4 6.2.4 第1课时 向量的数量积(一)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面向量数量积的核心知识点，在向量线性运算基础上，通过物理“功”的实例引入数量积，系统梳理向量夹角的定义与求法、数量积的概念及性质、投影向量的意义，构建从几何直观到代数运算的学习支架。 资料以“情境导入—概念辨析—例题解析—跟踪训练”为主线，通过物理情境培养数学眼光，结合图形分析与公式推导发展数学思维，用定义法和几何直观强化数学语言表达。课中助力教师突破夹角计算、数量积性质等难点，课后练习题与知识梳理帮助学生巩固概念，查漏补缺。

6．2.4　向量的数量积 第1课时　向量的数量积(一) 新课导入 学习目标 在初中物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角．受此启发，我们引入向量“数量积”的概念． 1.理解平面向量夹角的概念，会求两向量的夹角． 2．理解平面向量数量积的概念，会计算平面向量的数量积． 3．通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 思考　功只与所受力的大小与移动的位移有关，对吗？ 提示：不对，还与力与位移夹角的大小有关． [知识梳理] 1．定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．a，b的夹角记作〈a，b〉． 2．三种特殊情况 a与b的夹角θ a与b的关系 θ＝0 a与b同向 θ＝π a与b反向 θ＝ a与b垂直，记作a⊥b [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)两个向量的夹角的范围是[0，].(　　) (2)若非零向量a，b互相垂直，则它们的夹角为90°.(　　) (3)两个非零向量a，b的夹角为π时，这两个向量是相反向量．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　 2．已知单位向量e1与e2的夹角为，则〈2e1，－3e2〉＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.向量e1与向量2e1方向相同， 向量e2与向量－3e2方向相反，故〈e1，e2〉与〈2e1，－3e2〉互补，即〈2e1，－3e2〉＝. 3．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是________；a－b与a的夹角是________． 解析：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以与的夹角为30°，与的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 答案：30°　60° (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ. 思考　物理学中的功是向量吗？ 提示：不是，是标量． [知识梳理] 1．定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos_θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 2．性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)由|cos θ|≤1还可以得到|a·b|≤|a||b|. (5)cos θ＝. [例1] (1)(对接教材例9)已知向量|a|＝2，|b|＝3，且两向量夹角为，则a·b＝(　　) A．18 B．9 C．9 D．3 (2)如图，△ABC，△BDE都是边长为1的等边三角形，A，B，D三点共线，则·＝________． 【解析】　(1)依题意，a·b＝2×3×cos ＝6×＝9. (2)因为△ABC，△BDE都是边长为1的等边三角形， 所以∠DBE＝∠BDE＝60°，∠ABE＝120°， 在△ABE中，AB＝BE＝1， 所以∠DAE＝30°，∠AED＝90°， 所以||＝， 所以·＝||||cos ∠DAE＝2××＝3. 【答案】　(1)B　 (2)3 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． [跟踪训练1] (1)已知向量b＝－2a，|a|＝3，则a·b＝(　　) A．－6 B．6 C．－18 D．18 解析：选C.因为向量b＝－2a，|a|＝3，所以|b|＝6，且〈a，b〉＝180°，则a·b＝3×6×cos 180°＝－18. (2)在等腰直角三角形ABC中，若C＝90°，AC＝，则·的值为________． 解析：由题意，||＝2，||＝，〈，〉＝135°，所以·＝||||cos 〈，〉＝2××cos 135°＝－2. 答案：－2 思考　如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则线段OD就是线段OA在OB上的投影，试用|OA|和θ表示|OD|. 提示：|OD|＝|OA|cos θ. [知识梳理] 1．定义 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 2．公式 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos_θ_e． [例2] (1)已知向量|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为45°，则b在a上的投影向量为(　　) A．a B．a C．b D．b (2)已知平面向量a，b，|b|＝3，向量a在向量b上的投影向量为－b，则a·b＝________． 【解析】　(1)b在a上的投影向量为|b|cos 〈a，b〉＝2×cos 45°×a＝a. (2)由题得＝b＝－b，则＝－，又|b|＝3，所以a·b＝－. 【答案】　(1)A　 (2)－ 求投影向量的方法 (1)依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量． (2)首先根据题意确定向量a的模，与b同向的单位向量e，及向量a与b的夹角θ，然后依据公式|a|cos θ e计算向量a在向量b上的投影向量． 常用结论　(1)a在b上的投影向量为|a|cos 〈a，b〉＝|a|＝b； (2)b在a上的投影向量为|b|cos 〈a，b〉＝|b|＝a. [跟踪训练2] 已知平面向量a与b满足：a在b上的投影向量为b，b在a上的投影向量为a，且|a|＝2，则|b|＝(　　) A．2 B．3 C．2 D．4 解析：选C.a在b上的投影向量为 |a|＝b，即＝，① b在a上的投影向量为|b|＝a， 即＝，② 由①②得＝，又|a|＝2，所以|b|＝2. 1．在菱形ABCD中，∠ABD＝50°，则向量与的夹角为(　　) A．50° B．130° C．80° D．100° 解析：选C.如图所示，在菱形ABCD中，＝，所以向量与的夹角等于向量与的夹角，所以向量与的夹角为180°－2×50°＝80°. 2．在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝，BC＝3，则·＝(　　) A．3 B． C．－3 D．－ 解析：选D.由题意知，·＝||||·cos (180°－∠ABC)＝×3×＝－. 3．(教材P20T3改编)已知〈a，b〉＝，|a|＝，|b|＝1，则向量a在向量b上的投影向量为________． 解析：因为〈a，b〉＝，|a|＝，|b|＝1，所以向量a在向量b上的投影向量为b＝b＝b. 答案：b 4．(教材P20T1改编)已知|a|＝2，|b|＝4，按下列条件分别求a·b. (1)向量a，b的夹角为120°； (2)a∥b； (3)a⊥b. 解：(1)由|a|＝2，|b|＝4，且向量a，b的夹角为120°， 则a·b＝|a||b|cos 120°＝2×4×＝－4. (2)由a∥b，可知向量a，b的夹角为0°或180°， 则cos 〈a，b〉＝±1， 所以a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝2×4×(±1)＝±8. (3)由a⊥b，可知〈a，b〉＝90°，则a·b＝0. 1．已学习：向量的夹角、向量的数量积、投影向量． 2．须贯通：向量的数量积是一个实数，不是向量；向量a在向量b上的投影向量是一个向量，不是数；二者都离不开向量的夹角，而解决向量的夹角时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法． 3．应注意：(1)用几何法求两个向量的夹角时，两个向量需共起点； (2)向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不同． 学科网（北京）股份有限公司 $