5 阶段提升(七) 随机事件与概率(范围：10.1)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦随机事件与概率核心知识点，系统梳理事件关系（包含互斥、对立）、概率公式及古典概型计算，通过基础题到综合题的梯度设计，搭建从概念理解到实际应用的学习支架。 资料特色在于结合现实情境（如机器人服务、商场购物）设计问题，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过典例与统计图表结合，引导学生用数学思维分析概率问题，提升推理能力与数据意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

阶段提升(七)　随机事件与概率(范围：10.1) 1．已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，且B⊆A，则P(AB)＝(　　) A．0.5 B．0.4 C．0.9 D．0.2 解析：选B.因为B⊆A，所以P(AB)＝P(B)＝0.4. 2．设A，B为任意两个随机事件，则下列各式中一定不成立的是(　　) A．P(A∪B)<P(A)＋P(B) B．P(A∪B)＝P(A)＋P(B) C．P(A∪B)≤P(A)＋P(B) D．P(A∪B)>P(A)＋P(B) 解析：选D.由于P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，所以A，B，C都有可能成立，D一定不成立． 3．一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是________． 解析：两次抽取的试验的样本空间Ω＝{11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44}，共包含16个样本点，两次抽取的卡片数字之和大于6的事件A＝{34，43，44}，共包含3个样本点，所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是P(A)＝，则不大于6的概率为1－P(A)＝1－＝. 答案： 4．河流A与河流B是水库C的主要水源，只要河流A，B之一不缺水，水库C就不缺水．根据经验知道河流A，B不缺水的概率分别是0.7和0.9，同时不缺水的概率是0.65.则水库C不缺水的概率为________． 解析：记“河流A不缺水”为事件A，“河流B不缺水”为事件B，“水库C不缺水”为事件C，则P(A)＝0.7，P(B)＝0.9，P(A∩B)＝0.65，且C＝A∪B，可得P(C)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.7＋0.9－0.65＝0.95，所以水库C不缺水的概率为0.95. 答案：0.95 (1)随机事件的概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． (2)求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率．这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化． 1．抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上的点数．设事件A＝“两个点数之和等于8”，事件B＝“至少有一枚骰子的点数为3”，则事件A∪B的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由题意，抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，所有可能的情况有6×6＝36种，设两枚骰子的点数分别为(a，b)，则满足题意的情况有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，6)，(1，3)，(2，3)，(4，3)，(6，3)共14种情况，故事件A∪B的概率是＝. 2．(多选)(2025·黄冈期中)柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是(　　) A．“取出的鞋成双”的概率为 B．“取出的鞋都是左鞋”的概率为 C．“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率为 D．“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率为 解析：选BC.记a1，b1，c1分别表示3双鞋的左只，a2，b2，c2分别表示3双鞋的右只，随机取2只的样本空间为{(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)}，共包含15个样本点，则“取出的鞋成双”的概率为＝，A错误；“取出的鞋都是左鞋”的概率为＝，B正确；“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率为＝，C正确；“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率为＝，D错误． 3．2025年，从春晚扭秧歌的机器人，到广场舞狮的机器狗，中国人把高科技玩出了新花样儿．为紧跟社会热点，某商场推出了机器人服务，其从甲公司购买了3台不同的机器人，从乙公司购买了2台不同的机器人，现计划从这5台机器人中随机挑选2台在商场一楼服务，则这2台机器人来自不同公司的概率为________． 解析：设从甲公司购买的3台机器人记为A，B，C，从乙公司购买的2台机器人记为a，b，从中任取2台机器人的情况为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种，其中这2台机器人来自不同公司的情况分别为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，共6种，故所求概率P＝＝. 答案： 4．在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大，则口袋中原有小球的个数为________． 解析：设原来口袋中白球、黑球的个数均为n，依题意－＝，解得n＝5，经检验n＝5是方程的解，所以口袋中原有小球的个数为2n＝10. 答案：10 应用古典概型的概率公式求事件的概率时，首先应判断本试验是不是古典概型，然后再正确地找出试验的样本空间包含的样本点个数及事件包含的样本点个数，最后代入公式求出概率． [典例] (2025·南阳期末)某中学为了让学生关注道路交通安全，举行交通安全知识竞赛，共有100名学生参加，他们的成绩整理后分成五组，如图所示，其中4a＝5b. (1)求a，b的值； (2)若按比例用分层随机抽样的方法从这100名学生中抽取20人参加交流活动，再从参加交流活动且成绩在[80，100]的学生中任选2人，求这2人的成绩在同一组的概率． 【解】　(1)由题图知(0.005＋a＋0.045＋b＋0.005)×10＝1，得a＋b＝0.045. 又4a＝5b，所以a＝0.025，b＝0.02. (2)由题意可知，分层随机抽样的抽样比为＝. 因为成绩在[80，90)，[90，100]的学生分别有100×0.02×10＝20(人)，100×0.005×10＝5(人)， 故在[80，90)内抽取4人，记为a，b，c，d，在[90，100]内抽取1人，记为e，从这5个人中任选2人，样本空间Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}，共10个样本点，设事件A表示“这2人的成绩在同一组”， 则事件A的样本空间A＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}，共6个样本点， 所以P(A)＝＝. 古典概型与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决，解决此类题目的步骤主要有： 第一步：根据题目要求求出数据(有的用到按比例分配的分层随机抽样，有的用到频率分布直方图等知识)； 第二步：列出样本空间，计算样本空间包含的样本点个数； 第三步：找出所求事件包含的样本点个数； 第四步：根据古典概型概率计算公式求解； 第五步：明确规范地表述结论． [跟踪训练] 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示： 一次 购物量 1至 5件 6至 10件 11至 15件 16至 20件 21件 及以上 顾客数 x 30 25 y 5 结算时间 (分钟/人) 1 2 3 4 5 已知这100位顾客中，一次购物量超过10件的顾客占40%. (1)求x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率．(将频率视为概率) 解：(1)由题意可得 解得 这100位顾客一次购物的结算时间的平均值为＝2.3(分钟/人)， 所以估计顾客一次购物的结算时间的平均值为2.3分钟/人． (2)记事件A为“一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟”， 事件A1表示“该顾客一次购物的结算时间为4分钟”，事件A2表示“该顾客一次购物的结算时间为5分钟”，将频率视为概率， 则P(A1)＝＝，P(A2)＝＝， 因为＝A1∪A2，且A1，A2为互斥事件， 所以P(A)＝1－P(A1∪A2)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝， 故一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $