第六章 专题微课 平面向量及其应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

专题微课　平面向量及其应用 [建构知识体系] [融通学科素养] 1.浸润的核心素养 (1)向量的线性运算及平面向量基本定理主要通过几何图形来考查,突出考查逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养. (2)向量数量积的考查高考中几乎年年都有,若以代数知识形态出现,则主要考查公式运用下的简单计算,聚焦的是数学运算素养;若以几何形态出现,则突出对直观想象以及数学运算素养的考查. (3)向量的坐标运算往往作为基础题出现,突出的是数学运算素养. 2.渗透的数学思想 (1)数形结合思想:向量具有几何与代数两个特征,在向量运算中三角形法则与平行四边形法则的应用及建系都体现了数形结合的思想. (2)转化与化归思想:在解决向量的夹角问题,向量的平行、垂直关系的研究均可化归为它们对应向量或向量的坐标运算问题,三角形形状的判定可归结为判断向量的数量积与零的大小的关系问题. (3)分类讨论思想:向量中的一些知识:平行向量可以分为同向向量或反向向量;向量b在a上的投影值,随a与b的夹角不同有正数、负数或零等三种情形. 题型(一)　平面向量中的最值与范围问题 [例1]　(1)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是 (　　) A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) (2)已知平面向量a,b的夹角为60°,且|a+b|=,则|a|+|b|的最大值为　　　　.  解析:(1)如图,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(3,),F(-1,). 设P(x,y),则=(x,y),=(2,0),且-1<x<3.所以·=(x,y)·(2,0)=2x∈(-2,6).故选A. (2)|a+b|=,两边平方得a2+2|a||b|cos 60°+b2=3,即a2+|a|·|b|+b2=3,变形为|a|·|b|=(|a|+|b|)2-3, 其中|a|·|b|≤,当且仅当|a|=|b|时等号成立,所以(|a|+|b|)2-3≤,解得|a|+|b|∈(0,2]. 答案:(1)A　(2)2 　　|思|维|建|模| 向量求最值(范围)的常用方法 (1)利用三角函数求最值(范围). (2)利用基本不等式求最值(范围). (3)建立坐标系,设变量构造函数求最值(范围). (4)数形结合,应用图形的几何性质求最值. 　　[针对训练] 1.已知向量a,b的夹角为60°,|a-b|=2,则|a|+2|b|的最大值为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选B　由题意,得|a-b|2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a|·|b|cos 60°+|b|2=|a|2-|a||b|+|b|2=12. 设|a|+2|b|=k,|a|=k-2|b|, ∴-|b|+|b|2=12, 即7|b|2-5k|b|+k2-12=0,|b|存在,方程有解, 则Δ=25k2-28≥0,解得0<k≤4. 故|a|+2|b|的最大值为4. 2.(2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中,E为线段CD的三等分点,CE=DE,=λ+μ,则λ+μ=　　　　;F为线段BE上的动点,G为AF中点,则·的最小值为　　　　.  解析:以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),E,所以=,=(-1,0),=(0,1).因为=λ+μ,所以=λ(-1,0)+μ(0,1), 所以λ=,μ=1,即λ+μ=.由B(1,0),E可得直线BE的方程为y=-3(x-1),设F(a,3-3a),则G,所以=(a,3-3a),=,所以·=a·+(3-3a)·=5a2-6a+=5-.所以当a=时,·取得最小值,为-. 答案:　- 题型(二)　平面向量与三角函数的综合问题 [例2]　在平面直角坐标系中,已知向量m=(,-1),n=(cos α,sin α). (1)若m⊥n,tan(α+β)=2, 求tan β的值; (2)若m与n的夹角为,且α∈(-π,0),求α的值. 解:(1)因为m=(,-1),n=(cos α,sin α),m⊥n, 所以cos α-sin α=0.因为cos α≠0,所以tan α= . 故tan β=tan(α+β-α)===. (2)因为m=(,-1),n=(cos α,sin α), 所以|m|==2,|n|==1,m·n=cos α-sin α. 因为m与n的夹角为,所以cos ===cos =-.因为α∈,所以α+∈,则α+=-,所以α=-. 　　|思|维|建|模| 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)若题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,则运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等. 　　[针对训练] 3.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),c=(-1,0). (1)求向量b+c的模的最大值; (2)设α=,且a⊥(b+c),求cos β的值. 解:(1)因为向量b=(cos β,sin β),c=(-1,0),所以b+c=(cos β-1,sin β),则|b+c|===. 因为-1≤cos β≤1,所以0≤2-2cos β≤4. 所以0≤|b+c|≤2. 所以向量b+c的模的最大值为2. (2)因为α=,所以a=. 因为a⊥(b+c),所以a·(b+c)=0. 所以(cos β-1)+sin β=0. 化简得sin β=1-cos β,代入sin2β+cos2β=1,得(1-cos β)2+cos2β=1,得cos2β-cos β=0,解得cos β=0或cos β=1. 题型(三)　平面向量中的新定义问题 [例3]　(多选)设Ox,Oy是平面内相交的两条数轴,其中∠xOy=θ,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若平面向量a满足a=xe1+ye2,则有序数对(x,y)称为向量a在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标,记作a=(x,y)θ,下列命题为真命题的是 (　　) A.已知a=(2,3),则|a|= B.已知a=(x1,y1)θ,b=(x2,y2)θ,则a+b=(x1+x2,y1+y2)θ C.已知a=(-1,2)θ,b=(2,1)θ,则a·b=0 D.已知a=(x1,y1)θ,b=(x2,y2)θ,若a∥b,则x2y1=x1y2 解析:选BD　a=(2,3),则a=2e1+3e2, 所以|a|== ==,故A错误; 已知a=(x1,y1)θ,b=(x2,y2)θ,则a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,a+b=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2,所以a+b=(x1+x2,y1+y2)θ,故B正确; a=(-1,2)θ,b=(2,1)θ,则a=-e1+2e2,b=2e1+e2,所以a·b=(-e1+2e2)·(2e1+e2)=-2|e1|2+2|e2|2+3|e1||e2|cos θ=-2+2+3×1×1×cos θ=3cos θ,故C错误; a=(x1,y1)θ,b=(x2,y2)θ,则a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2, 若a∥b,则当a=0或b=0,即x1=y1=0或x2=y2=0时,x2y1=x1y2,满足条件; 当a≠0,b≠0时,存在唯一λ,使得a=λb,则x1e1+y1e2=λ(x2e1+y2e2),即x1=λx2,y1=λy2,消元变形得到x2y1=x1y2,故D正确. 　　|思|维|建|模| 　　向量的新定义问题就是给出一种新的概念、性质或新的运算法则,利用新概念、性质或新的运算法则来解决问题的题型,是知识迁移的一种形式.解决此类问题的关键是读懂并理解新概念及运算法则的实质,然后结合向量知识来解决. 　　[针对训练] 4.我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox,Oy构成的坐标系,称为“广义坐标系”.如图所示,e1,e2分别为Ox,Oy正方向上的单位向量.若向量=xe1+ye2,则称有序实数对{x,y}为向量的“广义坐标”,可记作={x,y}. (1)已知a={1,2},b={2,-1},求a+b,2a-b的“广义坐标”; (2)已知a={x1,y1},b={x2,y2},求a·b. 解:(1)因为a={1,2},b={2,-1}, 所以a=e1+2e2,b=2e1-e2, 所以a+b=3e1+e2,2a-b=5e2, 所以a+b={3,1},2a-b={0,5}. (2)因为e1,e2分别为Ox,Oy正方向上的单位向量,且夹角为60°,所以e1·e2=|e1||e2|cos 60°=. 所以a·b={x1,y1}·{x2,y2}=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2(e1)2+x1y2e1·e2+x2y1e1·e2+y1y2(e2)2 =x1x2|e1|2+x1y2+x2y1+y1y2|e2|2=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1). 学科网（北京）股份有限公司 $