3 6.4.3 第2课时 正弦定理 课后达标检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦正弦定理及其应用，涵盖解三角形、边角关系转化及三角形形状判断等核心知识点。通过基础例题（如已知两角一边求边）逐步过渡到综合应用（如结合三角恒等变换判断形状），构建由浅入深的知识支架。 其亮点在于分层设计（基础达标、能力提升、素养拓展），通过推理能力（如利用二倍角公式推导三角形形状）、运算能力（正弦定理精准计算）及应用意识（引入费马点情境题）培养核心素养。学生能分层巩固知识，教师可高效检测教学效果，提升课堂效率。

6．4.3　第2课时　课后达标检测 1 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 课后达标检测 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 1 2 课后达标检测 3．在△ABC中，已知cos 2A＋cos 2B＝2cos2C，则△ABC的形状一定为(　　) A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 解析：因为cos2A＋cos 2B＝2cos2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－2sin2C，所以sin2A＋sin2B＝sin2C，由正弦定理可得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形． √ 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 3 课后达标检测 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“A＝B”是“sinA＝sin B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 3 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 4 课后达标检测 3 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 4 课后达标检测 5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断正确的是(　　) A．B＝30°，c＝4，b＝5，有两解 B．B＝30°，c＝4，b＝3.9，有一解 C．B＝30°，c＝4，b＝3，有一解 D．B＝30°，c＝4，b＝1，无解 √ 3 4 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 5 课后达标检测 解析：选项A，因为b＝5>c＝4，故△ABC只有一解，故A错误； 选项B，因为c sin 30°＝2<b＝3.9<c＝4，故△ABC有两解，故B错误； 选项C，因为c sin 30°＝2<b＝3<c＝4，故△ABC有两解，故C错误； 选项D，因为b＝1<c sin 30°＝2，故△ABC无解，故D正确． 3 4 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 5 课后达标检测 √ 3 4 5 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 6 √ √ 课后达标检测 3 4 5 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 6 课后达标检测 3 4 5 7 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 6 课后达标检测 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝__________． 3 4 5 6 8 9 10 2 12 13 14 15 11 1 7 课后达标检测 3 4 5 6 7 9 10 2 12 13 14 15 11 1 8 30° 课后达标检测 9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b＝4.若A＋C＝120°，且a＝2c，则c＝________． 3 4 5 6 7 8 10 2 12 13 14 15 11 1 9 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 10 2 12 13 14 15 11 1 9 课后达标检测 10．(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，且b sin 2A＝a sin B. (1)求A；(5分) 3 4 5 6 7 8 9 2 12 13 14 15 11 1 10 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 2 12 13 14 15 11 1 10 课后达标检测 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 1 11 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 1 11 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 13 14 15 11 1 12 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 13 14 15 11 1 12 课后达标检测 13．(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a2＋b2)sin (A－B)＝(a2－b2)·sin (A＋B)，试判断△ABC的形状． 解：因为(a2＋b2)sin (A－B)＝(a2－b2)sin (A＋B)，所以b2[sin (A＋B)＋sin (A－B)]＝a2[sin (A＋B)－sin (A－B)]， 所以2sin A cos B·b2＝2cos A sin B·a2, 即a2cos A sin B＝b2sin A cos B. 由正弦定理得 sin2A cos A sin B＝sin2B sin A cos B. 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 14 15 11 1 13 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 14 15 11 1 13 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 15 11 1 14 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 15 11 1 14 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 15 11 1 14 课后达标检测 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 15 课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 11 1 15 课后达标检测 解析：由正弦定理得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(c,sin C)，所以a＝ eq \f(3\r(2)sin 45°,sin (180°－45°－75°))＝ eq \f(\r(2),2)× eq \f(3\r(2),\f(\r(3),2))＝2 eq \r(3). 1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝45°，B＝75°， c＝3 eq \r(2)，则a＝(　　) A．2 B．2 eq \r(3) C．2 eq \r(2) D．3 解析：由正弦定理得， eq \f(sin C,sin B)＝ eq \f(c,b)＝ eq \f(1,4)，则sin C＝ eq \f(1,4)sin B＝ eq \f(1,4)× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(\r(3),8). 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝4c，B＝ eq \f(π,3)，则sin C＝(　　) A． eq \f(\r(3),8) B． eq \f(\r(3),4) C． eq \f(1,8) D． eq \f(1,4) 解析：在△ABC中，若A＝B，则a＝b，由正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，得sin A＝sin B，即充分性成立；若sin A＝sin B, 由正弦定理有 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，得a＝b，则A＝B，即必要性成立．综上可得“A＝B”是“sin A＝sin B”的充要条件． 6．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的有(　　) A．A∶B∶C＝ a∶b∶c B． eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝ eq \f(a,sin A) C．若A>B，则sin A>sin B D．若sin A>sin B，则a>b 因为 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)， 所以 eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝ eq \f(2R(sin A＋sin B＋sin C),sin A＋sin B＋sin C)＝2R＝ eq \f(a,sin A)，所以B正确； 解析：由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，所以A错误； 若sin A>sin B，由正弦定理可得 eq \f(a,b)＝ eq \f(sin A,sin B)>1，所以a>b，所以D正确．故选BCD. 在三角形中，大角对大边，由A>B得a>b，又 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，所以sin A＝ eq \f(a,2R)>sin B＝ eq \f(b,2R)，所以C正确； 1∶1∶ eq \r(3) 解析：在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶1∶4，所以内角A，B，C分别为30°，30°，120°，所以a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶ eq \r(3). 解析：由正弦定理得sin B＝ eq \f(b sin A,a)＝ eq \f(2\r(2)sin 45°,4)＝ eq \f(1,2)，因为b<a，所以B<A＝45°，所以B＝30°. 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，b＝ 2 eq \r(2)，A＝45°，则B＝________． 解析：依题意，a＝2c，由正弦定理得sin A＝2sin C， 即sin (120°－C)＝2sin C， eq \f(\r(3),2)cos C＋ eq \f(1,2)sin C＝2sin C，tan C＝ eq \f(\r(3),3)， eq \f(4\r(3),3) 由于0°<C<120°， 所以C＝30°， 则A＝90°，B＝60°， 由正弦定理得 eq \f(c,sin C)＝ eq \f(b,sin B)，所以c＝ eq \f(b sin C,sin B)＝ eq \f(4×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝ eq \f(4\r(3),3). 解：由b sin 2A＝a sin B，则2sin B sin A cos A＝sin A sin B， 在△ABC中，有sin A>0，sin B>0，故cos A＝ eq \f(1,2)，A∈(0，π)， 所以A＝ eq \f(π,3). 解：因为sin B<sin A，所以B<A＝ eq \f(π,3)， 所以cos B＝ eq \r(1－sin2B)＝ eq \f(4,5)，因为A＋B＋C＝π， 所以sinC＝sin (A＋B)＝ eq \f(\r(3),2)× eq \f(4,5)＋ eq \f(1,2)× eq \f(3,5)＝ eq \f(4\r(3)＋3,10)， 由正弦定理可得c＝ eq \f(a sin C,sin A)＝3× eq \f(2,\r(3))× eq \f(4\r(3)＋3,10)＝ eq \f(12＋3\r(3),5). (2)若sin B＝ eq \f(3,5)，求c.(8分) 11．若满足B＝ eq \f(π,4)，AC＝6，BC＝k的△ABC恰有一个，则实数k的取值范围是(　　) A．(0，6] B．(0，6]∪{6 eq \r(2)} C．[6，6 eq \r(2)] D．(6，6 eq \r(2)) 解析：因为满足B＝ eq \f(π,4)，AC＝6，BC＝k的△ABC恰有一个， 所以AC＝BC sin B或AC≥BC， 即6＝ eq \f(\r(2),2)k，则k＝6 eq \r(2)，或6≥k， 综上，k∈(0，6]∪{6 eq \r(2)}． 解析：由题可知tan C＝－tan (A＋B)＝－ eq \f(tan A＋tan B,1－tan A tan B)＝－1， 因为C∈(0，π)， 所以C＝ eq \f(3π,4). eq \f(3π,4) 12．在△ABC中，tan A＝ eq \f(1,4)，tan B＝ eq \f(3,5). (1)C＝________； 解析：由题可知，最长边为c＝ eq \r(17)，最短边为a. 易知sin A＝ eq \f(\r(17),17)，sin C＝ eq \f(\r(2),2)， 由正弦定理可知，a＝ eq \f(c,sin C)sin A＝ eq \r(2). eq \r(2) (2)若△ABC的最长边的长为 eq \r(17)，则最短边的长为________． 又sin A sin B≠0， 所以sin A cos A＝sin B cos B， 所以sin 2A＝sin 2B. 因为在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π， 所以2A＝2B或2A＝π－2B， 所以A＝B或A＋B＝ eq \f(π,2). 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 14．(15分)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且 a cos C＋ eq \r(3)a sin C－b＝0. (1)求A；(7分) 解：在△ABC中，a cos C＋ eq \r(3)a sin C－b＝0， 由正弦定理得sin A cos C＋ eq \r(3)sin A sin C－sin B＝0， 因为sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以 eq \r(3)sin A sin C－cos A sin C＝0， 又sin C≠0，所以 eq \r(3)sin A－cos A＝0， 即tan A＝ eq \f(\r(3),3)，因为0<A<π， 所以A＝ eq \f(π,6). 解：因为cos B＝ eq \r(2)sin A＝ eq \f(\r(2),2)且0<B< eq \f(5π,6)， 所以B＝ eq \f(π,4)， sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),4). 由正弦定理得b＝ eq \f(a sin B,sin A)＝2 eq \r(2)，c＝ eq \f(a sin C,sin A)＝ eq \r(6)＋ eq \r(2)， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋ eq \r(6)＋3 eq \r(2). (2)若a＝2，cos B＝ eq \r(2)sin A，求△ABC的周长．(8分) 15．在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”．当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点即为费马点．在△ABC中，若BC＝4，且sin A∶sin B∶sin C＝2 eq \r(2)∶2∶1，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为(　　) A．4 eq \r(2) B．3 eq \r(2) C．4＋ eq \r(2) D．4＋2 eq \r(2) 解析：设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为sin A∶sin B∶sin C＝2 eq \r(2)∶2∶1，所以由正弦定理得a∶b∶c＝2 eq \r(2)∶2∶1，又a＝4，所以b＝2 eq \r(2)，c＝ eq \r(2)，由余弦定理的推论得cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(8＋2－16,2×2\r(2)×\r(2))＝ － eq \f(3,4)<－ eq \f(1,2)，所以A>120°，所以顶点A为费马点，故点A到各顶点的距离之和为b＋c＝3 eq \r(2). $