3 阶段提升(三) 复数(范围：7.1～7.2)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦复数核心知识点，系统梳理复数概念（纯虚数、共轭复数）、几何意义（复平面向量、模）、代数运算（四则运算、共轭乘积）及解方程（四次、二次方程），知识点由浅入深，构建完整学习支架。 该资料通过概念辨析题（如纯虚数条件判断）、几何应用（向量旋转求复数）及代数推理（解方程），培养学生抽象能力（数学眼光）、推理能力（数学思维）与应用意识（数学语言）。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识理解与应用。

阶段提升(三)　复　数(范围：7.1～7.2) 1．已知复数(＋i)2(a∈R)是纯虚数，则a＝(　　) A.0　　　　　　　　　 B．1 C.2 D．3 解析：选B. 由(＋i)2＝a－1＋2i，因为该复数是纯虚数，所以解得a＝1. 2．(多选)已知z1＝i40－i，(1－2i)z2＝i－3，若a，b∈R，z1＋a为纯虚数，z2－bi为实数，则(　　) A.＝ B.z2的虚部为－i C.a＝－1 D.b＝－1 解析：选ACD.因为z1＝i40－i＝1－i，所以＝＝，故A正确； 因为(1－2i)z2＝i－3，所以z2＝＝＝－1－i，虚部为－1，故B错误； 因为z1＋a＝1＋a－i为纯虚数，所以1＋a＝0，即a＝－1，故C正确； 因为z2－bi＝－1－(b＋1)i为实数，所以b＋1＝0，解得b＝－1，故D正确． 3．已知复数z＝－2i(其中i为虚数单位)，则z的虚部为___________． 解析：依题意，z＝－2i＝－2i＝＋i－2i＝－i，所以z的虚部为－. 答案：－ 4．设a∈R，若存在复数z满足z－＝a＋2i(i为虚数单位)，则a＝________． 解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，则＝x－yi，所以z－＝x＋yi－(x－yi)＝a＋2i， 所以2yi＝a＋2i，即a＝0. 答案：0 处理复数概念问题的注意点 (1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部． (2)复数的分类，要弄清复数类型的充要条件，若复数a＋bi是实数，则b＝0；若复数a＋bi是纯虚数，则a＝0且b≠0；若复数a＋bi为零，则a＝0且b＝0；若复数a＋bi是虚数，则b≠0. (3)明确复数相等的条件，利用共轭复数的定义转化条件解题． 1．如图，在复平面内，向量对应的复数z1＝2＋i，绕点O逆时针旋转90°后对应的复数为z2，则＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A． B．3 C. D．4 解析：选C. 由题意可设z2＝a＋bi(a<0，b>0)，在复平面内，z2对应的向量为(a，b)，z1对应的向量为(2，1)，由旋转性质得z2和z1模相等，且它们对应的向量垂直， 则得 所以z2＝－1＋2i，所以z1＋z2＝(2＋i)＋(－1＋2i)＝1＋3i， 所以＝，故C正确． 2．(多选)已知复数z1＝2＋3i，z2＝3－4i，z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，则(　　) A.＝＋ B.＝5 C.满足＝的复数z对应的点Z形成的图形的周长是5π D.满足<<的复数z对应的点Z形成的图形的面积是12π 解析：选BD.由z1＝2＋3i，z2＝3－4i，得Z1(2，3)，Z2(3，－4). 对于A，z1＋z2＝5－i，则＝，又＝，＝5，所以≠＋，故A错误； 对于B，＝＝5，故B正确； 对于C，由＝，得＝5，所以复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，半径为5的圆，即点Z形成的图形的周长为10π，故C错误； 对于D，由<<，得<<5，所以复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，为半径和5为半径的两个圆所构成的圆环的部分(不包括边界)，所以点Z形成的图形的面积为25π－13π＝12π，故D正确． 3．已知z∈C，且＝3，i为虚数单位，则的最大值是________． 解析：因为z∈C且＝3，所以根据复数模的几何意义，z对应的点Z的集合是以(0，－1)为圆心，3为半径的圆，所以表示圆上的点到点(3，3)的距离，因为圆心(0，－1)到点(3，3)的距离为＝5，所以＝3＋5＝8. 答案：8 复数的几何意义 任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应． 　 1．若复数z满足＝i－1，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C.1－i D．1＋i 解析：选A.由题意得z＝i(i－1)＝－1－i. 2．已知复数z＝的共轭复数为，则z·＝(　　) A.3 B．4 C．5 D．6 解析：选C.z＝＝＝＝＝－i， 所以＝＋i， 所以z·＝＝－i2＝＋＝5. 3．已知i是虚数单位，复数z满足z－i＝3－zi，则＝__________． 解析：由z－i＝3－zi，则z＝＝＝2－i，所以＝. 答案： 4．已知复数z1，z2的模为1，且＋＝1，则z1＋z2＝________． 解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)， z2＝c＋di(c，d∈R)， 因为＋＝1，所以＋＝1. 因为z1，z2的模为1，所以z11＝1，z22＝1， 所以1＋2＝1， 所以a－bi＋c－di＝(a＋c)－(b＋d)i＝1， 所以a＋c＝1，b＋d＝0，所以z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝1. 答案：1 复数代数运算策略 解决复数运算问题的关键是熟记并灵活运用复数的四则运算法则，特别是复数的乘法和除法运算，借助复数相等的充要条件这一重要工具，将复数问题实数化求解． 1．在复数范围内，方程x4＝9的解的个数为(　　) A.1 B．2 C.3 D．4 解析：选D.由x4＝9，得(x2＋3)(x2－3)＝0，解得x＝±i或x＝±， 所以在复数范围内x4＝9的解的个数为4. 2．在复数范围内，已知复数z＝1＋i且复数z是方程x2＋ax＋2＝0的一个根，则实数a＝(　　) A.1 B．－2 C.－1 D．2 解析：选B.因为复数z＝1＋i且复数z是方程x2＋ax＋2＝0的一个根， 所以(1＋i)2＋a(1＋i)＋2＝0，即(a＋2)＋(2＋a)i＝0，则a＋2＝0，解得a＝－2. 3．若有两个复数α，β，满足α＋β＝4，αβ＝5，则α－β＝_________． 解析：方法一：α(4－α)＝5⇒α2－4α＋5＝0， 同理β2－4β＋5＝0， 所以α，β为方程x2－4x＋5＝0的两个虚根， 解方程得x＝2±i.所以α－β＝±2i. 方法二：(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝－4，解得α－β＝±2i. 答案：±2i 利用复数相等的定义解方程 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将其代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解． 学科网（北京）股份有限公司 $