1 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

7．2　复数的四则运算

7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义

思考　多项式(3a＋2b)＋(2a－3b)的运算结果是什么？多项式的加、减法遵循什么原则？

提示：5a－b；合并同类项．

[知识梳理]

1．复数的加、减运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．

2．复数加法的运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有

(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

[即时练]

1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i＋6＝(　　)

A．5＋i     B．7－i

C.6＋i     D．6－i

解析：选A.由题意可得，(1－i)－(2＋i)＋3i＋6＝(1－2＋6)＋(－1－1＋3)i＝5＋i.

2．若复数z满足z＋3－2i＝4＋i，则z＝(　　)

A.－1－3i     B．1＋3i

C.1＋i     D．－1－i

解析：选B.因为z＋3－2i＝4＋i，所以z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.

3．已知复数z1＝1＋i，z2＝2＋3i，则z1＋2＝__________.

解析：2＝2－3i，z1＋2＝1＋i＋2－3i＝3－2i.

答案：3－2i

4．若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则＝_________．

解析：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，

则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝3＋4i，

z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i＝5－2i，

所以

解得

所以z1＝4＋i，所以|z1|＝＝.

答案：

(1)复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项．

①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．

②把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．

(2)对应复数的加法或减法可以推广到多个复数相加或相减的混合运算，运算的结果仍然是一个复数．

思考　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量坐标的加法运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？

提示：设＝(a，b)，＝(c，d)，则＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d).

几何意义是以，为邻边的平行四边形的对角线．

[知识梳理]设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，则＝(a，b)，＝(c，d).由平面向量的坐标运算法则，得＋＝(a＋c，b＋d).这说明两个向量与的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，同理，复数的减法可以按照向量的减法来进行．

[例1]　如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示复数0，3＋2i，－2＋4i.求：

(1)所对应的复数，所对应的复数；

(2)所对应的复数；

(3)所对应的复数及的长度．

【解】　(1)因为0－(3＋2i)＝－3－2i，所以所对应的复数为－3－2i.因为＝，所以所对应的复数为－3－2i.

(2)因为＝－，所以所对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

(3)因为＝＋，

所以所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，所以||＝＝.

母题探究1　若本例条件不变，试求点B所表示的复数．

解：由本例(3)解析知所对应的复数为1＋6i，所以点B表示的复数为1＋