1 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学复数的加、减运算及其几何意义，承接复数概念引入，通过多项式加减类比法则（实部虚部分别相加减），结合向量坐标运算理解几何意义，构建从代数到几何的知识支架。 资料特色在于类比迁移与数形结合，以多项式合并同类项类比复数加减培养数学思维，用向量加法解释几何意义发展数学眼光，例题与跟踪训练结合，课中助教师教学，课后助学生查漏补缺。

7．2　复数的四则运算 7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义 新课导入 学习目标 　　通过引进虚数单位i，我们把数集进行了扩充，实数可以进行四则运算，虚数单位i也可以与实数一起按照实数的运算法则进行运算．任意的两个复数又该如何进行运算呢？ 1.通过实例，结合实数的加、减运算法则理解复数的加、减运算法则． 2．结合向量的加、减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义． 思考　多项式(3a＋2b)＋(2a－3b)的运算结果是什么？多项式的加、减法遵循什么原则？ 提示：5a－b；合并同类项． [知识梳理] 1．复数的加、减运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i． 2．复数加法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [即时练] 1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i＋6＝(　　) A．5＋i B．7－i C.6＋i D．6－i 解析：选A.由题意可得，(1－i)－(2＋i)＋3i＋6＝(1－2＋6)＋(－1－1＋3)i＝5＋i. 2．若复数z满足z＋3－2i＝4＋i，则z＝(　　) A.－1－3i B．1＋3i C.1＋i D．－1－i 解析：选B.因为z＋3－2i＝4＋i，所以z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i. 3．已知复数z1＝1＋i，z2＝2＋3i，则z1＋2＝__________. 解析：2＝2－3i，z1＋2＝1＋i＋2－3i＝3－2i. 答案：3－2i 4．若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则＝_________． 解析：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R， 则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝3＋4i， z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i＝5－2i， 所以 解得 所以z1＝4＋i，所以|z1|＝＝. 答案： (1)复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项． ①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． ②把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项． (2)对应复数的加法或减法可以推广到多个复数相加或相减的混合运算，运算的结果仍然是一个复数． 思考　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量坐标的加法运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 提示：设＝(a，b)，＝(c，d)，则＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d). 几何意义是以，为邻边的平行四边形的对角线． [知识梳理]设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，则＝(a，b)，＝(c，d).由平面向量的坐标运算法则，得＋＝(a＋c，b＋d).这说明两个向量与的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，同理，复数的减法可以按照向量的减法来进行． [例1]　如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示复数0，3＋2i，－2＋4i.求： (1)所对应的复数，所对应的复数； (2)所对应的复数； (3)所对应的复数及的长度． 【解】　(1)因为0－(3＋2i)＝－3－2i，所以所对应的复数为－3－2i.因为＝，所以所对应的复数为－3－2i. (2)因为＝－，所以所对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为＝＋， 所以所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，所以||＝＝. 母题探究1　若本例条件不变，试求点B所表示的复数． 解：由本例(3)解析知所对应的复数为1＋6i，所以点B表示的复数为1＋6i. 母题探究2　若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M表示的复数． 解：由题意知，点M为OB的中点，则＝.由上题知点B的坐标为(1，6)，得点M的坐标为，所以点M表示的复数为＋3i. 用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：复数的加减运算可以借助图形，利用平行四边形法则、三角形法则进行运算；利用复数对应向量的关系得到复数间的关系． [跟踪训练1] (1)若向量，分别对应复数z1＝2－i，z2＝3＋i，则＝(　　) A.5 B． C.2 D．2 解析：选B. 因为＝－，又向量，分别对应复数z1＝2－i，z2＝3＋i，所以对应复数z2－z1＝1＋2i，所以＝＝. (2)在复平面上有A，B，C三点，点A表示的复数为2＋i，对应的复数为1＋2i，对应的复数为3－i，则点C的坐标为________． 解析：因为对应的复数是1＋2i，对应的复数为3－i，又＝－， 所以对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，又＝＋(O为坐标原点)， 所以点C表示的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i， 所以点C的坐标为(4，－2). 答案：(4，－2) [例2]　已知复数z满足|z＋2－2i|＝2，且复数z在复平面内的对应点为M. (1)确定点M的集合构成图形的形状； (2)求|z－1＋2i|的最大值和最小值． 【解】　(1)设复数－2＋2i在复平面内的对应点为P(－2，2)， 则|z＋2－2i|＝|z－(－2＋2i)|＝＝PM＝2，故点M的集合是以点P为圆心，2为半径的圆，如图所示． (2)设复数1－2i在复平面内的对应点为Q(1，－2)，则|z－1＋2i|＝＝QM，如图所示，PQ＝＝5， 则|z－1＋2i|的最大值，即QM的最大值是PQ＋2＝7； |z－1＋2i|的最小值，即QM的最小值是PQ－2＝3. 母题探究　若本例条件不变，则|z|min＝__________，|z|max＝__________． 解析：因为|z＋2－2i|＝2， 所以||z|－|2－2i||≤|z＋2－2i|≤|z|＋|2－2i|， 即 解得2－2≤|z|≤2＋2. 所以|z|min＝2－2，|z|max＝2＋2. 答案：2－2　2＋2 (1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． (2)|z－z0|＝r表示z对应点的集合是以z0对应的点为圆心，r为半径的圆． (3)涉及复数模的最值问题，可以借助模的几何意义，转化为动点与定点的距离的范围求解． [跟踪训练2] 已知复数z满足＝1，则的取值范围是________． 解析：＝1表示z对应的点Z1是以原点O为圆心，半径r＝1的圆上的点， ＝的几何意义表示圆O上的点Z1和Z2(－2，－)之间的距离， 于是，的最大值为＋r＝＋1＝4， 最小值为－r＝－1＝2， 所以的取值范围是. 答案： 1．已知i为虚数单位，设复数z1＝2＋i，z2＝1－3i，则z1－z2＝(　　) A．1＋4i B．1－2i C.2＋4i D．2－2i 解析：选A.由z1＝2＋i，z2＝1－3i，得z1－z2＝2＋i－(1－3i)＝1＋4i. 2．设z1＝－2＋i，z2＝3－4i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 解析：选D.由z1＝－2＋i，z2＝3－4i，得z1＋z2＝1－3i，所以复数z1＋z2在复平面内对应的点(1，－3)位于第四象限． 3．(多选)已知m∈R，复数z1＝m＋3i，z2＝z1＋4－2i，且z2为纯虚数，复数z1的共轭复数为1，则(　　) A.m＝－4 B.|z2|＝2 C.1＝－4－3i D.复数1的虚部为－3i 解析：选AC.由题可知z2＝m＋3i＋4－2i＝(4＋m)＋i，对于A，因为z2为纯虚数，所以m＝－4，故A正确；对于B，|z2|＝1，故B错误；对于C，1＝－4－3i，故C正确；对于D，复数1的虚部为－3，故D错误． 4．(教材P77T4改编)在平行四边形ABCD中，若点A，C分别表示复数－1＋i，－4－3i，则A，C两点间的距离为________． 解析：依题意得对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，所以A，C两点间的距离为＝＝＝5. 答案：5 5．设z是复数且＝1，则的最小值为__________． 解析：根据复数模的几何意义可知，＝1表示复平面内复数z对应的点Z在以(2，0)为圆心，1为半径的圆上，而表示点Z到原点的距离，由图可知，＝2－1＝1. 答案：1 1．已学习：复数的加、减运算法则及其几何意义． 2．须贯通：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，把条件转化为x，y满足的关系式，这是“复数问题实数化”思想的应用；d＝|z1－z2|表示复平面上两复数对应点间的距离，利用其直观性可求相关问题的最值． 3．应注意：(1)复数的差对应向量的方向； (2)两个复数差的模的几何意义． 学科网（北京）股份有限公司 $