4 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面向量数量积的坐标表示这一核心知识点，衔接已学的数量积性质与向量坐标运算，通过推导数量积坐标公式，延伸至模、夹角及垂直关系的坐标应用，构建完整知识支架。 资料以问题链引导推导培养数学思维，结合坐标系解决几何问题发展数学眼光，例题与跟踪训练结合。课中助教师引导学生探究，课后通过练习与拓展帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升应用能力。

6．3.5　平面向量数量积的坐标表示 新课导入 学习目标 　　同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”来描述向量的加、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标来表示两向量的数量积呢？ 1.会用坐标表示平面向量的数量积． 2．能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角． 3．能够利用坐标判断向量的垂直关系． 思考　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示：i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0. 因为a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， 所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又因为i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0， 所以a·b＝x1x2＋y1y2. [知识梳理] 条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 [例1] (1)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 (2)在四边形ABCD中，＝2，且AD＝CD＝1，AD⊥CD，则·＝________． 【解析】　(1)因为a＝(0，1)，b＝(1，0)， 所以a－b＝(－1，1)， 所以a·(a－b)＝0×(－1)＋1×1＝1. (2)如图，建立平面直角坐标系，由题意可知，AD＝DC＝1，BC＝2， 则B(－2，0)，A(－1，1)，D(0，1)， ＝(1，1)，＝(2，1)， 所以·＝1×2＋1×1＝3. 【答案】　(1)B　(2)3 向量数量积运算的途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算． [跟踪训练1] (1)已知a＝(1，－2)，b＝(x，4)，c＝(3，2)，若(a＋b)·c＝－2，则x的值为(　　) A．3 B．－2 C．2 D．－3 解析：选D.(a＋b)·c＝(1＋x，2)·(3，2)＝3＋3x＋4＝－2，解得x＝－3. (2)已知正六边形ABCDEF的边长为4，点P为边DE(含端点)上的一个动点，则·的取值范围是______________． 解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，0)，C(6，2)，设P(x，4)， 因为点P是边DE(含端点)上的一点，则0≤x≤4，＝(x，4)，＝(6，2)， 则·＝(6，2)·(x，4)＝6x＋24∈[24，48]. 答案：[24，48] 思考　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，若向量a＝(x，y)，借助于公式|a|＝＝，如何用坐标表示|a|? 提示：|a|＝＝＝ ＝. [知识梳理] 条件 结论 a＝(x，y) |a|＝ 表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) |a|＝ [例2] (1)已知向量a，b满足a－b＝(2，3)，3a＋b＝(－2，5)，则|a|2－|b|2＝(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 (2)已知△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且＝，E为AD的中点，则||＝________． 【解析】　(1)因为a－b＝(2，3)，3a＋b＝(－2，5)， 所以a－b＋3a＋b＝4a＝(2，3)＋(－2，5)＝(0，8)， 则a＝(0，2)，所以b＝a－(a－b)＝(0，2)－(2，3)＝(－2，－1)，所以|a|2－|b|2＝(02＋22)－[(－2)2＋(－1)2]＝－1. (2)如图，以BC的中点O为坐标原点，直线BC为x轴，直线OA为y轴建立平面直角坐标系， 则B(－，0)，C(，0)，A(0，)，由＝，得D(－，0)， 而E为AD的中点，则E(－，)， 所以||＝＝. 【答案】　(1)C　(2) 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝. [跟踪训练2] (1)已知向量a＝(2，3)，b＝(1，0)，|a＋tb|＝3，则t＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选A.因为a＝(2，3)，b＝(1，0)，所以a＋tb＝(2，3)＋(t，0)＝(2＋t，3)，因为|a＋tb|＝3，所以＝3，即(2＋t)2＝0，解得t＝－2. (2)已知向量a，b满足a＝(1，2)，|b|＝3，a·(a－b)＝－1，则|a－2b|＝________． 解析：由a＝(1，2)，得|a|＝，由a·(a－b)＝－1，得a2－a·b＝－1，解得a·b＝6，又|b|＝3，所以|a－2b|＝＝＝. 答案： 思考　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用坐标表示两非零向量垂直的充要条件？ 提示：a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2＝0. [知识梳理] 设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角． (1)cos θ＝＝； (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． 提醒　不要混淆两向量垂直与两向量平行的坐标表示． [例3] (1)(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x).若a⊥(a－b)，则|a|＝________． (2)(对接教材例11)已知向量a，b满足a＋2b＝(3，1)，2a－3b＝(－1，2)，则a与b的夹角为________． 【解析】　(1)方法一：由题意得a－b＝(1，1－2x)，由a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝0，即x＋1－2x＝0，所以x＝1，所以a＝(1，1)，故|a|＝. 方法二：由a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝0，即a2＝a·b，将a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)代入，得x2＋1＝x(x－1)＋2x，解得x＝1，所以a＝(1，1)，故|a|＝. (2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，因为a＋2b＝(3，1)，2a－3b＝(－1，2)， 所以解得 所以a＝(1，1)，b＝(1，0)， 所以a·b＝1，|a|＝＝，|b|＝＝1， 则cos 〈a，b〉＝＝＝， 因为〈a，b〉∈[0，π]，则〈a，b〉＝. 【答案】　(1)　(2) 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积． (2)利用|a|＝计算出这两个向量的模． (3)设两个向量的夹角为θ，由公式cos θ＝直接求出cos θ的值． [跟踪训练3] (1)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，3)，若a⊥(2a－b)，则a与b夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.因为a＝(1，2)，b＝(m，3)， 所以2a－b＝(2－m，1)， 因为a⊥(2a－b)， 所以a·(2a－b)＝1×(2－m)＋2×1＝0， 解得m＝4，所以b＝(4，3)， 设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， 即a与b夹角的余弦值为. (2)已知向量a＝(1，2)，b＝(2－λ，λ)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是_____________________________． 解析：因为a与b的夹角为锐角， 所以a·b>0且a与b不共线， 所以 解得λ>－2且λ≠. 答案：(－2，)∪(，＋∞) 拓视野 向量的数量积与三角形的面积 平面向量的概念与坐标运算，给我们解决数学问题带来了全新的视角．用向量的视角来解读和诠释平面几何问题能给我们带来不一样的精彩．下面简单地介绍三角形面积的向量坐标公式及其在解题中的应用． 定理：在△OAB中，已知点O(0，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则S△OAB＝|x1y2－x2y1|. 证明：如图所示，记t＝||，a＝(－y1，x1)，则a是与垂直的单位向量． 过B作OA的垂线BC，因为a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知||＝|a·|， 因此，△OAB的面积为 S＝||×||＝||×|a·| ＝t×|(－y1，x1)·(x2，y2)| ＝|(－y1，x1)·(x2，y2)| ＝|x1y2－x2y1|. 推论：在△ABC中，若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则S△ABC＝|x1y2－x2y1|. 证明：设O为原点，作＝，＝(图略)，则P(x1，y1)，Q(x2，y2)，△ABC与△OPQ全等，所以S△ABC＝S△OPQ＝|x1y2－x2y1|. [典例] 已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A(－2，－1)，B(4，1)，C(2，3).求平行四边形ABCD的面积． 【解】　由题意，＝(6，2)，＝(4，4)， 所以△ABC的面积为×|6×4－2×4|＝8， 因为平行四边形ABCD的面积是△ABC面积的2倍， 所以平行四边形ABCD的面积是16. [练习] 在x轴上求一点P，使以A(1，2)，B(3，4)和P为顶点的三角形的面积为10. 解：设点P(x，0)， 则＝(2，2)，＝(x－1，－2)， 所以△ABP的面积为 ×|2×(－2)－2×(x－1)|＝10， 从而|x＋1|＝10， 解得x＝9或x＝－11， 故P(9，0)或P(－11，0). 1．(教材P36练习T2改编)已知a＝(1，－1)，b＝(2，4)，则a·(a＋b)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选B.a·(a＋b)＝(1，－1)·(3，3)＝3－3＝0. 2．(多选)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则(　　) A．a＝b B．|a|＝|b| C．a⊥b D．a∥b 解析：选BC.由于a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则a≠b，故A错误；由于|a|＝＝，|b|＝＝，故B正确；因为1×1＋1×(－1)＝0，所以a⊥b，故C正确；因为1×(－1)－1×1≠0，所以a，b不平行，故D错误． 3．已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，－2)，记向量a＋b与a－b的夹角为θ，则θ＝__________． 解析：因为向量a＝(－2，1)，b＝(1，－2)，则a＋b＝(－1，－1)，a－b＝(－3，3)，所以(a＋b)·(a－b)＝3－3＝0，则(a＋b)⊥(a－b)，所以θ＝. 答案： 4．已知向量a，b，c在同一平面上，且a＝(－2，1). (1)若b＝(3，1)，且ka－b与a＋2b垂直，求实数k的值； (2)若a∥c，且|c|＝10，求向量c的坐标． 解：(1)由题意，ka－b＝k(－2，1)－(3，1)＝(－2k－3，k－1)，a＋2b＝(－2，1)＋2(3，1)＝(4，3)， 因为(ka－b)⊥(a＋2b)，则(ka－b)·(a＋2b)＝4(－2k－3)＋3(k－1)＝－5k－15＝0，解得k＝－3. (2)因为a∥c，所以设c＝λa＝(－2λ，λ)，λ∈R， 则|c|＝＝|λ|＝10，解得λ＝±2， 所以c＝(－4，2)或c＝(4，－2). 1．已学习：平面向量数量积的坐标表示、平面向量的模与夹角(垂直)问题． 2．须贯通：应用平面向量数量积的坐标形式可以解决向量间的垂直、平行、夹角及长度等几何问题，体现了转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：(1)易混淆平面向量平行与垂直的坐标表示； (2)在求平面向量的夹角时，不能忽略向量共线的特殊情况． 学科网（北京）股份有限公司 $