2 7.1.2 复数的几何意义（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦复数的几何意义这一核心知识点，系统梳理复平面内复数与点、向量的一一对应关系，明确复数的模的定义及计算方法，阐述共轭复数的概念。通过衔接复数的代数形式，搭建从数到形的转化支架，为后续复数运算等知识学习奠定几何基础。 该资料以“思考”问题链引导学生发现有序实数对与复平面点的对应关系，培养数学眼光。结合例1通过方程不等式求参数范围，训练数学思维。利用复平面、向量描述复数，强化数学语言表达。课中助力教师引导学生数形结合，课后跟踪训练帮助学生巩固知识，查漏补缺。

7．1.2　复数的几何意义 新课导入 学习目标 德国数学家高斯把复数与平面内的点一一对应起来，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础．复数的几何意义从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础． 1.理解复数表示的几何意义． 2．掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 3．理解共轭复数的概念． 思考　有序实数对和坐标平面上的点一一对应，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？ 提示：复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z＝a＋bi与有序实数对(a，b)是一一对应的，所以复数可以和坐标平面上的点一一对应． [知识梳理] 1．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)―→复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义． 点拨　复数的实部、虚部分别对应了复平面内对应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所对应的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征． [例1] 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点满足下列条件，分别求实数m的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二或第四象限． 【解】　(1)由题意，复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部m2－2m－8＝0，解得m＝－2或m＝4. (2)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，所以2<m<4或－5<m<－2. 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何意义即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据． (2)列出方程(组)或不等式(组)：根据复数的实部与虚部应满足的条件，建立方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 　 [跟踪训练1] (1)在复平面内，复数z对应的点与复数＋对应的点关于虚轴对称，则复数z＝(　　) A．－＋ B．－－ C.＋ D．－ 解析：选A.在复平面内，复数＋对应的点为，其关于虚轴对称的点为 ，所以z＝－＋. (2)已知复数z1＝2－ai(a∈R，i为虚数单位)对应的点在直线y＝x＋上，则复数z2＝a＋2i对应的点在(　　) A.第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 解析：选B.复数z1＝2－ai(a∈R，i为虚数单位)对应的点的坐标为(2，－a)，该点在直线y＝x＋上，故－a＝＋，解得a＝－2，所以复数z2＝－2＋2i，它对应的点的坐标为(－2，2)，在第二象限． 思考　能用平面向量表示复数吗？ 提示：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以可以用平面向量来表示复数． [知识梳理]如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定．即复数z＝a＋bi(a，b∈R)―→平面向量，这是复数的另一种几何意义．我们常把复数z＝a＋bi(a，b∈R)说成点Z或向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数． [例2] 在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i.若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数为(　　) A.－2－i B．1－2i C.－1－2i D．－1＋2i 【解析】　 因为复数－1＋2i在复平面内对应的点为A(－1，2)，所以点A关于实轴的对称点为B(－1，－2)， 所以对应的复数为－1－2i. 【答案】　C 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的向量，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 　 [跟踪训练2] 在复平面内，O为原点，已知复数z＝1－i对应的向量为，向量＝(2，0)，则向量在上的投影向量对应的复数是(　　) A.1 B．1＋i C.1－i D．i 解析：选A.由题意知＝(1，－)，由投影向量的定义知，向量在上的投影向量的坐标为(1，0)，其对应的复数是1. 思考　 设＝(a，b)，那么||的值是什么？ 提示：||＝，我们称为复数a＋bi的模． [知识梳理] 1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． 2．记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记为|z|或|a＋bi|． 3．公式：|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 点拨　如果b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一个实数，它的模就等于|a|(a的绝对值). [例3] (1)已知z1＝－3＋i，z2＝－－i，求|z1|和|z2|，并比较模的大小． (2)(对接教材例3)设z∈C，且满足下列条件，求在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ ①|z|<3；②|z|＝2. 【解】　(1)|z1|＝＝，|z2|＝＝，|z1|>|z2|. (2)①由|z|＜3得向量的模小于3，所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆的内部． ②由|z|＝2得向量的模等于2，所以满足|z|＝2的点Z的集合为以原点O为圆心，2为半径的圆． 复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． (2)设出复数a＋bi(a，b∈R)，利用模的定义转化为实数问题求解． 　 [跟踪训练3] (1)如果复数z＝－2－2i，那么＝(　　) A.2 B．2 C．4 D．8 解析：选A.因为z＝－2－2i，所以|z|＝＝2. (2)已知z∈C，在复平面内z对应的点为Z，Γ为满足2≤|z|<5的点Z的集合所对应的图形，则Γ的面积为________． 解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，因为|z|≥2的解集是以原点O为圆心，2为半径的圆上和圆外部所有点组成的集合，|z|<5的解集是以原点O为圆心，5为半径的圆内部所有点组成的集合，所以Γ是以原点为圆心，2为半径和5为半径的两个圆组成的圆环部分(如图所示)，故Γ的面积为(52－22)π＝21π. 答案：21π 思考　复数z1＝3＋4i与复数z2＝3－4i的模有何关系？在复平面内它们对应的点有何关系？ 提示：相等，关于实轴对称． [知识梳理] 1. 定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 2．表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi． [例4] (多选)复数z＝2＋3i，下列说法正确的是(　　) A.z的实部为2 B．z的虚部为3i C.＝2－3i D．||＝ 【解析】　因为z＝2＋3i，所以实部为2，虚部为3，＝2－3i，||＝. 【答案】　ACD 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上． 　 [跟踪训练4] (1)复数满足z＝－1－2i (i为虚数单位), 则z的共轭复数所对应的点在(　　) A.第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 解析：选B. 依题意，＝－1＋2i在复平面内对应点(－1，2)在第二象限． (2)复数z＝4i－i2(i为虚数单位)的共轭复数＝________． 解析：依题意，z＝1＋4i，所以＝1－4i. 答案：1－4i 1．|2i＋1|＝(　　) A.2 B．5 C．1 D． 解析：选D.＝＝. 2．(多选)已知复数z＝－1＋i，其中i是虚数单位，下列说法正确的是(　　) A.z的虚部为i B.＝1＋i C.||＝2 D.z在复平面内对应的点在第二象限 解析：选CD.对于A，因为z＝－1＋i，所以z的虚部为，故A错误； 对于B，＝－1－i，故B错误； 对于C，||＝＝2，故C正确； 对于D，z在复平面内对应的点为(－1，)，位于第二象限，故D正确． 3．(教材P73T6改编)复数z＝(2a－3)＋(a＋1)i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是__________．(用区间表示) 解析：因为复数z＝(2a－3)＋(a＋1)i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，所以解得－1<a<，所以实数a的取值范围是. 答案： 4．(教材P73练习T2改编)(1)在复平面内，描出表示下列复数的点：2＋5i，－4＋i，2－4i，5，－3i； (2)写出向量，，，，所对应的复数．(每个小方格的边长为1) 解：(1) (2)所对应的复数为3；所对应的复数为－3＋2i；所对应的复数为－3－3i；所对应的复数为－5i；因为＝－＝(－3，2)－(3，0)＝(－6，2)，所以对应的复数为－6＋2i. 1．已学习：复数的几何意义、复数的模、共轭复数． 2．须贯通：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与点Z(a，b)、向量一一对应，研究三者的关系应用了数形结合的思想方法；复数的模及共轭复数都是把复数问题实数化，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：平面直角坐标系中的x轴、y轴与复平面内的实轴、虚轴的区别． 学科网（北京）股份有限公司 $