4 6.4.3 第3课时 用余弦、正弦定理解三角形（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦用正弦、余弦定理解三角形的综合应用，衔接前两节课的定理基础，系统梳理边角关系探究、三角形面积公式及定理综合应用，延伸至秦九韶“三斜求积”等拓展内容，构建递进式知识支架。 资料通过梯度例题（如梯形、多边形问题）培养几何直观与空间观念，以解题思路引导转化与化归，强化推理能力，融入古代数学成果提升应用意识。课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺，提升综合解题能力。

第3课时　用余弦、正弦定理解三角形 新课导入 学习目标 　　我们前两节课学习了余弦定理和正弦定理，利用两个定理可以解决三角形的边角问题，其实，在很多问题中，两个定理相互渗透，相互联系，并不是单独使用，这节课，我们就来研究二者的综合问题． 1.利用正弦、余弦定理研究三角形中边与角的关系． 2．掌握三角形的面积公式，能熟练求出三角形的面积． 3．掌握正弦、余弦定理的综合应用． [例1] 在△ABC中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且B＝，a＝1，b＝，求△ABC的面积． 【解】　在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 即3＝1＋c2－2×1×(－)·c， 则c2＋c－2＝0， 解得c＝－2(舍去)或c＝1， 所以S△ABC＝ac sin B＝×1×1×＝. 求三角形面积的解题思路 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设AD为BC边上的高，则AD＝c sin B，则△ABC的面积S＝BC·AD＝ac sin B．同理可得S＝ab sin C＝bc sin A．求三角形的面积，要充分挖掘题目中的已知条件，转化为求两边及夹角的正弦问题，在选择三角形面积公式时，一般是看哪个角是已知的，就使用哪个相应的公式． [跟踪训练1] (1)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc＝4，则△ABC的面积为(　　) A．2 B． C．2 D．1 解析：选B.由余弦定理的推论可得cos A＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝，又bc＝4，所以△ABC的面积为bc sin A＝. (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，B＝60°，△ABC的面积S＝2，则b＝________． 解析：由题意可得S＝ac sin B＝×2c×＝2， 即c＝4，则b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋16－8＝12，即b＝2. 答案：2 [例2] 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝，cos A＝，cos ∠ADB＝. (1)求cos ∠ABD； (2)求BC的长． 【解】　(1)在△ABD中，cos A＝， cos ∠ADB＝， 则A，∠ADB均为锐角， 则sin A＝＝，sin∠ADB＝＝， cos∠ABD＝cos (π－A－∠ADB)＝－cos (A＋∠ADB)＝sin A sin ∠ADB－cos A cos ∠ADB ＝×－×＝. (2)在△ABD中，由正弦定理得 ＝， 则BD＝＝＝3， 由AB∥CD，得∠BDC＝∠ABD，在△BCD中， 由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD cos ∠BDC＝9＋6－2×3××＝11， 所以BC＝. 多边形中计算问题的解题思路 (1)正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，还要善于应用正弦定理、余弦定理．只需通过解三角形，一般问题便能很快解决． (2)解决此类问题的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件． [跟踪训练2] 如图，△ADC是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2. (1)求∠ABE； (2)求△ABD的面积． 解：(1)由已知得AC＝AD＝CD＝BC＝， ∠DAC＝∠ADC＝∠ACD＝60°，∠ABC＝∠BAC＝45°， 所以△BCD是等腰三角形，∠BCD＝60°＋90°＝150°， 所以∠DBC＝×(180°－150°)＝15°， 所以∠ABE＝45°－15°＝30°. (2)由(1)知△ABD中，∠DAB＝60°＋45°＝105°， 又sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋sin 60°cos 45°＝×＋×＝， 所以S△ABD＝×AB×AD×sin 105°＝. [例3] (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 【解】　(1)由余弦定理得cos C＝＝， 又0<C<π，所以C＝. 所以cos B＝sin C＝，所以cos B＝， 又0<B<，所以B＝. (2)由(1)得A＝π－B－C＝， sin A＝sin ＝sin (＋) ＝sin cos ＋cos sin ＝. 由正弦定理＝，得＝， 所以a＝c. 所以△ABC的面积S＝ac sin B＝c2×＝3＋，解得c＝2. 利用正弦定理、余弦定理求解综合问题 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，寻找三角形中的边角关系． (2)抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键． [跟踪训练3] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若(a－c)(sin A＋sin C)＝(b－c)sin B. (1)求角A的大小； (2)若a＝，c＝1，求b sin C的值． 解：(1)由(a－c)(sin A＋sin C)＝(b－c)sin B以及正弦定理得(a－c)(a＋c)＝(b－c)b， 即a2－c2＝b2－bc，即b2＋c2－a2＝bc， 所以cos A＝＝＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)在△ABC中，由余弦定理的推论得cos ＝，解得b＝2或b＝－(舍去)， 根据正弦定理可得＝， 解得sin C＝， 所以b sin C＝2×＝. 拓视野 秦九韶的“三斜求积 ” 秦九韶的“三斜求积”，就是指秦九韶公式，出现在教材人教版必修二的55页，作为中国古代数学中的优秀成果之一介绍出来，它给出了三角形的面积和边长之间的定量关系，没有角度形式出现，这样的话，在我们的条件只有边关系时，就可考虑从这个角度入手解题．近年来，以这方面为背景的解三角形压轴题目多次出现． 秦九韶公式：S＝. 注：将秦九韶公式进一步整理可得海伦公式：S＝，p＝(a＋b＋c). [典例] (2025·深圳二模)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法：“三斜求积”，即△ABC的面积S＝，若b＝2，且tan C＝，则△ABC的面积S的最大值为________． 【解析】　由题设可知＝，整理得sin C＝(sin B cos C＋cos B sin C)，即sin C＝sin A，由正弦定理可得c＝a，所以S＝＝＝，当a2＝4，即a＝2时，Smax＝＝. 【答案】　 [练习1]　在△ABC中，若a2sin C＝4sin A，(a－c)2＝b2－4，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为(　　) A． B．2 C． D．2 解析：选C.由正弦定理可得a2c＝4a，则ac＝4，又a2－2ac＋c2＝b2－4，即a2＋c2－b2＝2ac－4＝4，所以S＝＝. [练习2]　已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式被称为海伦公式．现有一个三角形的三边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为(　　) A． B．2 C．3 D．4 解析：选C.因为a＝6，b＋c＝8，所以p＝＝7，又由三角形边长关系可得1<b<7，1<c<7，所以S＝≤×＝×＝3，当且仅当7－b＝7－c即b＝c＝4时等号成立，所以此三角形面积的最大值为3. 1．(教材P53T10改编)下列三角形面积公式正确的是(　　) A．S＝bc sin B B．S＝bc sin A C．S＝bc cos A D．S＝bc sin A 解析：选D.由三角形面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A可知A，B，C错误，D正确． 2．(多选)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积可以是(　　) A． B．1 C． D． 解析：选AD.因为AB＝，AC＝1，B＝，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B， 所以BC2－3BC＋2＝0， 所以BC＝1或BC＝2. 当BC＝1时，S△ABC＝·AB·BC·sin B＝××1×＝， 当BC＝2时，S△ABC＝·AB·BC·sin B＝××2×＝. 综上，S△ABC＝或S△ABC＝. 3．(2025·海淀期末)在△ABC中，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则角A＝________． 解析：因为sin C＝2sin B，由正弦定理得c＝2b， 则a2－b2＝bc＝2b2， 所以a2＝3b2， 所以cos A＝＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝. 答案： 4．(教材P54T22改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos A＋a cos B＝c cos C，△ABC的面积为4. (1)求角C的大小； (2)若a＝2，求边长c. 解：(1)根据已知由正弦定理得 sin B cos A＋sin A cos B＝sin C cos C， 又sin C＝sin (A＋B)， 所以sin C＝sin C cos C， 因为0<C<π，所以sin C≠0， 所以cos C＝， 即C＝. (2)由△ABC的面积S＝ab sin C＝b＝4， 得b＝4， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4＋32－2×2×4×＝20，所以c＝2. 1．已学习：三角形的面积公式及正弦、余弦定理的综合应用． 2．须贯通：结合条件能顺利选择三角形的面积公式、正确选择正弦或余弦定理结合三角恒等变换实现边与角的互化，应用转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：利用正弦定理进行边和角的相互转化的等价性． 学科网（北京）股份有限公司 $