2 8.1 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 课后达标检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间几何体的结构与度量，通过旋转体形成（如菱形旋转成圆锥）、截面问题、最短路径等核心知识点，以平面图形旋转实例搭建从平面到空间的认知支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合单板滑雪U型场地等生活实例培养数学眼光，通过圆锥侧面展开圆心角计算等推理发展数学思维，以规范解析强化数学语言。学生提升空间观念与应用能力，教师可利用分层练习落实素养教学。

第2课时　课后达标检测 1 1．菱形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得到的几何体(　　) A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成 C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成 解析：将菱形绕对角线所在的直线旋转一周，可知得到的几何体是由两个同底的圆锥组成的． √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 课后达标检测 2．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　) A.一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 解析：圆面绕着直径所在的轴旋转一周形成球，矩形绕着中间轴旋转一周形成圆柱．故选B. √ 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 1 2 课后达标检测 3．一个圆柱的侧面展开图为正方形，则它的高和底面直径的比为(　　) A．2π∶1 B．1∶2π C．π∶1 D．1∶π 解析：设高为h，底面直径为d，由题意可得h＝πd，可得h∶d＝π∶1. √ 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 3 课后达标检测 4．用一个平面截半径为25 cm的球，截面的面积是225π cm2，则球心到截面的距离为(　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．20 cm √ 3 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 4 课后达标检测 5．若底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截面圆的面积为(　　) A．π　　　　　　　 B．2π C．3π D．4π √ 3 4 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 5 课后达标检测 6．(多选)下列关于圆柱的说法中正确的是(　　) A．圆柱的所有母线长都相等 B．过圆柱底面圆周上一点A作该圆柱的母线，有且只有一条 C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱 √ 3 4 5 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 6 √ √ 课后达标检测 解析：圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，所以A正确； 由圆柱的结构特征可知，过底面圆周上任意一点都可作一条母线，且只有一条，所以B正确； 用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分或矩形，所以C错误； 一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱，所以D正确，故选ABD. 3 4 5 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 6 课后达标检测 7．将一个边长分别是2 cm和5 cm，两邻边夹角为60°的平行四边形绕其5 cm边所在直线旋转一周所得到的几何体为________________________________． 解析：如图，过平行四边形的顶点作垂线，可以得到一个直角三角形和一个矩形，绕5 cm边所在直线旋转一周，得到一个圆锥和挖去一个圆锥的圆柱． 3 4 5 6 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 7 一个圆锥和挖去一个圆锥的圆柱 课后达标检测 8．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的底面半径为________． 3 4 5 6 7 9 10 2 12 13 14 15 11 1 8 课后达标检测 9．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，则将该圆锥的侧面展开后，所得扇形的圆心角为________． 3 4 5 6 7 8 10 2 12 13 14 15 11 1 9 π 课后达标检测 10．(13分)一个圆台的母线长为13 cm，两底面面积分别为16π cm2和81π cm2.求： (1)圆台的高；(6分) 3 4 5 6 7 8 9 2 12 13 14 15 11 1 10 课后达标检测 (2)截得此圆台的圆锥的母线长．(7分) 3 4 5 6 7 8 9 2 12 13 14 15 11 1 10 课后达标检测 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 1 11 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 1 11 课后达标检测 12．(多选)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是(　　) √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 13 14 15 11 1 12 √ 解析：一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或曲线的一部分． 课后达标检测 13．(13分)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M. (1)若OA＝1，求圆M的面积；(6分) 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 14 15 11 1 13 课后达标检测 (2)若圆M的面积为3π，求OA.(7分) 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 14 15 11 1 13 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 15 11 1 14 (1)求圆锥SO的母线长；(6分) 课后达标检测 (2)过圆锥SO的两条母线SB，SC作一个截面，求截面SBC面积的最大值．(9分) 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 15 11 1 14 课后达标检测 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 15 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 15 课后达标检测 解析：由题意知，球的半径R＝25 cm，易知截面的半径r＝15 cm，则球心到截面的距离d＝ eq \r(252－152)＝20(cm). 解析：如图所示，设截面圆的半径为r，底面圆半径为R，易知△SA1O1∽△SAO，故 eq \f(O 1A1,OA)＝ eq \f(r,R)＝ eq \f(SO1,SO)＝ eq \f(1,2)，可得r＝ eq \f(1,2)R＝1，所以截面圆的面积为S＝π×12＝π.故选A. eq \r(3) 解析：由题可知该圆柱的底面直径为 eq \r(42－22)＝2 eq \r(3)，所以底面半径为 eq \r(3). 解析：因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线l等于底面圆的直径2r. 将该圆锥的侧面展开后，所得扇形的半径为l＝2r，弧长为2πr， 所以扇形的圆心角为 eq \f(2πr,2r)＝π. 解：圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，如图所示，由已知可得上底面半径O1A＝4 cm，下底面半径OB＝9 cm， 又腰长AB＝13 cm, 所以圆台的高为AM＝ eq \r(132－(9－4)2)＝12(cm). 解：如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S， 设截得此圆台的圆锥母线长为l， 则由△SAO1∽△SBO， 可得 eq \f(l－13,l)＝ eq \f(4,9)， 解得l＝ eq \f(117,5)cm， 所以截得此圆台的圆锥的母线长为 eq \f(117,5)cm. 11．如图，圆锥底面半径为3，母线PA＝12， eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(AP,\s\up16(→))，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，则最短路线长度为(　　) A.6 eq \r(7) B．16 C．4 eq \r(10) D．12 解析：把圆锥侧面沿母线PA剪开，展开在同一平面内得扇形APA′，连接AB，如图， 令扇形APA′圆心角大小为θ，则12θ＝2π×3，解得θ＝ eq \f(π,2)，在Rt△PAB中，PB＝ eq \f(1,3)PA′＝4， 则AB＝ eq \r(PB2＋PA2)＝ eq \r(42＋122)＝4 eq \r(10)， 所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为4 eq \r(10). 解：若OA＝1，则OM＝ eq \f(1,2)， 故圆M的半径 r＝ eq \r(OA2－OM2)＝ eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(3),2)， 所以圆M的面积S＝πr2＝ eq \f(3,4)π. 解：因为圆M的面积为3π， 所以圆M的半径r＝ eq \r(3)， 则OA2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OA,2))) eq \s\up12(2)＋3， 所以 eq \f(3,4)OA2＝3，所以OA2＝4， 所以OA＝2. 14．(15分)用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥SO底面圆的半径是2 eq \r(3)，轴截面SAB的面积是4 eq \r(3). 解：因为轴截面SAB的面积为 eq \f(1,2)×4 eq \r(3)×SO＝4 eq \r(3)，所以SO＝2，所以圆锥SO的母线长l＝ eq \r((2\r(3))2＋22)＝4. 解：在轴截面SAB中，SO＝2，SA＝4，SO⊥OA，所以∠SAB＝ eq \f(π,6)，所以∠ASB＝ eq \f(2π,3). 故0＜∠BSC≤ eq \f(2π,3). 由三角形的面积公式， 得S△SBC＝ eq \f(1,2)×SC×SB sin ∠BSC＝ eq \f(1,2)l2sin ∠BSC＝8sin ∠BSC，所以当∠BSC＝ eq \f(π,2)时，截面SBC的面积取得最大值，最大值为8. 15．单板滑雪U型场地技巧是指在倾斜的半圆形赛道中滑行及进行跳跃、回转等空中技巧的运动．单板滑雪的U型场地可近似看为圆柱体的一部分(如图)，若一名运动员从顶端A点滑行到另一顶端B点，则滑行的最短距离约为(注：sin 53°≈ eq \f(4,5)，sin 37°≈ eq \f(3,5))(　　) A. eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(53π,9)))\s\up12(2)＋1202) m B. eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(37π,9)))\s\up12(2)＋1202) m C. eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(53π,18)))\s\up12(2)＋1202) m D. eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(37π,18)))\s\up12(2)＋1202) m 解析：设圆柱的底面半径为r m，U型场地的截面图如图1所示，设圆心为O，过点O作OC⊥AD于点C，则在Rt△ACO中，(r－4)2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,2))) eq \s\up12(2)＝r2，解得r＝10，所以sin ∠AOC＝ eq \f(AC,OA)＝ eq \f(4,5)，所以∠AOC≈53°，所以∠AOD≈106°，所以 eq \o(AD,\s\up8(︵))的长约为 eq \f(106,360)×2π×10＝ eq \f(53π,9)(m).U型场地的展开图如图2所示，连接AB，则从顶端A点滑行到另一顶端B点的最短距离约为 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(53π,9)))\s\up12(2)＋1202) m．故选A. $