3 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面向量数乘运算的坐标表示这一核心知识点，承接上节课向量加减运算的坐标表示，通过“2a坐标与a坐标关系”的问题导入，系统梳理数乘向量坐标运算法则及两向量共线的坐标条件，构建从运算到应用的完整学习支架。 该资料以问题驱动引导学生自主推导数乘坐标公式，培养数学眼光中的抽象能力与创新意识，通过例、习题的多角度设计（如求参数、点坐标）发展数学思维的推理能力，结合共线条件解决三点共线问题体现数学语言的应用意识。课中助力教师高效授课，课后学生可通过跟踪训练与母题探究巩固知识，查漏补缺。

6．3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 新课导入 学习目标 　　我们上一节课学习了平面向量加、减运算的坐标表示，知道当a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，那么当a＝b时，a＋b＝2a，向量2a的坐标与a的坐标有什么关系呢？ 1.掌握向量数乘的坐标运算法则． 2．理解用坐标表示两向量共线的条件，能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线． 思考　已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？ 提示：因为a＝(x，y)＝xi＋yj，所以λa＝λ(xi＋yj)＝λxi＋λyj，即λa＝(λx，λy). [知识梳理] 符号表示 若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy) 文字表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 [例1] (1)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，则2a＋3b＝(　　) A．(－5，－10) B．(－4，－8) C．(－3，－6) D．(－2，－4) (2)已知点O(0，0)，A(－1，3)，B(2，－4)，＝＋m.若点P在y轴上，则实数m的值为________． 【解析】　(1)由向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，可得2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8). (2)因为O(0，0)，A(－1，3)，B(2，－4)， 所以＝(－1，3)，＝(3，－7)， 因为＝＋m， 所以＝(－1，3)＋m(3，－7)＝(－1＋3m，3－7m)， 因为点P在y轴上， 所以－1＋3m＝0， 解得m＝. 【答案】　(1)B　(2) 向量数乘坐标运算的三个关注点 (1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用． (2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题． (3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题． [跟踪训练1] (1)已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若＝2－3，且＝(2，－1)，则＝(　　) A．(4，－2) B．(－4，2) C．(6，－3) D．(－6，3) 解析：选C.由＝2－3得＋＝3－3，即＝3，又＝(2，－1)，所以＝3＝(6，－3). (2)已知向量a＝(0，4)，b＝(3，6)，c＝(－1，6)，若c＝λa＋μb，则λ＋μ＝________． 解析：向量a＝(0，4)，b＝(3，6)，c＝(－1，6)，若c＝λa＋μb，则(－1，6)＝λ(0，4)＋μ(3，6)＝(3μ，4λ＋6μ)，所以可得所以λ＋μ＝2＋＝. 答案： 思考　已知两向量a，b，则两个向量共线的充要条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ 提示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，则(x1，y1)＝λ(x2，y2)，则消去λ，得x1y2－x2y1＝0. [知识梳理] 条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0 结论 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0 [例2] (1)(多选)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，则下列向量与2a＋b平行的是(　　) A． B．(1，－3) C．(1，－2) D． (2)(对接教材例8)已知点A(－1，－1), B(1，3), C(1，5), D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？ 【解】　(1)选AD.因为a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，所以2a＋b＝(3，1).若向量(x，y)与2a＋b平行，则3y－x＝0，检验易知A，D符合题意． (2)因为点A(－1，－1), B(1，3), C(1，5), D(2，7)，则＝(2，4), ＝(1，2)，所以2×2－1×4＝0，得∥，因为＝ (2，6), 而＝(2，4)，即有2×4－2×6＝－4≠0，则与不平行，即点A，B，C不共线，因此，直线AB与直线CD不重合，所以直线AB与直线CD平行． (1)向量共线的判定方法 (2)三点共线的实质是有公共点的两个向量共线问题． [跟踪训练2] (1)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．a＝(2，)，b＝(1，) B．a＝(，3)，b＝(1，) C.a＝(1，0)，b＝(0，1) D．a＝(－2，6)，b＝(6，－2) 解析：选ACD.对于A，因为2×≠×1，所以a与b不是共线向量，可以作为基底，故A符合题意；对于B，因为×＝3×1，所以a∥b，不可以作为基底，故B不符合题意；对于C，因为1×1≠0×0，所以a与b不是共线向量，可以作为基底，故C符合题意；对于D，因为(－2)×(－2)≠6×6，所以a与b不是共线向量，可以作为基底，故D符合题意． (2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ 解：因为＝(1，3)－(－1，－1)＝(2，4)， ＝(2，5)－(－1，－1)＝(3，6)， 因为2×6－3×4＝0， 所以∥，所以与共线． 又＝，所以与的方向相同． 角度1　利用向量共线求参数 [例3] (1)已知向量a＝(－2，3)，b＝(m－1，3m)，a∥(a＋2b)，则m＝(　　) A． B． C．－ D．－ (2)若向量＝(2，6)，＝(m，m＋1)，且A，B，C三点共线，则m＝________． 【解析】　(1)方法一：因为a＝(－2，3)，b＝(m－1，3m)，故a＋2b＝(－2，3)＋2(m－1，3m)＝(2m－4，6m＋3)，又a∥(a＋2b)，故－2×(6m＋3)＝3×(2m－4)，解得m＝. 方法二：由a∥(a＋2b)得a∥b，所以－2×3m＝3(m－1)，解得m＝. (2)因为A，B，C三点共线，则与共线，又＝(2，6)，＝(m，m＋1)，则2(m＋1)＝6m，解得m＝. 【答案】　(1)A　(2) 利用向量共线求参数的思路 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路．一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)，列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解． 角度2　求点的坐标 [例4] (对接教材例9)已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标． 【解】　设点P的坐标为(x，y)， 因为||＝2||， 所以当P在线段AB上时，＝2， 所以(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)， 所以 解得 所以点P的坐标为； 当P在线段AB的延长线上时，＝－2， 所以(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)， 所以解得 所以点P的坐标为(－5，8). 综上所述，点P的坐标为或(－5，8). 母题探究　若将本例条件“||＝2||”改为“＝3”，其他条件不变，求点P的坐标． 解：设点P的坐标为(x，y). 因为＝3， 所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x，2－y)， 所以解得 所以点P的坐标为. 利用向量共线求点的坐标的方法 (1)求点的坐标：把向量模的比例关系转化为向量数乘关系，再代入坐标运算； (2)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).若点P是线段P1P2的中点，则点P的坐标为；若点P是直线P1P2上的一点，且＝λ，则点P的坐标为. [跟踪训练3] (1)已知向量m＝(a，2)，n＝(8，a)，则“a＝－4”是“m∥n”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.因为向量m＝(a，2)，n＝(8，a)，若m∥n，则a2＝2×8，解得a＝±4，故“a＝－4”是“m∥n”的充分不必要条件． (2)在△ABC中，A(2，3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且＝2，则点C的坐标为________． 解析：设点C的坐标为(x，y)，则点D的坐标为. 由＝2可得(0，－4)＝2，所以解得故点C的坐标为(－4，－2). 答案：(－4，－2) 1．(教材P33T1改编)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　) A．(－2，1) B．(2，－1) C．(－1，0) D．(－1，2) 解析：选D.因为平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＝(，)，b＝(，－)，则a－b＝(－1，2). 2．(多选)下面向量b与向量a＝(4，3)平行的是(　　) A．b＝(－4，－3) B．b＝(－4，3) C．b＝(8，6) D．b＝(4，－3) 解析：选AC.对于A，因为4×(－3)－3×(－4)＝0，所以a∥b，故A正确；对于B，因为4×3－3×(－4)＝24≠0，所以a，b不平行，故B错误；对于C，因为4×6－3×8＝0，所以a∥b，故C正确；对于D，因为4×(－3)－3×4＝－24≠0，所以a，b不平行，故D错误． 3．已知直角坐标平面上两点P1(－1，1)，P2(2，3)，若P满足＝2，则点P的坐标为________． 解析：方法一：设点P的坐标为(x，y)，因为点P1(－1，1)，P2(2，3)，所以＝(x＋1，y－1)，＝(2－x，3－y)，因为＝2，所以(x＋1，y－1)＝2(2－x，3－y)，即解得所以点P的坐标为(1，). 方法二：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，＝λ，则点P的坐标为，由＝2可得λ＝2，所以点P的坐标为＝. 答案：(1，) 4．(教材P33T3改编)已知O为坐标原点，在△ABC中，向量＝(2，3)，＝(1，4)，且＝3，＝3，＝2＋.判断C，D，E三点是否共线． 解：因为＝(2，3)，所以＝3＝3(2，3)＝(6，9)；又＝(1，4)，所以＝3＝3(1，4)＝(3，12)；又＝2＋＝2(2，3)＋(1，4)＝(5，10)；因为＝－＝(3，12)－(6，9)＝(－3，3)，＝－＝(5，10)－(6，9)＝(－1，1)，所以＝3，即∥，又直线CD与直线CE有公共点C，所以C，D，E三点共线． 1．已学习：平面向量数乘运算的坐标表示、两个向量共线的坐标表示． 2．须贯通：利用向量共线的坐标表示可以解决参数问题及三点共线问题；向量数乘运算的坐标表示及应用体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，只有当x2y2≠0时，a∥b⇔＝. 学科网（北京）股份有限公司 $