5 6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦余弦定理、正弦定理在实际测量中的应用，承接正余弦定理的基本内容，构建从定理到解决距离、高度、角度测量问题的学习支架，涵盖基线概念、仰角俯角等术语及三类测量问题的转化方法。 资料通过隧道长度测量、树高计算等实例，引导学生用数学眼光观察现实问题，将实际情境转化为解三角形问题培养数学思维，例题与跟踪训练结合助力数学语言表达。课中辅助教师讲解，课后帮助学生回顾强化，弥补知识盲点。

第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例 新课导入 学习目标 　　在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，具体测量时，常常遇到“不能到达”的困难，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角、距离的工具并设计恰当的测量方案进行测量． 1.理解测量中有关名词、术语的确切含义． 2．能将实际问题转化为解三角形问题． 3．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题． [知识梳理] 1．基线的概念与选取原则 (1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线． (2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．测量中相关角的概念 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角，如图所示． (2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示). (3)方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图2所示). [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)在测量中，选取的基线越短，测量的精确度越高．(　　) (2)仰角与俯角都是目标视线与铅垂线所成的角.(　　) (3)方位角的范围是(0，π).(　　) (4)“视角”就是“仰角”．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　) A．东偏北45°10′方向上　 B．东偏北44°50′方向上 C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南44°50′方向上 解析：选C.如图所示，可知Q在P的南偏西44°50′方向上，故选C. 3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　) A.α>β　　　　　　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析：选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示．由图知α＝β.故选B. 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角． [例1] (对接教材例9)如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为 ________km. 　　　　　　　　　　　　　　　 【解析】　在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C ＝1＋1－2×1×1×cos 120°＝3， 所以AB＝(km). 【答案】　 测量距离问题的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB　 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB　 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB [跟踪训练1] 已知甲船位于灯塔A的北偏东70°方向，且与A相距3 km的B处．乙船位于灯塔A的北偏西50°方向上的C处．若两船相距 km，则乙船与灯塔A之间的距离(单位：km)为(　　) A．1 km B． km C．2 km D．2 km 解析：选C. 由图可得，AB＝3，BC＝，∠CAB＝120°，则由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos ∠CAB，即19＝AC2＋9＋3AC， 整理得(AC＋5)(AC－2)＝0，得AC＝2. [例2] (对接教材例10)如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为______________________m. 【解析】　在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m， sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝×－×＝， 在△PAB中，由正弦定理得＝， 所以PB＝＝＝30(＋)， 所以树的高度为PB sin 45°＝30(＋)×＝30＋30(m). 【答案】　30＋30 测量高度问题的基本类型及方案 类型 图形 方法 底部可达 测得BC＝a，C的度数，AB＝a tan C 底部不可达 点B与C，D共线　　 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数．在△BCD中，由正弦定理求得BC，再由正弦定理或解直角三角形得AB的值 [跟踪训练2] 南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一．如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度(两座双子塔的高度相同)，在地面上选择了一座高为t m的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为α，底部A的俯角为β，则双子塔的高度为(　　) A． m B． m C． m D． m 解析：选D.由题意可得CD＝t m，∠DAC＝β，∠ADB＝α＋β，则在△ADC中，AD＝，在△ABD中，∠ABD＝－α，由正弦定理得＝，即＝，所以AB＝＝. [例3] 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，且山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝(参考数据：sin 15°＝)(　　) A． B． C．－1 D．－1 【解析】　因为∠CBD＝45°， 所以∠ACB＝45°－15°＝30°， 在△ABC中，由正弦定理可得 ＝， 解得BC＝50(－)， 在△BCD中，由正弦定理可得 ＝， 解得sin ∠BDC＝－1， 即sin (θ＋90°)＝－1，所以cos θ＝－1. 【答案】　C 测量角度问题的解题思路 [跟踪训练3] 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距10 n mile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则sin ∠ACB＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由题意∠CAB＝120°，AC＝10，AB＝20，在△ABC中，由余弦定理得，CB2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos ∠CAB＝700，所以CB＝10，在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，解得sin ∠ACB＝. 1．从地面上观察一处建在山顶上的建筑物，测得其顶部与底部视线夹角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为(　　) A．α＋β　　　　　　　　 B．α－β C．β－α D．α 解析：选C.如图可知，山顶的仰角为β－α.故选C. 2．(教材P54T21改编)如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，若无人机的高度AD＝15(＋1)，则此时峡谷的宽度BC＝(　　) A．60 B．60(＋1) C．30 D．30(＋1) 解析：选A.由已知得∠ACB＝30°，∠ABD＝75°， 得CD＝＝15(3＋)， BD＝＝＝15(－1)， 所以BC＝CD－BD＝60. 3．如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在A层，小宁家位于小明家正上方的B层，已知AB＝a.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为α，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为β，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离d＝__________． 解析：如图所示，分别过点A，B作CD的垂线，垂足分别为M，N， 则根据正切函数的定义得 CM＝d tan α，CN＝d tan β， 则MN＝AB＝d tan α－d tan β＝a，解得d＝. 答案： 4．(教材P51T3改编)甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a n mile的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a n mile，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解：如图所示，设经过t h两船在C点相遇， 则在△ABC中，BC＝at n mile， AC＝at n mile， B＝180°－60°＝120°. 由＝， 得sin ∠CAB＝＝＝＝. 因为0°＜∠CAB＜60°，所以∠CAB＝30°， 所以∠DAC＝60°－30°＝30°，所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 1．已学习：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案． 2．须贯通：求解不可到达的距离、高度、角度等实际问题时，策略就是把实际问题转化为解三角形问题，体现了转化与化归和数形结合的思想方法． 3．应注意：测量中有关术语的含义，如方位角、方向角． 学科网（北京）股份有限公司 $