1 6.3.1 平面向量基本定理（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面向量基本定理这一核心知识点，通过向量共线定理自然过渡，系统梳理基底的含义及平面内任一向量用基底唯一线性表示的原理，构建从共线到共面的知识支架。 资料以音乐基本音符类比向量基底导入，培养数学眼光中的抽象能力与创新意识，结合即时练、例题及跟踪训练，通过推理训练提升数学思维，详细解析助力学生用数学语言表达向量关系，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1　平面向量基本定理 新课导入 学习目标 音乐有7个基本音符：Do Re Mi Fa Sol La Si，不管是流行歌曲的通俗，摇滚歌曲的动感，还是古典音乐的高雅，其乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此．在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义． 2．掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量． 3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 向量共线定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来． 思考　向量共线定理是否可以推广到所有共面的向量呢？ 提示：可以．所有共面的向量中，只要指定两个不共线向量，则其他向量都可以用这两个向量表示出来． [知识梳理] 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)基底中的向量不能为零向量．(　　) (2)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.(　　) (3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，其中可表示这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底的是(　　) A．{，} B．{，} C．{，} D．{，} 解析：选AC.平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对于A，与不共线，可以作为基底；对于B，与为共线向量，不可以作为基底；对于C，与不共线，可以作为基底；对于D，与是共线向量，不可以作为基底． 3．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为______________． 解析：若{a，b}能作为平面内的一个基底，则a与b不共线，则a≠kb(k∈R)，因为a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，所以λ≠4.所以实数λ的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞). 答案：(－∞，4)∪(4，＋∞) 对基底的理解 (1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底； (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． [例1] (1)如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设＝a，＝b，则＝(　　) A．－a＋b B．a－b C．－a＋b D．a－b (2)如图，在△OAB中，＝a，＝b，BE∶EA＝1∶2，F是OA的中点，线段OE与BF交于点G，试用基底{a，b}表示＝________． 【解析】　(1)依题意在平行四边形ABCD中，AM∥CD，又M是AB的中点，则AM＝AB＝CD，又DM与AC交于点N，所以△ANM∽△CND，则＝＝，所以＝，又＝a，＝b，所以＝－＝－＝(＋)－＝－＋＝－a＋b. (2)方法一：由点O，G，E共线，设＝λ， 易得＝λ(＋)＝λ＋＝λ＋(－)＝＋. 由点B，G，F共线，设＝μ， 所以－＝μ(－)， 即＝μ＋(1－μ)＝μ＋. 所以＋＝μ＋， 所以即解得 所以＝＋＝a＋b. 方法二：如图，取AE的中点为M，连接FM，又因为F为OA的中点，所以FM∥OE，即GE∥FM.因为BE∶EA＝1∶2，所以BE＝EM，所以BG＝GF，所以＝(＋)＝＝a＋b. 【答案】　(1)A　(2)a＋b 用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示；二是通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． [跟踪训练1] (1)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，以{a，b}为基底，则c可表示为(　　) A．－2a＋3b B．－3a＋2b C．3a－2b D．2a－3b 解析：选C.如图， 以{i，j}为基底，则a＝i＋j，b＝－2i＋3j，c＝7i－3j，设c＝xa＋yb，即7i－3j＝(x－2y)i＋(x＋3y)j.因为i，j不共线，所以有解得 (2)在四边形ABCD中，＝t，且＝λ＋μ，若λ－μ＝，则t＝________． 解析：如图，由＝t可得AB∥DC且AB＝tDC， 易得△ABE∽△CDE， 则有＝，＝， 于是＝＋＝－，又＝λ＋μ， 故得 由λ－μ＝＋＝，解得t＝2. 答案：2 [例2] (对接教材例2)如图所示，在平行四边形ABCD中，点M为AB中点，点N在BD上，且3BN＝BD，记＝a，＝b. (1)以{a，b}为基底表示； (2)求证：M，N，C三点共线． 【解】　(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋b. (2)证明：连接MC(图略)， 因为＝＋＝a＋b， ＝a＋b， 所以＝3，所以∥，且与有公共点M，所以M，N，C三点共线． (1)选择基底的原则一是不共线；二是已知模和夹角，以方便表示出相关向量后运算证明． (2)利用向量共线可以证明线段平行，向量数量积为0可以证明线段垂直，利用模的运算可以证明线段相等等关系问题． [跟踪训练2] 如图，若D是△ABC内的一点，且||2－||2＝||2－||2，用向量的方法证明AD⊥BC. 证明：取BC的中点E，连接AE，DE， 因为||2－||2＝||2－||2， 所以(＋)·(－)＝(＋)·(－)， 所以2·＝2·， 整理得·(＋)＝·＝0， 可得⊥，即AD⊥BC得证． 1．已知是平面内的一个基底，则可以与向量m＝a－b构成平面内另一个基底的向量是(　　) A．0 B．b－a C．a＋b D．2a－2b 解析：选C.易知向量m＝a－b与向量0，b－a，2a－2b平行，不能构成平面内的一个基底，由题意及向量加法的平行四边形法则与向量减法法则可知a－b与a＋b不共线，所以a＋b与m＝a－b可构成平面内的一个基底． 2．(教材P27T3改编)如图，在△ABC中，＝4，则＝(　　) A.＋ B．＋ C．＋ D．＋ 解析：选A.＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 3．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则2x－y＝__________． 解析：由(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2可得解得 所以2x－y＝9. 答案：9 4．如图，在△ABC中，点D与点E分别在边BC和AC上，且BD＝BC，CE＝CA，AD和BE交于点R.求证：RD＝AD，RE＝BE. 证明：因为A，R，D三点共线， 所以存在实数λ，使＝λ， 则＝(1－λ)， 所以＝＋＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)(－) ＝λ＋(1－λ)＝λ＋(1－λ).① 又因为B，R，E三点共线， 所以存在实数μ，使＝μ， 则＝(1－μ)， 所以＝＋＝＋(1－μ)(－)＝(1－μ)＋μ＝(1－μ)＋μ.② 由①②得解得 所以RD＝AD，RE＝BE. 1．已学习：平面向量基本定理及其应用． 2．须贯通：平面内的向量借助几何直观(或性质)均可用基底唯一表示，实质是利用三角形法则、平行四边形法则进行线性运算，同时也体现了化归与转化、数形结合的思想． 3．应注意：基底中的向量必须是不共线的两个向量． 学科网（北京）股份有限公司 $