1 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量在平面几何与物理中的应用，通过“向量数形结合”的导入，衔接向量概念与运算知识，搭建从理论到应用的学习支架，明确解决几何求值证明、物理力学问题的学习目标。 其亮点在于以问题驱动探究，通过“三部曲”“四步骤”梳理方法，结合坐标法解正方形问题、基底法证梯形共线等实例，培养数学眼光（抽象问题）、数学思维（推理运算）、数学语言（模型表达）。助力学生掌握转化思想，教师可高效开展应用教学。

6．4　平面向量的应用 6．4.1　平面几何中的向量方法 6．4.2　向量在物理中的应用举例 1 新课导入 学习目标 　　向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具． 1.能用向量方法解决简单的平面几何问题． 2．能用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 提示：不一定，也可能重合． 思考2　若两非零平面向量的数量积为零，则向量所在的直线一定垂直，对吗？ 提示：一定垂直． 返回导航 [知识梳理] 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用_____表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成_____关系． 向量 几何 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 角度2　证明问题 [例2] (对接教材例1)在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明： (1)DE∥BC； 返回导航 返回导航 返回导航 (2)D，M，B三点共线． 返回导航 用向量证明平面几何问题的基本思路及步骤 (1)基底法 ①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化． (2)向量的坐标运算法 ①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化． 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 80 N 返回导航 用向量方法解决物理问题的四个步骤 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 (2)一质点在力F1＝(－3，5)，F2＝(2，－3)的共同作用下，由点A(10，－5)移动到B(－4，0)，则F1，F2的合力F对该质点所做的功为(　　) A．24 B．－24 C．110 D．－110 √ 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 √ 返回导航 √ 返回导航 3．(教材P41T1改编)已知F＝(2，3)作用一物体，使物体从A(2，0)移动到B(4，0)，则力F对物体做的功为________． 4 返回导航 返回导航 1．已学习：平面向量在几何、物理中的应用． 2．须贯通：用向量解决几何、物理问题时，先把有关问题转化为向量问题，再通过向量的线性运算或数量积运算解决该问题，最后一定要回归到所研究问题上，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：忘记把向量运算的结果转化为几何、物理问题． 返回导航 eq \a\vs4\al(一　平面向量在平面几何中的应用) 思考1　若两平面向量平行，则向量所在的直线一定平行，对吗？ 角度1　求值问题 [例1] 已知正方形ABCD的面积为16， eq \o(AM,\s\up16(→))＝ eq \o(MB,\s\up16(→))，点N在线段CD上．若 eq \o(AM,\s\up16(→))· eq \o(AN,\s\up16(→))＝ eq \f(4,3)| eq \o(AM,\s\up16(→))|2，则| eq \o(AN,\s\up16(→))|＝________． 【解析】　如图建立平面直角坐标系，因为正方形ABCD的面积为16， 则A(0，0)，B(4，0)，C(4，4)，D(0，4)，又 eq \o(AM,\s\up16(→))＝ eq \o(MB,\s\up16(→))， eq \f(4\r(13),3) 则M为AB的中点，则M(2，0)，因为点N在线段CD上， 设N(t，4)，0≤t≤4，则 eq \o(AM,\s\up16(→))＝(2，0)， eq \o(AN,\s\up16(→))＝(t，4). 由 eq \o(AM,\s\up16(→))· eq \o(AN,\s\up16(→))＝ eq \f(4,3)| eq \o(AM,\s\up16(→))|2得2t＝ eq \f(16,3)，解得t＝ eq \f(8,3)， 故| eq \o(AN,\s\up16(→))|＝ eq \r(t2＋16)＝ eq \r(\f(64,9)＋16)＝ eq \f(4\r(13),3). (1)用向量方法求长度的策略 ①利用图形特点选择基底，通过向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式．若a＝(x，y)，则|a|＝ eq \r(x2＋y2). (2)向量数量积、夹角的计算 利用向量或坐标表示出未知向量，代入相应的公式进行计算． 【证明】　如图，以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 令| eq \o(AD,\s\up16(→))|＝1，则| eq \o(DC,\s\up16(→))|＝1， | eq \o(AB,\s\up16(→))|＝2. 因为CE⊥AB，AD＝DC， 所以四边形AECD为正方形， 所以E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1). (1)因为 eq \o(ED,\s\up16(→))＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)， eq \o(BC,\s\up16(→))＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)， 所以 eq \o(ED,\s\up16(→))＝ eq \o(BC,\s\up16(→))， 所以 eq \o(ED,\s\up16(→))∥ eq \o(BC,\s\up16(→)). 因为B，C，D三点不共线，所以DE∥BC. 【证明】　连接MB，MD. 因为M为CE的中点， 所以M(0， eq \f(1,2))， 所以 eq \o(MD,\s\up16(→))＝(－1，1)－(0， eq \f(1,2))＝(－1， eq \f(1,2))， eq \o(MB,\s\up16(→))＝(1，0)－(0， eq \f(1,2))＝(1，－ eq \f(1,2))， 所以 eq \o(MD,\s\up16(→))＝－ eq \o(MB,\s\up16(→))，所以 eq \o(MD,\s\up16(→))∥ eq \o(MB,\s\up16(→)). 因为MD与MB有公共点M， 所以D，M，B三点共线． [跟踪训练1] (1)(多选)在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长均为1，则下列说法正确的是(　　) A． eq \o(AB,\s\up16(→))⊥ eq \o(CD,\s\up16(→)) B． eq \o(CD,\s\up16(→))在 eq \o(AC,\s\up16(→))上的投影向量为 eq \o(AC,\s\up16(→)) C． eq \o(AD,\s\up16(→))与 eq \o(CD,\s\up16(→))的夹角为30° D．( eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(AB,\s\up16(→)))· eq \o(CD,\s\up16(→))＝－1 解析：如图，以点A为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2，1)，C(1，0)，D(0，2)， 所以 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，1)， eq \o(CD,\s\up16(→))＝(－1，2)， eq \o(AC,\s\up16(→))＝(1，0)， eq \o(AD,\s\up16(→))＝(0，2)， 由于 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(CD,\s\up16(→))＝2×(－1)＋1×2＝0， 所以 eq \o(AB,\s\up16(→))⊥ eq \o(CD,\s\up16(→))，A正确； 根据投影向量的定义，结合图象， eq \o(CD,\s\up16(→))在 eq \o(AC,\s\up16(→))上的投影向量为－ eq \o(AC,\s\up16(→))，B错误； cos 〈 eq \o(AD,\s\up16(→))， eq \o(CD,\s\up16(→))〉＝ eq \f(\o(AD,\s\up16(→))·\o(CD,\s\up16(→)),|\o(AD,\s\up16(→))||\o(CD,\s\up16(→))|)＝ eq \f(4,2×\r(5))＝ eq \f(2\r(5),5)， 所以 eq \o(AD,\s\up16(→))与 eq \o(CD,\s\up16(→))的夹角不是为30°，C错误； eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(AB,\s\up16(→))＝(3，1)，则( eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(AB,\s\up16(→)))· eq \o(CD,\s\up16(→))＝3×(－1)＋1×2＝－1，D正确． (2)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，M，N分别为BC，AC上的两点， eq \o(AN,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))， eq \o(BM,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up16(→))，AM，BN相交于点P. ①求| eq \o(AM,\s\up16(→))|的值； ②求证：AM⊥PN. 解：①因为 eq \o(BM,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up16(→))，所以 eq \o(AM,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BM,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3)( eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \o(AB,\s\up16(→)))＝ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))， 所以| eq \o(AM,\s\up16(→))|2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up16(→))))2＝ eq \f(4,9) eq \o(AB,\s\up16(→))2＋ eq \f(4,9) eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \f(1,9) eq \o(AC,\s\up16(→))2＝ eq \f(4,9)×4＋ eq \f(4,9)×2×4× eq \f(1,2)＋ eq \f(1,9)×16＝ eq \f(16,3)， 所以| eq \o(AM,\s\up16(→))|＝ eq \f(4\r(3),3). ②证明：因为 eq \o(AN,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))， 所以 eq \o(BN,\s\up16(→))＝ eq \o(BA,\s\up16(→))＋ eq \o(AN,\s\up16(→))＝－ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))， 所以 eq \o(AM,\s\up16(→))· eq \o(BN,\s\up16(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up16(→))))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(AC,\s\up16(→))))＝－ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→))2＋ eq \f(1,6) eq \o(AC,\s\up16(→))2＝－ eq \f(2,3)×4＋ eq \f(1,6)×16＝0， 所以 eq \o(AM,\s\up16(→))⊥ eq \o(BN,\s\up16(→))，即AM⊥BN，所以AM⊥PN. eq \a\vs4\al(二　向量在物理中的应用) [例3] (1)(对接教材例4)如图，已知河水自西向东流速为|v0|＝1 m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2.若此人实际前进方向与水流方向垂直，且|v2|＝ eq \r(3) m/s，则他游泳的方向与水流方向的夹角β为(　　) A. eq \f(π,6) B． eq \f(5π,6) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(π,3) 【解析】　 如图，设 eq \o(OA,\s\up16(→))＝v0， eq \o(OB,\s\up16(→))＝v1， eq \o(OC,\s\up16(→))＝v2，则由题意知v2＝v0＋v1，| eq \o(OA,\s\up16(→))|＝1，根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形．由题意知∠AOC＝∠OCB＝ eq \f(π,2)，且|v2|＝| eq \o(OC,\s\up16(→))|＝ eq \r(3)，| eq \o(BC,\s\up16(→))|＝1，则tan ∠BOC＝ eq \f(1,\r(3))＝ eq \f(\r(3),3).又∠BOC∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠BOC＝ eq \f(π,6)，则β＝ eq \f(π,2)＋ eq \f(π,6)＝ eq \f(2π,3). (2)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，垂直斜面向上的弹力F1，沿着斜面向上的摩擦力F2.已知|F1|＝80 eq \r(3) N，|G|＝160 N，则F2的大小为________． 【解析】　由题设得|F2|＝|G|cos 60°＝160× eq \f(1,2)＝80(N). [跟踪训练2] (1)(多选)在水流速度大小为4 eq \r(3) km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船在静水中航行速度大小和方向的说法中，正确的是(　　) A.这艘船在静水中航行速度的大小为12 eq \r(3) km/h B．这艘船在静水中航行速度的大小为8 eq \r(3) km/h C．这艘船在静水中航行速度的方向与水流方向的夹角为150° D．这艘船在静水中航行速度的方向与水流方向的夹角为120° 解析：如图，设船的实际航行速度为v1，水流速度为v2，船在静水中的航行速度为v3，根据向量的平行四边形法则可知|v3|＝ eq \r(|v1|2＋|v2|2)＝8 eq \r(3)(km/h).设船在静水中航行速度的方向和水流方向的夹角为θ，则tan (180°－θ)＝ eq \f(|v1|,|v2|)＝ eq \f(12,4\r(3))＝ eq \r(3)， 所以tan θ＝－ eq \r(3)，所以θ＝120°，所以船在静水中航行速度的大小为8 eq \r(3) km/h，航行速度的方向与水流方向的夹角为120°.故B，D正确． 解析：由题意可知，F1，F2的合力F＝F1＋F2＝(－3，5)＋(2，－3)＝(－1，2)， eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－4－10，0＋5)＝(－14，5)，则合力F对该质点所做的功为F· eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－1，2)·(－14，5)＝24. 1．(教材P39T2改编)在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos ∠BDC＝(　　) A．－ eq \f(7,25) B． eq \f(7,25) C．0 D． eq \f(1,2) 解析：如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，所以 eq \o(DB,\s\up16(→))＝(－3，－4)， eq \o(DC,\s\up16(→))＝(3，－4).又∠BDC为 eq \o(DB,\s\up16(→))， eq \o(DC,\s\up16(→))的夹角，所以cos ∠BDC＝ eq \f(\o(DB,\s\up16(→))·\o(DC,\s\up16(→)),|\o(DB,\s\up16(→))||\o(DC,\s\up16(→))|)＝ eq \f(－9＋16,5×5)＝ eq \f(7,25). 2．若 eq \o(AB,\s\up16(→))＝3a， eq \o(CD,\s\up16(→))＝－5a，且| eq \o(AD,\s\up16(→))|＝| eq \o(BC,\s\up16(→))|，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形 解析：因为 eq \o(AB,\s\up16(→))＝3a， eq \o(CD,\s\up16(→))＝－5a，所以 eq \o(AB,\s\up16(→))∥ eq \o(CD,\s\up16(→))，| eq \o(AB,\s\up16(→))|≠| eq \o(CD,\s\up16(→))|，因为| eq \o(AD,\s\up16(→))|＝ | eq \o(BC,\s\up16(→))|，所以四边形ABCD是等腰梯形． 解析：根据题意，力F对物体做的功为W＝F· eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，3)·(4－2，0－0)＝2×2＋3×0＝4. 4．已知A(－1，0)，B(0，2)，求满足 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AD,\s\up16(→))＝5，| eq \o(AD,\s\up16(→))|2＝10的点D的坐标． 解：设D(x，y)，因为A(－1，0)，B(0，2)， 所以 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，2)， eq \o(AD,\s\up16(→))＝(x＋1，y)， 又 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AD,\s\up16(→))＝5，| eq \o(AD,\s\up16(→))|2＝10， 所以 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AD,\s\up16(→))＝x＋1＋2y＝5， 即x＋2y＝4，① | eq \o(AD,\s\up16(→))|2＝(x＋1)2＋y2＝10，② 由①②解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3，)) 故点D的坐标为(2，1)或(－2，3). $