6.2.2 向量的减法运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦向量的减法运算，通过物理作用力与反作用力实例引入相反向量，类比数的减法定义向量减法，以“减法是加法逆运算”为支架，衔接向量加法与减法的知识脉络。 其亮点在于融合直观想象与数学思维，借助思维导图梳理定义及几何意义，典例采用一题多解（如向量式化简）和定向训练（如图形表示b-c），类题通法总结转化与三角形法则，知识延拓三角不等式培养推理能力。学生能深化几何直观，教师可依托结构化设计提升教学效果。

课前自主学习 课堂合作探究 课堂学业达标 6.2.2　向量的减法运算 素养目标 思维导图 借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量减法运算及理解其几何意义.(直观想象) ‹#› 课前自主学习 问题1.如图,物体的运动向与火焰的运动向是否一致?在物理中, 体现了哪两种力及它们有哪些关系? 提示:不一致,运动向相反,体现了作用力与反作用力.作用力与反 作用力大小相等、向相反. 问题2.在数的运算中,减法是加法的逆运算,其运算法则是“减去一个数等于加上这 个数的相反数”.类比数的减法,向量的减法与加法有什么关系? 提示:向量的减法也有类似法则,定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个 向量的相反向量. ‹#› 【核心概念】 1.相反向量 与a长度相等、向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a. 规定:零向量的相反向量仍是零向量. ‹#› 相反向量 终点 终点 ‹#› 课堂合作探究 ‹#› 【类题通法】 向量减法运算的常用法 ‹#› 【知识延拓】 非零向量的差的三角不等式 (1)当a,b不共线时,根据三角形边长的不等关系知||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|. (2)当a,b共线且同向时, 若|a|>|b|,则a-b与a,b同向,且|a-b|=|a|-|b|; 若|a|<|b|,则a-b与a,b反向,且|a-b|=|b|-|a|. (3)当a,b共线且反向时,a-b与a同向,与b反向,且|a-b|=|a|+|b|. 综上所述,对于任意两个非零向量,总有下列向量不等式成立:||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|. ‹#› ‹#› ‹#› √ ‹#› 【类题通法】 利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意 (1)一个关键: 一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道. (2)三点注意: ①注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形三向量之间的关系; ②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律; ③注意在封闭图形中利用多边形法则. ‹#› √ ‹#› 探究点三　向量减法几何意义的应用 【典例3】(1)已知|a|=2,|b|=4,且a,b不是向相反的向量,则|a-b|的取值范围是 (　　) A.(2,6) B.[2,6) C.(2,6] D.[2,6] 【思维导引】直接由||a|-|b||≤|a-b|<|a|+|b|求解即可. 【解析】选B.由已知必有||a|-|b||≤|a-b|<|a|+|b|,则所求的取值范围是[2,6). √ ‹#› √ ‹#› 【类题通法】 向量a+b,a-b的几何意义的基本思路 (1)先对向量条件化简、转化. (2)再找(作)图形(三角形或平行四边形),确定图形的形状. (3)对于平行四边形、菱形、矩形、正形对角线具有的性质要熟悉并会应用. ‹#› √ ‹#› 课堂学业达标 √ ‹#› √ ‹#› √ ‹#› ‹#› ‹#› 2.向量的减法 定义 a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的_________ 作法 在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量a-b=____.如图所示 几何 意义 如果把两个向量a,b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b的_____指向向量 a的______的向量 探究点一　向量的减法运算 【典例1】(一题多解) 化简下列各式: (1)(+)+(--); (2)--. 【思维导引】按照向量的运算法则进行运算. 【解析】(1)方法一:原式=+++=(+)+(+)=+=; 方法二:原式=+++=+(+)+=++=+0=. (2)方法一:原式=-=; 方法二:原式=-(+)=-=. 【定向训练】 (一题多解) 如图所示,O为△ABC内一点,=a,=b,=c,求作:b+c-a. 【解析】方法一:以OB,OC为邻边作▱OBDC,连接OD,AD, 则=+=b+c,=-=b+c-a. 方法二:作==b, 连接AD,则=-=c-a,=+=c-a+b=b+c-a. 探究点二　利用已知向量表示其他向量 【典例2】如图,向量=a,=b,=c,则向量可以表示为 (　　) A.a+b-c B.a-b+c C.b-a+c D.b-a-c 【思维导引】根据向量的线性运算法则结合图形可得. 【解析】选C.根据向量运算法则可得=+=-+, 又=a,=b,=c,所以=b-a+c. 【定向训练】 已知O是平行四边形ABCD内一点,设=a,=b,=c,则= (　　) A.a+b+c B.-a+b+c C.a-b+c D.a+b-c 【解析】选C.在平行四边形ABCD中,=,则-=-, 所以=+-=a-b+c. (2)在四边形ABCD中,=+,则一定有 (　　) A.四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形 C.四边形ABCD是梯形 D.四边形ABCD是平行四边形 【解析】选D.因为=+,所以=-=,即AD=BC且AD∥BC, 所以四边形ABCD的一组对边平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形. 【定向训练】 在△ABC中,若||=||=|-|,则△ABC的形状为 (　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【思维导引】根据向量的减法法则可得|-|=||,由三边相等关系即可得出结果. 【解析】选A.因为|-|=||,||=||=|-|,所以||=||=||,所以△ABC为等边三角形. 1.在△ABC中,=a,=b,则= (　　) A.a-b B.b-a C.a+b D.-a-b 【解析】选D.=-=--=-a-b. 2.如图所示,已知ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中=a,=b,=c, 则等于(　　) A.a+b 　　 B.b-a C.c-b 　　 D.b-c 【解析】选D.如题干图==-=b-c. 3.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(　　) A.-=0 B.-= C.-= D.+=0 【解析】选C.因为=,所以-=0,A正确;因为-=+=,B正确; 因为-=+=,C错误; 因为=,所以=-,所以+=0,D正确. 4.已知A,B,C,D为平面上的四个点,则-++=　　　　.  【解析】-++=+++=+=0. 答案:0 5.已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|=　　　　.  【解析】因为||=12,||=5,∠AOB=90°, 所以||2+||2=||2,所以||=13. 因为=a,=b,所以a-b=-=, 所以|a-b|=||=13. 答案:13 $