1 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面向量在几何与物理中的应用，承接向量基本概念与运算，通过“三部曲”（几何元素向量化、向量运算、结果几何化）构建应用框架，涵盖几何求值、证明及物理力学问题解决。 特色在于以“数学眼光”抽象问题为向量模型，“数学思维”通过坐标法、基底法推理运算，“数学语言”用向量表达关系。如例1坐标法求正方形中线段长度，例2证明三点共线，助力课中教学互动，课后跟踪训练帮助学生查漏补缺，强化应用能力。

6．4　平面向量的应用 6．4.1　平面几何中的向量方法 6．4.2　向量在物理中的应用举例 新课导入 学习目标 　　向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具． 1.能用向量方法解决简单的平面几何问题． 2．能用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题． 思考1　若两平面向量平行，则向量所在的直线一定平行，对吗？ 提示：不一定，也可能重合． 思考2　若两非零平面向量的数量积为零，则向量所在的直线一定垂直，对吗？ 提示：一定垂直． [知识梳理] 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 角度1　求值问题 [例1] 已知正方形ABCD的面积为16，＝，点N在线段CD上．若·＝||2，则||＝________． 【解析】　如图建立平面直角坐标系，因为正方形ABCD的面积为16， 则A(0，0)，B(4，0)，C(4，4)，D(0，4)，又＝， 则M为AB的中点，则M(2，0)，因为点N在线段CD上， 设N(t，4)，0≤t≤4，则＝(2，0)，＝(t，4). 由·＝||2得2t＝，解得t＝， 故||＝＝＝. 【答案】　 (1)用向量方法求长度的策略 ①利用图形特点选择基底，通过向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式．若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)向量数量积、夹角的计算 利用向量或坐标表示出未知向量，代入相应的公式进行计算． 角度2　证明问题 [例2] (对接教材例1)在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明： (1)DE∥BC； (2)D，M，B三点共线． 【证明】　如图，以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 令||＝1，则||＝1， ||＝2. 因为CE⊥AB，AD＝DC， 所以四边形AECD为正方形， 所以E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1). (1)因为＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)， ＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)， 所以＝， 所以∥. 因为B，C，D三点不共线，所以DE∥BC. (2)连接MB，MD. 因为M为CE的中点， 所以M(0，)， 所以＝(－1，1)－(0，)＝(－1，)， ＝(1，0)－(0，)＝(1，－)， 所以＝－，所以∥. 因为MD与MB有公共点M， 所以D，M，B三点共线． 用向量证明平面几何问题的基本思路及步骤 (1)基底法 ①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化． (2)向量的坐标运算法 ①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化． [跟踪训练1] (1)(多选)在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长均为1，则下列说法正确的是(　　) A．⊥ B．在上的投影向量为 C．与的夹角为30° D．(＋)·＝－1 解析：选AD.如图，以点A为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2，1)，C(1，0)，D(0，2)， 所以＝(2，1)，＝(－1，2)， ＝(1，0)，＝(0，2)， 由于·＝2×(－1)＋1×2＝0， 所以⊥，A正确； 根据投影向量的定义，结合图象，在上的投影向量为－，B错误； cos 〈，〉＝＝＝， 所以与的夹角不是为30°，C错误； ＋＝(3，1)，则(＋)·＝3×(－1)＋1×2＝－1，D正确． (2)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，M，N分别为BC，AC上的两点，＝，＝，AM，BN相交于点P. ①求||的值； ②求证：AM⊥PN. 解：①因为＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 所以||2＝2＝2＋·＋2＝×4＋×2×4×＋×16＝， 所以||＝. ②证明：因为＝， 所以＝＋＝－＋， 所以·＝·＝－2＋2＝－×4＋×16＝0， 所以⊥，即AM⊥BN，所以AM⊥PN. [例3] (1)(对接教材例4)如图，已知河水自西向东流速为|v0|＝1 m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2.若此人实际前进方向与水流方向垂直，且|v2|＝ m/s，则他游泳的方向与水流方向的夹角β为(　　) A. B． C． D． (2)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，垂直斜面向上的弹力F1，沿着斜面向上的摩擦力F2.已知|F1|＝80 N，|G|＝160 N，则F2的大小为________． 【解析】　 (1) 如图，设＝v0，＝v1，＝v2，则由题意知v2＝v0＋v1，||＝1，根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形．由题意知∠AOC＝∠OCB＝，且|v2|＝||＝，||＝1，则tan ∠BOC＝＝.又∠BOC∈，所以∠BOC＝，则β＝＋＝. (2)由题设得|F2|＝|G|cos 60°＝160×＝80(N). 【答案】　(1)C　 (2)80 N 用向量方法解决物理问题的四个步骤 [跟踪训练2] (1)(多选)在水流速度大小为4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船在静水中航行速度大小和方向的说法中，正确的是(　　) A.这艘船在静水中航行速度的大小为12 km/h B．这艘船在静水中航行速度的大小为8 km/h C．这艘船在静水中航行速度的方向与水流方向的夹角为150° D．这艘船在静水中航行速度的方向与水流方向的夹角为120° 解析：选BD.如图，设船的实际航行速度为v1，水流速度为v2，船在静水中的航行速度为v3，根据向量的平行四边形法则可知|v3|＝＝8(km/h).设船在静水中航行速度的方向和水流方向的夹角为θ，则tan (180°－θ)＝＝＝， 所以tan θ＝－，所以θ＝120°，所以船在静水中航行速度的大小为8 km/h，航行速度的方向与水流方向的夹角为120°.故B，D正确． (2)一质点在力F1＝(－3，5)，F2＝(2，－3)的共同作用下，由点A(10，－5)移动到B(－4，0)，则F1，F2的合力F对该质点所做的功为(　　) A．24 B．－24 C．110 D．－110 解析：选A.由题意可知，F1，F2的合力F＝F1＋F2＝(－3，5)＋(2，－3)＝(－1，2)，＝(－4－10，0＋5)＝(－14，5)，则合力F对该质点所做的功为F·＝(－1，2)·(－14，5)＝24. 1．(教材P39T2改编)在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos ∠BDC＝(　　) A．－ B． C．0 D． 解析：选B.如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，所以＝(－3，－4)，＝(3，－4).又∠BDC为，的夹角，所以cos ∠BDC＝＝＝. 2．若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形 解析：选C.因为＝3a，＝－5a，所以∥，||≠||，因为||＝||，所以四边形ABCD是等腰梯形． 3．(教材P41T1改编)已知F＝(2，3)作用一物体，使物体从A(2，0)移动到B(4，0)，则力F对物体做的功为________． 解析：根据题意，力F对物体做的功为W＝F·＝(2，3)·(4－2，0－0)＝2×2＋3×0＝4. 答案：4 4．已知A(－1，0)，B(0，2)，求满足·＝5，||2＝10的点D的坐标． 解：设D(x，y)，因为A(－1，0)，B(0，2)， 所以＝(1，2)，＝(x＋1，y)， 又·＝5，||2＝10， 所以·＝x＋1＋2y＝5， 即x＋2y＝4，① ||2＝(x＋1)2＋y2＝10，② 由①②解得或 故点D的坐标为(2，1)或(－2，3). 1．已学习：平面向量在几何、物理中的应用． 2．须贯通：用向量解决几何、物理问题时，先把有关问题转化为向量问题，再通过向量的线性运算或数量积运算解决该问题，最后一定要回归到所研究问题上，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：忘记把向量运算的结果转化为几何、物理问题． 学科网（北京）股份有限公司 $