6 阶段提升(二) 平面向量的应用(范围：6.4)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面向量在解三角形中的应用，系统梳理正弦定理、余弦定理的综合运用，构建边角互化方法体系，涵盖中线、角平分线问题处理及最值范围求解，形成从基础定理到复杂问题的学习支架。 资料通过典型例题（如海上拦截问题、中线长计算）与跟踪训练结合，提炼解题策略，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（向量表达），课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固方法、查漏补缺。

阶段提升(二)　平面向量的应用(范围：6.4) 1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a(cos B－1)－b(cos A－1)＝0.若a＝4，则b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D.因为a(cos B－1)－b(cos A－1)＝0， 所以a·(－1)－b·(－1)＝0， 所以－a－＋b＝0， －(a－b)＝0. 所以a2－b2－c(a－b)＝0， 即(a－b)(a＋b－c)＝0. 因为a＋b－c>0，所以a－b＝0，即b＝a＝4. 2．(2024·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C.因为B＝60°，b2＝ac，则由正弦定理得 sin A sin C＝sin2B＝. 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝ac， 即a2＋c2＝ac， 根据正弦定理得 sin2A＋sin2C＝sinA sin C＝， 所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝， 因为A，C为三角形内角，则sin A＋sin C>0， 则sin A＋sin C＝. 3．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇A发现在北偏东45°方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇B正以每小时10公里的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇A以每小时14公里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇B.则要在最短的时间内拦截住蓝方小艇B，红方侦察艇所需的时间为________小时，角α的正弦值为________． 解析：设红方侦察艇A经过x小时在C处追上蓝方的小艇B，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°. 在△ABC中，根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240x×cos 120°，解得x＝2(负值已舍去)， 故AC＝28，BC＝20. 在△ABC中，根据正弦定理得＝， 解得sin α＝＝. 答案：2　 4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos A(c cos B＋b cos C)＝a. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值． 解：(1)由正弦定理及2cos A(c cos B＋b cos C)＝a， 得2cos A(sin C cos B＋sin B cos C)＝sin A，即2cos A sin (C＋B)＝sin A， 即2cos A sin A＝sin A，因为0<A<π， 所以sin A≠0， 所以cos A＝，所以A＝. (2)由题意得△ABC的面积S＝bc sin A＝， 所以bc＝4.① 又a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝2， 所以b2＋c2＝8.② 由①②得b＝c＝2. 边角互化的常用方法 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B⇔A＝B；sin (A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝等． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等． [例1] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos ＝a sin B. (1) 求A； (2) 若a＝，·＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长． 【解】　(1)因为cos ＝cos ＝sin ，所以b sin ＝a sin B， 由正弦定理得sin B sin ＝sin A sin B， 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0， 所以sin ＝sin A， 所以sin ＝2sin cos ，因为A∈(0，π)，∈，所以sin ≠0，故cos ＝，即＝，所以A＝. (2)因为·＝3， 所以bc cos (π－A)＝3，得bc＝6， 由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝13， 因为＝(＋)， 所以||2＝(＋)2 ＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝， 所以||＝， 即AD的长为. 求解三角形中的中线问题，主要有两种思路：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是边BC上的中线， (1)中线长定理：AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)； (2)向量法：2＝(b2＋c2＋2bc cos A). [跟踪训练1] 在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC边上的中线AD＝，则△ABC面积为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.延长AD到点E使DE＝AD，连接CE， 因为BC边上的中线AD＝， 所以△ABD≌△ECD， 所以CE＝AB＝2，AE＝2，且△ABC面积等于△ACE的面积． 在△ACE中，由余弦定理的推论得 cos ∠ACE＝＝＝－， 则sin ∠ACE＝＝. 所以S△ABC＝S△ACE＝AC·CE sin ∠ACE＝××2×＝. [例2] 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos ∠ADB＝(　　) A．－ B． C． D．± 【解析】　因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3，a＝CB＝4.在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos 60°，所以112＝9c2＋c2－2×3c×c×，解得c＝4(负值已舍去).在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin ∠ADB＝.因为b>c，所以B>C.又因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB<∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB为锐角，所以cos ∠ADB＝. 【答案】　B 求解三角形的角平分线问题主要有以下常用解法： 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD平分∠BAC， (1)利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD； (2)内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则＝； (3)等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，AD＝(角平分线长公式). 　 [跟踪训练2] 在△ABC中，三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，∠ACB的平分线为CM，交AB于点M，且a＝2，b＝，c＝1，则线段CM＝________. 解析：方法一：由余弦定理的推论可得 cos ∠ACB＝＝＝， 因为∠ACB∈(0，π)， 所以∠ACB＝， 因为CM为∠ACB的平分线， 所以∠ACM＝∠BCM＝， 且sin ＝sin ＝sin cos －cos sin ＝， 所以S△ACB＝S△ACM＋S△BCM， 则××2×＝×·CM·＋×2·CM·， 解得CM＝3－. 方法二：由题意得b2＋c2＝a2，所以△ABC为直角三角形，A＝，sin ∠ACB＝＝，又因为0<∠ACB<，所以∠ACB＝.因为CM为∠ACB的平分线，所以∠ACM＝∠ACB＝，cos ＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝，所以在Rt△ACM中，CM＝＝＝3－. 答案：3－ [例3] 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知5cos A－3＝cos 2A. (1)求角A的大小； (2)若a＝3，求△ABC的周长l的取值范围． 【解】　(1)因为5cos A－3＝cos 2A， 所以2cos2A－5cosA＋2＝0， 解得cos A＝或cos A＝2(舍去)， 又A∈，所以A＝. (2)由正弦定理得 ＝＝＝＝2， 所以b＝2sin B，c＝2sin C， 因为A＝，所以B＋C＝， 所以△ABC的周长 l＝a＋b＋c＝3＋2(sin B＋sin C) ＝3＋2[sin B＋sin (－B)] ＝3＋2(sin B＋cos B) ＝3＋3sin B＋3cos B ＝3＋6sin (B＋)， 又B∈(0，)，C∈(0，)，所以－B<， 解得<B<， 所以<B＋<， 所以<sin (B＋)≤1， 所以3＋3<l≤9，即△ABC的周长l的取值范围为(3＋3，9]. 解三角形中的最值(范围)问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值(范围). [跟踪训练3] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b cos A＋b sin A＝a＋c. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值． 解：(1)因为b cos A＋b sin A＝a＋c， 所以sin B cos A＋sin B sin A＝sin A＋sin C， 所以sin B cos A＋sin B sin A＝sin A＋sin (A＋B)， 所以sin B sin A＝sin A＋sin A cos B， 因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以sin B－cos B＝1， 所以2sin (B－)＝1，所以sin (B－)＝， 因为B∈(0，π)，所以B－∈(－，)，所以B－＝，所以B＝. (2)因为b＝2，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B，即a2＋c2－ac＝4， 所以a2＋c2＝4＋ac≥2ac，所以ac≤4, 所以S△ABC＝ac sin B＝ac≤，当且仅当a＝c＝2时取等号，所以△ABC面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $