2 8.1 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及简单组合体，承接多面体学习，通过平面图形旋转形成旋转体，构建从平面到空间的几何体认知支架。 以孔子六艺城“数厅”等现实情境导入，培养数学眼光，通过实物抽象、轴截面转化等方法发展空间观念与数学思维，即时练与例题结合，课中辅助教学，课后助力学生巩固查漏。

第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 新课导入 学习目标 在孔子六艺城中有一个地方是数学爱好者最爱去的，那就是“数厅”．如图，以圆柱体为基座，巨型球体悬其之上，形成了国内少有的圆形建筑物，甚为壮观． 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征． 2．能利用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 如图，给出下列实物图． 思考1　上述三个实物图可以抽象出哪种几何体？这些几何体与多面体有何不同？ 提示：三个实物图抽象出的几何体如图： 与多面体相比较，围成这些几何体的面不全是平面． 思考2　上述几何体中的曲面分别是哪个平面图形旋转而成的？ 提示：分别是由半圆绕直径所在直线、直角梯形绕垂直于底边的一腰所在直线、直角三角形绕一直角边所在直线为轴旋转而成的． [知识梳理] 1．圆柱、圆锥、圆台 类别 圆柱 圆锥 圆台 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 相 关 概 念 轴：旋转轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 轴：旋转轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 顶点：母线的交点 上底面：原圆锥的截面 下底面：原圆锥的底面 轴：上、下底面圆心的连线所在的直线 侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面 母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分 图 形 及 表 示 结 构 特 征 (1)圆柱的两个底面是圆面，而不是圆． (2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等 (1)底面是圆面． (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点 (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面． (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点 2.球 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图形 球心 半圆的圆心 半径 连接球心和球面上任意一点的线段 直径 连接球面上两点并且经过球心的线段 表示 球常用表示球心的字母来表示，如球O 结构 特征 (1)球面是旋转形成的曲面．球面也可看成空间中到定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合． (2)球的截面都是圆面 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)圆柱的母线与轴平行．(　　) (2)圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形．(　　) (3)圆台的所有平行于底面的截面都是圆面．(　　) (4)以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．(多选)下列命题为假命题的是(　　) A．矩形绕一条直线旋转一周所得的旋转体是圆柱 B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 解析：选ABC.矩形绕其对角线所在直线旋转一周得到的旋转体不是圆柱，A为假命题；以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台，B为假命题；由圆柱、圆台母线的性质可知D为真命题，C为假命题． 3．平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是________；圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是__________、__________、__________． 答案：圆面　矩形　等腰三角形　等腰梯形 (1)判断旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成； ②明确旋转轴是哪条直线． (2)简单旋转体的轴截面及其应用 ①旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现旋转体结构特征的关键量； ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想． 思考　如图为天宫空间站飞行器的部分结构示意图．图中标注的①②③部分分别为什么几何体？ 提示：①为圆柱，②为圆台，③为圆柱． [知识梳理] 1．概念 由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 2．构成形式 有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的． [例1] (对接教材例2)观察下列几何体的结构特点，完成以下问题． (1)图1所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出旋转180°后能得到图1所示几何体的几何图形； (2)图2所示几何体结构特点是什么？试画出旋转360°后能得到图2所示几何体的几何图形； (3)图3所示几何体是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数． 【解】　(1)题图1所示几何体是由圆锥和圆台组合而成的，将图1旋转180°得到题图1中的几何体． 　　　　 (2)题图2所示几何体是由一个圆台从上而下挖去一个圆锥，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心而形成的．将图2旋转360°得到题图2中的几何体． (3)题图3所示几何体是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成的，且四棱锥的底面与四棱柱的底面相同．共有9个面、16条棱、9个顶点． 判断组合体构成的方法 (1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体． (2)组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分构成的，要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证． 　 [跟踪训练1] (1)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转一周形成的面围成的(　　) 解析：选A.该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故选A. (2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括(　　) A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆柱、一个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 解析：选D.图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个如图2所示的组合体，包括一个圆柱、两个圆锥． [例2] (1)用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为(　　) A．32　　　 B．　　　 C．　　　 D． (2)已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________．(用Q表示) 【解析】　(1)当圆柱的高h＝8时，2πr＝4，所以圆柱的轴截面的面积为S＝2rh＝； 当圆柱的高h＝4时，2πr＝8，所以圆柱的轴截面的面积为S＝2rh＝. (2)设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r，由4r2＝Q，解得r＝，所以此圆柱的底面半径为. 【答案】　(1)B　(2) 解决旋转体中计算问题的方法策略 (1)巧用轴截面实现空间图形平面化：旋转体中有关底面半径、母线、高以及有关球的问题的计算，可巧用轴截面求解，即将立体问题转化为平面问题． (2)在有的轴截面中可以借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解即可． [跟踪训练2] (1)已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图为圆心角为的扇形，则该圆锥的高为(　　) A．6 B．4 C．4 D．3 解析：选B.设圆锥的母线长为l，因为圆锥的底面半径r＝2，侧面展开图的圆心角为， 所以4π＝l×，可得l＝6， 所以圆锥的高h＝＝＝4. (2)若球的半径为5，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为________． 解析：设所截圆面的半径为r， 由题意可知，52＝32＋r2， 解得r＝4， 所以截面圆的面积为S＝πr2＝16π. 答案：16π 1．(教材P105T3改编)下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是(　　) 解析：选B.由题意知，该几何体是由上、下各一圆锥构成的组合体，显然选项B符合题意． 2．(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台 C．球的所有截面都是圆面 D．以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的面围成的旋转体是圆锥 解析：选ACD. 对于A，圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个，A正确；对于B，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台，B错误；对于C，球的所有截面都是圆面，C正确；对于D，由圆锥的定义易知D正确． 3．若一个圆锥的母线长为2，且底面面积为4π，则此圆锥的高为________． 解析：设底面半径为r，结合底面面积为4π得，πr2＝4π，则r＝2，所以圆锥的高h＝＝2. 答案：2 4．如图所示，四边形ABCD绕边AD所在直线EF旋转一周，其中AD∥BC，AD⊥CD.当点A在射线DE上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点． 解：当AD>BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是由底面半径为CD的圆柱和圆锥拼接而成的组合体，如图1； 当AD＝BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是圆柱，如图2； 当AD<BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是由圆柱挖去一个同底的圆锥而得到的，如图3. 1．已学习：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及简单组合体． 2．须贯通：圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面在解决几何量中的特殊作用，体会空间几何体平面化的思想；处理台体常采用还台为锥的补体思想；处理简单组合体常采用分割思想． 3．应注意：同一平面图形绕不同旋转轴形成的旋转体一般是不同的． 学科网（北京）股份有限公司 $