示的向量中，与向量相等的向量为. [跟踪训练2] (1)(多选)给出下列四个命题，其中正确的命题是(　　) A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若a＝b，b＝c，则a＝c D．“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b” 因为A，B，C，D是不共线的四点，＝，所以AB∥CD，AB＝CD，故四边形ABCD为平行四边形，若四边形ABCD为平行四边形，则＝，所以“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，B正确； (2)如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在以正六边形的顶点为起点，O为终点的所有有向线段表示的向量中，与向量相等的向量有________个． 解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量只有. 2．(多选)(教材P5T4改编)设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是(　　) A．＝ B．||＝|| C．＝ D．与共线 解析：因为点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点，即有＝，A正确； 平行四边形对角线长不一定相等，则||与||不一定相等，B不正确； 点A，O，B不共线，C不正确； 在平行四边形ABCD中，AB∥CD，即有与共线，D正确． 3．在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为________． 解析：因为＝，所以AB＝DC，AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形，又||＝||，所以四边形ABCD是菱形． 4．(教材P5T1改编)在如图所示的坐标纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)||＝3，点A在点O的正西方向； 解：因为||＝3，点A在点O的正西方向，所以向量如图所示． (2)|| ＝3，点B在点O的北偏西45°方向． 解：因为||＝3，点B在点O的北偏西45°方向，所以向量如图所示． $