5 6.2.4 第2课时 向量的数量积(二)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦向量数量积的运算律及应用，通过类比向量加法、数乘运算律引出数量积的交换律、数乘结合律和分配律，进而梳理模、夹角、垂直问题的解决方法，构建从运算律到应用的知识支架。 资料以问题链驱动探究，通过即时练辨析运算律误区培养数学思维，例题结合菱形图形求模体现数学眼光，分层练习兼顾课中教学与课后巩固，帮助学生用数学语言表达向量关系，提升解决实际问题的能力。

第2课时　向量的数量积(二) 新课导入 学习目标 　　在前面，我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？数量积还能解决哪些问题呢？ 1.掌握平面向量数量积的运算律，会利用运算律进行数量积的运算． 2．理解平面向量数量积的性质，能利用数量积解决向量的模与夹角问题． 3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向量的数乘运算满足结合律λ(μa)＝(λμ)a，分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb(λ，μ∈R). 思考　向量的数量积是否满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的分配律？ 提示：向量的数量积满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的分配律． [知识梳理] 1．向量数量积的运算律 已知向量a，b，c和实数λ，则 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 2．向量数量积的常用结论 (1)(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2； (2)a2－b2＝(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； (3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)； (4)a2＋b2＝0⇔a＝b＝0. [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　) (2)对于非零向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c).(　　) (3)对于任意两个非零向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.(　　) (4)·＋·＝·(＋)＝·.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知向量a，b满足|a|＝2，a·b＝1，则a·(a＋2b)＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C.因为|a|＝2，a·b＝1，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝6. 3．若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝________． 解析：由单位向量e1，e2的夹角为60°，得e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝，所以(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－. 答案：－ 数量积运算的两个关键点 (1)求含向量线性运算的数量积：利用向量数量积的运算律转化为直接利用公式求解的问题； (2)涉及含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解． [例1] (1)已知|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则|a－b|＝(　　) A．1 B． C． D．2 (2)已知菱形ABCD的边长为2，·＝2，则||＝________． 【解析】　(1)由已知得a·b＝1×2×cos 60°＝1，所以|a－b|＝＝＝＝. (2)根据题意可得＝＋，＝－， 因为·＝2，即·(＋)＝2＋·＝2，所以·＝－2，||2＝(－)2＝2－2·＋2＝12，即||＝2. 【答案】　(1)C　(2)2 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模的问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [跟踪训练1] (1)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：选C.由题意得，(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－4|a||b|cos 60°＋|b|2＝7，即|b|2－2|b|－3＝0，由|b|>0，解得|b|＝3. (2)已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|3a－b＋2c|＝________． 解析：因为a，b，c是两两垂直的单位向量，所以a2＝1，b2＝1，c2＝1，a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0， 所以|3a－b＋2c|＝ ＝. 答案： 角度1　求两向量的夹角 [例2] 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|2a－b|＝2，求向量a，b的夹角． 【解】　由|2a－b|＝2， 得|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝12， 即4－4×1×2cos 〈a，b〉＋4＝12， 则cos 〈a，b〉＝－， 因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝. 母题探究　本例条件不变，求向量3a＋b与a的夹角的余弦值． 解：(3a＋b)·a＝3a2＋a·b＝3＋1×2×cos ＝3－1＝2， |3a＋b|＝＝＝＝， 所以cos 〈3a＋b，a〉＝＝＝. 求向量夹角的基本步骤 角度2　利用数量积解决向量的垂直问题 [例3] 已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角为.当实数k为何值时，(a＋kb)⊥(a－b). 【解】　由已知得a·b＝|a||b|cos ＝4×8×＝－16， 因为(a＋kb)⊥(a－b)， 所以(a＋kb)·(a－b)＝a2＋(k－1)a·b－kb2＝16－16(k－1)－64k＝0， 即2－5k＝0，解得k＝. 向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是若a，b为非零向量，a⊥b ⇔a·b＝0，利用向量数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题． 提醒　零向量与任意向量垂直． [跟踪训练2] (1)已知向量a，b满足|a|＝2，|a＋b|＝4，且(b－a)⊥b，则|b|＝(　　) A．1 B． C． D．2 解析：选D.由已知|a＋b|＝4，即a2＋b2＋2a·b＝4＋b2＋2a·b＝16，又(b－a)⊥b，则(b－a)·b＝b2－a·b＝0，解得b2＝4，故|b|＝2. (2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，a·b＝－1，则cos 〈a－b，a〉＝________． 解析：由|a|＝1，|b|＝3，a·b＝－1，得(a－b)·a＝a2－a·b＝2，|a－b|＝＝2， cos 〈a－b，a〉＝＝＝. 答案： 1．已知单位向量a，b的夹角为，则a·(2b－a)＝(　　) A．－1 B．－ C．0 D．1 解析：选C.由题知|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|·cos ＝，所以a·(2b－a)＝2a·b－a2＝2×－1＝0. 2．已知向量a与b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，若a⊥(λa－b)，则实数λ＝(　　) A． B．1 C． D．2 解析：选A.因为a·(λa－b)＝λa2－a·b＝4λ－2××cos 30°＝0，所以4λ＝3，解得λ＝. 3．(教材P23T11改编)已知向量a，b满足|a|＝2，|a＋2b|＝|a－b|，则|a＋b|＝________． 解析：由|a＋2b|＝|a－b|，得a2＋4a·b＋4b2＝a2－2a·b＋b2，整理得b2＋2a·b＝0，所以|a＋b|＝＝＝＝2. 答案：2 4．(教材P24T18改编)已知|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－6. (1)求向量a与b的夹角大小； (2)求|a＋2b|. 解：(1)由(a＋b)·(a－2b)＝－6可得a2－a·b－2b2＝|a|2－|a||b|cos 〈a，b〉－2|b|2＝－6， 所以1－1×2cos 〈a，b〉－2×22＝－6， 解得cos 〈a，b〉＝－， 且〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝. (2)|a＋2b|＝ ＝ ＝＝. 1．已学习：向量数量积的运算律、求向量的模和夹角、向量垂直的应用． 2．须贯通：求向量的数量积要灵活应用其运算律；求向量的模时，则要灵活应用模的计算公式；用向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的思想方法． 3．应注意：(a·b)c＝a(b·c)不一定成立． 学科网（北京）股份有限公司 $