2 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面向量的正交分解、坐标表示及加减运算的坐标表示核心知识点，通过物理情境（如斜面上木块重力分解）引入正交分解，建立向量与坐标的联系，进而学习加减运算的坐标法则，形成从分解到表示再到运算的连贯学习支架。 该资料以情境导入培养数学眼光，如通过斜面上重力分解引导观察现实问题，即时练和例题（如向量坐标象限判断、平行四边形顶点坐标求解）发展数学思维，坐标表示与运算体现数学语言的精确表达。课中思考问题与例题解析辅助教师授课，课后即时练与跟踪训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

6．3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6．3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 新课导入 学习目标 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)来表示．那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示． 2．理解向量坐标的概念，掌握两个向量加、减的坐标运算法则． 思考　如图，在光滑斜面上的一个木块，其重力可以分解为哪两个力的作用？这些力之间有什么关系？ 提示：该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G＝F1＋F2. [知识梳理] [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)点的坐标与向量的坐标相同．(　　) (2)零向量的坐标是(0，0).(　　) (3)相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．(　　) (4)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．若与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}为基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　　) A．第一、二象限　　　　　 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D.x2＋x＋1＝2＋>0，x2－x＋1＝2＋>0，因此a对应的坐标满足x2＋x＋1>0，－(x2－x＋1)<0，所以向量a对应的坐标位于第四象限． 3．(对接教材例3)如图，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量为i，j，以作为基底，若|a|＝，θ＝，则向量a的坐标为________． 解析：由题意得， a＝(cos )i＋(sin )j＝(，). 答案：(，) 4．已知向量＝(，)，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点P′的横坐标为________． 解析：因为＝(，)，所以向量与x轴正方向的夹角为，向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则与x轴正方向的夹角为，此时点P′在y轴上，点P′的横坐标为0. 答案：0 求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标，先求该向量的模在x轴、y轴上正交分解的长度，其正负需要注意方向． (3)求一个向量的坐标实际上是把该向量的起点平移到坐标原点，其终点的坐标即是该向量的坐标． 思考1　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 提示：a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2). 思考2　如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 提示：＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1). [知识梳理] 　设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 类别 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝(xB－xA，yB－yA) [例1] (1)若a＝(2，1)，b＝(－1，0)，则a－b的坐标是(　　) A．(1，－1) B．(－3，－1) C．(3，1) D．(2，0) (2)在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知点A(－1，1)，向量＝(1，－2)，则＝________． 【解析】　(1)a－b＝(2＋1，1－0)＝(3，1). (2)因为A(－1，1)，则＝(－1，1)，又＝(1，－2)，所以＝＋＝(－1，1)＋(1，－2)＝(0，－1). 【答案】　(1)C　(2)(0，－1) 平面向量加、减坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量加、减的运算法则进行运算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． [跟踪训练1] (1) 已知向量a＝(2，4)，a＋b＝(3，2)，则b＝(　　) A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0) 解析： 选A.b＝(a＋b)－a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2). (2) 已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)，D(－2，3)，则＋＋的坐标为________． 解析：＝(－3，5)，＝(－4，2)，＝(－5，1)，所以＋＋＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8). 答案：(－12，8) [例2] (对接教材例5)如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为(2，1)，(－3，2)，(－1，3). (1)写出向量，，的坐标； (2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标． 【解】　(1)＝(－3，2)－(2，1)＝(－5，1)，＝(－1，3)－(2，1)＝(－3，2)，＝(－1，3)－(－3，2)＝(2，1). (2)设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)，由＝可得解得故D(4，2). 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等． (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标． [跟踪训练2] (1)若向量＝(2，4)，＝(－2，n)，＝(0，2)，则n＝________． 解析：因为＋＝，即(2，4)＋(－2，n)＝(0，4＋n)＝(0，2)，所以4＋n＝2，解得n＝－2. 答案：－2 (2)已知点A(－1，4)，B(2，6)，C(3，0)，则满足＋＋＝0的G的坐标为______． 解析：设G的坐标为(x，y)，且A(－1，4)，B(2，6)，C(3，0)，因为＋＋＝0，可得(－1－x，4－y)＋(2－x，6－y)＋(3－x，－y)＝(4－3x，10－3y)＝(0，0)， 可得解得所以G的坐标为(，). 答案：(，) 1．(教材P30T1改编)已知平面向量a＝(－2，3)，b＝(4，－2)，则a＋b＝(　　) A．(－2，1) B．(－2，－1) C．(2，1) D．(－6，5) 解析：选C.因为向量a＝(－2，3)，b＝(4，－2)，所以a＋b＝(－2，3)＋(4，－2)＝(2，1). 2．(多选)(教材P36习题6.3T3改编)已知＝(－2，4)，则下列选项中错误的是(　　) A．A点的坐标是(－2，4) B．B点的坐标是(－2，4) C．当B是原点时，A点的坐标是(－2，4) D．当A是原点时，B点的坐标是(－2，4) 解析：选ABC.由题意，向量＝(－2，4)与终点、起点的坐标差有关，所以A点的坐标不一定是(－2，4)，故A错误；同理B错误；当B是原点时，A点的坐标是(2，－4)，故C错误；当A是原点时，B点的坐标是(－2，4)，故D正确． 3．已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)(m，n∈R)，若a＋b＝(9，－8)，则m－n＝________． 解析：因为a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以解得 所以m－n＝2－5＝－3. 答案：－3 4．在▱ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2，4)，＝(1，3)，求的坐标． 解：因为＝(1，3)，＝(2，4)， 所以＝＝－＝(－1，－1)， 所以＝－＝(－3，－5). 1．已学习：平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量加、减运算的坐标表示． 2．须贯通：平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是要求两个向量互相垂直；向量的和与差的坐标就是它们对应向量坐标的和与差；两个向量相等，则它们的坐标相同；解题中应用了方程思想与数形结合的思想． 3．应注意：(1)向量的坐标不一定是终点的坐标； (2)的坐标一定是终点B的坐标减去起点A的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $