3 6.4.3 第2课时 正弦定理（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦正弦定理核心知识点，从测量河对岸距离的实际问题导入，先在直角三角形中推导边角关系，再扩展到斜三角形证明，梳理定理及变形公式，通过例题应用形成从具体到抽象再到应用的学习支架。 资料以情境问题激发兴趣，体现用数学眼光观察现实世界，推导过程从特殊到一般培养推理能力，例题涵盖解三角形及形状判断，用数学语言解决问题，课中引导探究提升效率，课后训练助学生查漏补缺。

第2课时　正弦定理 新课导入 学习目标 在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成．不过，在这些工具没有出现之前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长、∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这三个量，求出AB的长吗？ 1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形公式． 2．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状． 思考1　在Rt△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝，则有sin A＝，sin B＝.从这两个式子能得到关于A，B，a，b怎样的定量关系？ 提示：＝＝c＝. 思考2　在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c, ＝＝是否成立？如何证明呢？ 提示：如图，若△ABC为锐角三角形，过点B作BD⊥AC于点D，则BD＝a sin C＝c sin A，所以＝.同理可得＝.因此＝＝. 若△ABC为钝角三角形，仿照上述方法，同样可得＝＝. [知识梳理] 1．正弦定理 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号语言 ＝＝ 2.正弦定理的变形 (1)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A. (2)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. (3)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C(R为△ABC外接圆的半径). 角度1　已知两角及一边解三角形 [例1] 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形． 【解】　因为B＝30°，C＝105°， 所以A＝180°－(30°＋105°)＝45°， sin 105°＝sin (60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋ cos 60°sin 45°＝×＋×＝， 所以由正弦定理＝＝得， a＝＝＝＝4， c＝＝＝ ＝2(＋)， 所以A＝45°，a＝4，c＝2(＋). 已知两角及一边解三角形的基本思路 (1)由三角形内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理的变形公式，求另外的两条边． 角度2　已知两边及其中一边的对角解三角形 [例2] (对接教材例8)在△ABC中，已知B＝45°，b＝，a＝，解三角形． 【解】　由正弦定理＝， 知sin A＝＝， 因为b<a，所以A＝60°或A＝120°， 当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， 所以c＝＝＝； 当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°， 所以c＝＝＝. 故当A＝60°时，C＝75°，c＝； 当A＝120°时，C＝15°，c＝. 母题探究　若本例中，“B＝45°”改为“A＝60°”，其他条件不变，解此三角形． 解：由正弦定理＝，知sin B＝＝，因为b<a，所以B＝45°，所以C＝75°， 所以c＝＝＝. 已知两边及其中一边的对角解三角形的步骤 [跟踪训练1] (1)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由正弦定理，得＝，即＝，解得sin C＝，因为AB<AC，所以C<B，所以cos C＝＝. (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝45°，C＝30°，c＝1，则a＝________． 解析：由正弦定理＝， 得＝，即＝，解得a＝. 答案： [例3] 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝9，b＝10，A＝60°； (3)b＝72，c＝50，C＝135°. 【解】　(1)因为b<a，所以B<A，又A＝120°，所以B为锐角，所以三角形有一解． (2)因为a<b，A为锐角，且b sin A＝10×sin 60°＝5，所以b sin A<a<b，所以三角形有两解． (3)因为b>c，所以B>C＝135°，三角形中不可能出现两个钝角，所以三角形无解． 三角形解的个数的判断方法 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． (2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长为a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： 类别 A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>b sin A 两解 a＝b sin A 一解 a<b sin A 无解 [跟踪训练2] (多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 解析：选ABD.对于A，因为b sin A＝16×sin 30°＝8＝a，故只有一解，A正确；对于B，因为c sin B＝20×sin 60°＝10，所以c sin B<b<c，故有两解，B正确；对于C，因为A＝90°，a＝5，c＝2，a>c，故有一解，C错误；对于D，因为A为钝角，又b<a，所以有一解，D正确． [例4] 在△ABC中，已知2cos A sin B＝sin C，试确定△ABC的形状． 【解】　方法一(利用边的关系来判断)：由正弦定理得＝，由2cos A sin B＝sin C， 得cos A＝＝. 又cos A＝，所以＝， 即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b， 所以△ABC为等腰三角形． 方法二(利用角的关系来判断)：由2cos A sin B＝sin C， 得2cos A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B， 所以sin (A－B)＝0. 又A与B均为△ABC的内角，所以A＝B， 所以△ABC为等腰三角形． 利用正弦定理判断三角形形状的两种途径 [跟踪训练3] (1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b sin B＝c sin (A＋B)－a sin A，则△ABC为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 解析：选B.因为b sin B＝c sin (A＋B)－a sin A，又sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，即b sin B＝c sin C－a sin A，由正弦定理可得b2＝c2－a2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形． (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin ＝，且a sin B＝c sin A，则该三角形的形状是(　　) A．三边均不相等的三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C.因为sin ＝，∈(0，)，所以＝，即B＝，又由a sin B＝c sin A，结合正弦定理得sin A sin B＝sin C sin A，易知sin A≠0，故sin B＝sin C，则b＝c(也可结合正弦定理得ab＝ca，即b＝c)，因为有一个角是的等腰三角形是等边三角形，所以△ABC为等边三角形． 1．(教材P48T3改编)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝3，sin B＝，则b＝(　　) A． B． C．1 D．2 解析：选D.由正弦定理＝，得b＝＝＝2. 2．(多选)在△ABC中，AB＝，B＝60°，若满足条件的三角形有两个，则AC边的取值可能是(　　) A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 解析：选BC.根据题意可得，满足条件的△ABC有两个，所以AB×sin B<AC<AB，解得<AC<. 3．(教材P48T2(1)改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝，A＝，则B＝________． 解析：由题知a＝3，b＝，A＝，在△ABC中，由正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝，因为在△ABC中，A＝，所以B∈(0，)，所以B＝. 答案： 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3b＝2a sin B，cos A＝cos C，试判断△ABC的形状． 解：因为3b＝2a sin B，由正弦定理可得3sin B＝2sin A sin B． 因为0°<B<180°， 所以sin B≠0， 所以sin A＝， 又0°<A<180°， 所以A＝60°或A＝120°， 又因为cos A＝cos C， 所以A＝C＝60°， 故△ABC为等边三角形． 1．已学习：正弦定理及公式变形、利用正弦定理解三角形． 2．须贯通：在解三角形的过程中，正弦定理及公式变形实现了边角互化，应用了转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：已知两边及其中一边对角解三角形时一般要分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $