第六章 专题微课 平面向量及其应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

专题微课　平面向量及其应用

[建构知识体系]

[融通学科素养]

1.浸润的核心素养

(1)向量的线性运算及平面向量基本定理主要通过几何图形来考查,突出考查逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.

(2)向量数量积的考查高考中几乎年年都有,若以代数知识形态出现,则主要考查公式运用下的简单计算,聚焦的是数学运算素养;若以几何形态出现,则突出对直观想象以及数学运算素养的考查.

(3)向量的坐标运算往往作为基础题出现,突出的是数学运算素养.

2.渗透的数学思想

(1)数形结合思想:向量具有几何与代数两个特征,在向量运算中三角形法则与平行四边形法则的应用及建系都体现了数形结合的思想.

(2)转化与化归思想:在解决向量的夹角问题,向量的平行、垂直关系的研究均可化归为它们对应向量或向量的坐标运算问题,三角形形状的判定可归结为判断向量的数量积与零的大小的关系问题.

(3)分类讨论思想:向量中的一些知识:平行向量可以分为同向向量或反向向量;向量b在a上的投影值,随a与b的夹角不同有正数、负数或零等三种情形.

题型(一)　平面向量中的最值与范围问题

[例1]　(1)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是 (　　)

A.(-2,6) B.(-6,2)

C.(-2,4) D.(-4,6)

(2)已知平面向量a,b的夹角为60°,且|a+b|=,则|a|+|b|的最大值为　　　　. 

解析:(1)如图,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(3,),F(-1,).

设P(x,y),则=(x,y),=(2,0),且-1<x<3.所以·=(x,y)·(2,0)=2x∈(-2,6).故选A.

(2)|a+b|=,两边平方得a2+2|a||b|cos 60°+b2=3,即a2+|a|·|b|+b2=3,变形为|a|·|b|=(|a|+|b|)2-3,

其中|a|·|b|≤,当且仅当|a|=|b|时等号成立,所以(|a|+|b|)2-3≤,解得|a|+|b|∈(0,2].

答案:(1)A　(2)2

　　|思|维|建|模|

向量求最值(范围)的常用方法

(1)利用三角函数求最值(范围).

(2)利用基本不等式求最值(范围).

(3)建立坐标系,设变量构造函数求最值(范围).

(4)数形结合,应用图形的几何性质求最值.

　　[针对训练]

1.已知向量a,b的夹角为60°,|a-b|=2,则|a|+2|b|的最大值为 (　　)

A.3 B.4 

C.5 D.6

解析:选B　由题意,得|a-b|2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a|·|b|cos 60°+|b|2=|a|2-|a||b|+|b|2=12.

设|a|+2|b|=k,|a|=k-2|b|,

∴-|b|+|b|2=12,

即7|b|2-5k|b|+k2-12=0,|b|存在,方程有解,

则Δ=25k2-28≥0,解得0<k≤4.

故|a|+2|b|的最大值为4.

2.(2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中,E为线段CD的三等分点,CE=DE,=λ+μ,则λ+μ=　　　　;F为线段BE上的动点,G为AF中点,则·的最小值为　　　　. 

解析:以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),E,所以=,=(-1,0),=(0,1).因为=λ+μ,所以=λ(-1,0)+μ(0,1),

所以λ=,μ=1,即λ+μ=.由B(1,0),E可得直线BE的方程为y=-3(x-1),设F(a,3-3a),则G,所以=(a,3-3a),=,所以·=a·+(3-3a)·=5a2-6a+=5-.所以当a=时,·取得最小值,为-.