6.1 平面向量的概念 课后达标检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦向量的基本概念及应用，通过汽车、摩托车运动实例导入，结合圆上A、B、C三点的几何图形，衔接数量与向量的知识脉络，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于通过实例辨析（如温度、功是否为向量）培养数学眼光，借助命题判断（如共线向量、单位向量）发展数学思维，用几何图形与实际情境帮助学生用数学语言表达。分层设计基础达标、能力提升、素养拓展练习，助力学生深化概念理解，也为教师提供清晰的教学实施路径。

6．1　课后达标检测 1 √ 1．下列命题中正确的是(　　) A．温度、加速度、摩擦力、功都是向量 B．零向量的方向是任意的 C．长度相等的两个向量必相等 D．平面直角坐标系上的x轴、y轴都是向量 4 5 6 7 8 1 9 10 12 11 2 3 课后达标检测 15 14 13 解析：加速度、摩擦力是向量，温度和功没有方向，不是向量，A错误； 零向量有方向，它的方向是任意的，B正确； 长度相等且方向相同的向量为相等向量，C错误； 平面直角坐标系上的x轴、y轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量，D错误． 4 5 6 7 8 1 9 10 12 11 2 3 课后达标检测 15 14 13 √ 2．已知汽车以大小为120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以大小为45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列说法正确的是(　　) A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对 解析：速度和位移都是向量，向量不能比较大小． 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 课后达标检测 15 14 13 √ 3．下列命题中，正确的是(　　) A．若a∥b，a与b的方向相同或相反 B．若a∥b，b∥c，则a∥c C．若a≠b，则a与b可能是共线向量 D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 课后达标检测 15 14 13 解析：对于A，若a＝0，则a∥b，但零向量的方向是任意的，A错误； 对于B，取b＝0，则a∥b，b∥c，但a，c不一定平行，B错误； 对于C，若a≠b，可能存在这样的情况：两向量方向相同但长度不同，或两向量方向相反，此时它们仍为共线向量，C正确； 对于D，若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量方向相同或相反，D错误． 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 课后达标检测 15 14 13 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 课后达标检测 15 14 13 对于C，共线向量是方向相同或相反的非零向量，所以C错误； 对于D，相等向量指的是长度相等且方向相同的向量，所以D错误． 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 课后达标检测 15 14 13 √ 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 课后达标检测 15 14 13 √ √ 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 课后达标检测 15 14 13 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 课后达标检测 15 14 13 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 课后达标检测 15 14 13 A，B，C三点共线 B是AC的中点 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 课后达标检测 15 14 13 0 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 课后达标检测 15 14 13 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 课后达标检测 15 14 13 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 课后达标检测 15 14 13 √ √ √ 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 课后达标检测 15 14 13 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 课后达标检测 15 14 13 5 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 课后达标检测 15 14 13 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 3 1 课后达标检测 15 14 13 13 课后达标检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 14 课后达标检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 14 13 课后达标检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 14 13 12 课后达标检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 14 13 课后达标检测 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 1 12 15 14 13 4．如图，在⊙O中，点A，B，C均为⊙O上的点，则向量 eq \o(BO,\s\up16(→))， eq \o(OC,\s\up16(→))， eq \o(OA,\s\up16(→))是(　　) A.有相同起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 解析：对于A，根据题图，可得向量 eq \o(BO,\s\up16(→))， eq \o(OC,\s\up16(→))， eq \o(OA,\s\up16(→))不是有相同起点的向量，所以A错误； 对于B，因为O是圆心，那么向量 eq \o(BO,\s\up16(→))， eq \o(OC,\s\up16(→))， eq \o(OA,\s\up16(→))的模长是一样的，所以B正确； 5．八卦是中国古代的基本哲学概念，如图1为太极八卦图．若现将一幅八卦图简化为正八边形ABCDEFGH如图2，中心为O，则与 eq \o(EF,\s\up16(→))相等的向量是(　　) A． eq \o(FE,\s\up16(→)) B． eq \o(CH,\s\up16(→)) C． eq \o(BA,\s\up16(→)) D． eq \o(OG,\s\up16(→)) 解析：根据相等向量的定义可知，与 eq \o(EF,\s\up16(→))相等的向量是 eq \o(BA,\s\up16(→)). 6．(多选)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　) A． eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(AC,\s\up16(→))共线 B． eq \o(DE,\s\up16(→))与 eq \o(CB,\s\up16(→))共线 C． eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(AE,\s\up16(→))共线 D． eq \o(AD,\s\up16(→))与 eq \o(BD,\s\up16(→))共线 解析：对于A，因为AB与AC不平行，且不在同一条直线上，所以 eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(AC,\s\up16(→))不共线，A错误； 对于B，因为D，E分别是AB，AC的中点，则DE与BC平行，故 eq \o(DE,\s\up16(→))与 eq \o(CB,\s\up16(→))共线，B正确； 对于C，因为AB与AE不平行，且不在同一条直线上，所以 eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(AE,\s\up16(→))不共线，C错误； 对于D，因为D是AB的中点，所以AD＝BD，且 eq \o(AD,\s\up16(→))与 eq \o(BD,\s\up16(→))方向相反，所以 eq \o(AD,\s\up16(→))与 eq \o(BD,\s\up16(→))共线，D正确． 7．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则| eq \o(OA,\s\up16(→))|＝________，与 eq \o(OA,\s\up16(→))相等的向量是________． 解析：易知| eq \o(OA,\s\up16(→))|＝ eq \f(1,2)| eq \o(CA,\s\up16(→))|＝ eq \f(1,2)×2 eq \r(2)＝ eq \r(2)， eq \o(CO,\s\up16(→))与 eq \o(OA,\s\up16(→))的模相等，方向相同，所以 eq \o(CO,\s\up16(→))＝ eq \o(OA,\s\up16(→)). eq \r(2) eq \o(CO,\s\up16(→)) 8．已知A，B，C是平面上三个不同的点，若 eq \o(AB,\s\up16(→))∥ eq \o(BC,\s\up16(→))，则A，B，C的位置关系是____________________；若进一步有 eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \o(BC,\s\up16(→))，则A，B，C的位置关系是____________________． 解析：因为 eq \o(AB,\s\up16(→))∥ eq \o(BC,\s\up16(→))且有一个公共点B， 所以A，B，C三点共线； 因为 eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \o(BC,\s\up16(→))， eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(BC,\s\up16(→))方向相同且长度相等， 所以B是AC的中点． 9．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量 eq \o(AB,\s\up16(→))是平行向量，与 eq \o(BC,\s\up16(→))是共线向量，则m＝__________． 解析：因为A，B，C是不共线的三点，所以向量 eq \o(AB,\s\up16(→))与向量 eq \o(BC,\s\up16(→))不共线，又因为m∥ eq \o(AB,\s\up16(→))，m∥ eq \o(BC,\s\up16(→))，所以m＝0. 10．(13分)如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中： (1)分别写出与 eq \o(AO,\s\up16(→))， eq \o(BO,\s\up16(→))相等的向量；(4分) 解：由题意 eq \o(AO,\s\up16(→))＝ eq \o(BF,\s\up16(→))， eq \o(BO,\s\up16(→))＝ eq \o(AE,\s\up16(→)). (2)写出与 eq \o(AO,\s\up16(→))方向相反的向量；(4分) 解：由题意，与 eq \o(AO,\s\up16(→))方向相反的向量为 eq \o(CO,\s\up16(→))， eq \o(DE,\s\up16(→)). (3)写出与 eq \o(AO,\s\up16(→))的模相等的向量．(5分) 解：由题意，与 eq \o(AO,\s\up16(→))的模相等的向量为 eq \o(CO,\s\up16(→))， eq \o(BF,\s\up16(→))， eq \o(DE,\s\up16(→))， eq \o(AE,\s\up16(→))， eq \o(BO,\s\up16(→))， eq \o(DO,\s\up16(→))， eq \o(CF,\s\up16(→)). 11．(多选)已知 eq \o(OA,\s\up16(→))与 eq \o(OB,\s\up16(→))是平行向量，且| eq \o(OA,\s\up16(→))|＝4| eq \o(OB,\s\up16(→))|＝4，则下列结论可能成立的是(　　) A．| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝5 B．| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝3 C． eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(OB,\s\up16(→))方向相同 D． eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(OA,\s\up16(→))方向相同 解析：当 eq \o(OA,\s\up16(→))与 eq \o(OB,\s\up16(→))方向相同时， eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(OA,\s\up16(→))， eq \o(OB,\s\up16(→))方向都相反，且| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝3；当 eq \o(OA,\s\up16(→))与 eq \o(OB,\s\up16(→))方向相反时， eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(OB,\s\up16(→))方向相同，与 eq \o(OA,\s\up16(→))方向相反，且| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝5，故选项A，B，C可能成立． 12．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(每个小方格都是单位正方形)中，若象在A处，可跳到A1处，用向量 eq \o(AA1,\s\up16(→))表示象走了“一步”，若象在B或C处，则以B，C为起点表示象走了“一步”的向量共有________个． 解析：象在B处有一条路可走，在C处有四条路可走，如图，以B点为起点作向量，共1个，记作 eq \o(BB1,\s\up16(→))；以C点为起点作向量，共4个，分别记作 eq \o(CC1,\s\up16(→))， eq \o(CC2,\s\up16(→))， eq \o(CC3,\s\up16(→))， eq \o(CC4,\s\up16(→))，所以共有5个． (3)与 eq \o(EC,\s\up16(→))相等的向量．(4分) 解：与 eq \o(EC,\s\up16(→))相等的向量为 eq \o(BD,\s\up16(→)). 13．(13分)如图所示，四边形ABCD为正方形，BDCE为平行四边形，在以A，B，C，D，E为起点和终点的所有有向线段表示的非零向量中，写出： (1)与 eq \o(AB,\s\up16(→))相等的向量；(4分) 解：与 eq \o(AB,\s\up16(→))相等的向量有 eq \o(BE,\s\up16(→))， eq \o(DC,\s\up16(→)). (2)与 eq \o(AB,\s\up16(→))共线的向量；(5分) 解：与 eq \o(AB,\s\up16(→))共线的向量有 eq \o(DC,\s\up16(→))， eq \o(BE,\s\up16(→))， eq \o(CD,\s\up16(→))， eq \o(EB,\s\up16(→))， eq \o(BA,\s\up16(→))， eq \o(EA,\s\up16(→))， eq \o(AE,\s\up16(→)). 14．(13分)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且| eq \o(AC,\s\up16(→))|＝ eq \r(5). (1)画出所有的向量 eq \o(AC,\s\up16(→))；(6分) 解：画出所有的向量 eq \o(AC,\s\up16(→))，如图所示． (2)求| eq \o(BC,\s\up16(→))|的最大值与最小值．(7分) 解：由(1)知，当点C位于点C1或C2时，| eq \o(BC,\s\up16(→))|取得最小值 eq \r(12＋22)＝ eq \r(5)； 当点C位于点C5或C6时，| eq \o(BC,\s\up16(→))|取得最大值 eq \r(42＋52)＝ eq \r(41)， 所以| eq \o(BC,\s\up16(→))|的最大值为 eq \r(41)，最小值为 eq \r(5). 15．如图所示，在▱ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{ eq \o(MN,\s\up16(→))|M，N∈S，且M，N不重合}，则集合T中元素的个数为________． 解析：由题可知，集合S中任意两点连成的有向线段共有20个，即 eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(AC,\s\up16(→))， eq \o(AD,\s\up16(→))， eq \o(AO,\s\up16(→))， eq \o(BA,\s\up16(→))， eq \o(BC,\s\up16(→))， eq \o(BD,\s\up16(→))， eq \o(BO,\s\up16(→))， eq \o(CA,\s\up16(→))， eq \o(CB,\s\up16(→))， eq \o(CD,\s\up16(→))， eq \o(CO,\s\up16(→))， eq \o(DA,\s\up16(→))， eq \o(DB,\s\up16(→))， eq \o(DC,\s\up16(→))， eq \o(DO,\s\up16(→))， eq \o(OA,\s\up16(→))， eq \o(OB,\s\up16(→))， eq \o(OC,\s\up16(→))， eq \o(OD,\s\up16(→)).由平行四边形的性质可知，共有8对相等向量，即 eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \o(DC,\s\up16(→))， eq \o(BA,\s\up16(→))＝ eq \o(CD,\s\up16(→))， eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(BC,\s\up16(→))， eq \o(DA,\s\up16(→))＝ eq \o(CB,\s\up16(→))， eq \o(AO,\s\up16(→))＝ eq \o(OC,\s\up16(→))， eq \o(OA,\s\up16(→))＝ eq \o(CO,\s\up16(→))， eq \o(DO,\s\up16(→))＝ eq \o(OB,\s\up16(→))， eq \o(OD,\s\up16(→))＝ eq \o(BO,\s\up16(→)). 因为集合中元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个． $