3 6.2.3 向量的数乘运算（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学向量的数乘运算核心知识点，从向量加法引入（如蚂蚁运动实例），系统梳理数乘概念（实数与向量积的定义、长度方向规定）、运算律（结合律、分配律等）及向量共线定理，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以生活实例导入培养数学眼光，通过思考问题引导自主探究数乘几何意义发展数学思维，结合例题用向量语言表达几何关系提升数学语言能力。课中辅助教师引导学生理解，课后即时练、跟踪训练帮助学生查漏补缺，巩固知识。

6．2.3　向量的数乘运算 新课导入 学习目标 一只蚂蚁做匀速直线运动，如果它向东运动1秒的位移对应的向量记为a，那么它向东运动3秒的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学到的向量的数乘运算． 1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义． 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算． 3．理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线的问题． 思考　已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它们的长度和方向与向量a分别具有怎样的关系？ 提示：a＋a＋a的长度是a的长度的3倍，与a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)的长度是a的长度的3倍，与a的方向相反． [知识梳理] 文字表述 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 规定 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反 当λ＝0时，λa＝0 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若λ＝0，则λa＝0.(　　) (2)若λa＝0，则λ＝0且a＝0.(　　) (3)对于非零向量a，向量3a与向量－2a方向相反．(　　) (4)对于非零向量a，－8a的模是4a的模的－2倍.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　) A．a与λ2a的方向相同 B．a与－λa的方向相反 C．|λa|＝λ|a| D．|－λa|＝－λ|a| 解析：选A.因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，故A正确；当λ<0时，a与－λa的方向相同，故B错误；当λ<0时，λ|a|<0，故C错误；当λ>0时，－λ|a|<0，故D错误． 3．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 解析：因为b与a的方向相反，可设a＝λb(λ<0)，所以|a|＝|λ||b|，所以5＝7|λ|，所以λ＝±，又因为λ<0，所以λ＝－. 答案：－ 向量的数乘运算的两个注意点 (1)数乘向量仍是向量． (2)判断两向量的关系时，应注意方向和大小． 思考　实数的乘法满足哪些运算律？ 提示：ab＝ba(交换律)，(ab)c＝a(bc)(结合律)，a(b＋c)＝ab＋ac(分配律). [知识梳理] 1．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b． 角度1　计算与化简 [例1] 化简下列向量运算； (1)4(a＋b)－3(a－b)－8b； (2)3(a－2b＋c)＋4(c－a－b)； (3)[(2a＋8b)－(4a－2b)]. 【解】　(1)4(a＋b)－3(a－b)－8b＝4a＋4b－3a＋3b－8b＝a－b. (2)3(a－2b＋c)＋4(c－a－b)＝3a－6b＋3c－4a－4b＋4c＝－a－10b＋7c. (3)[(2a＋8b)－(4a－2b)]＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b. 向量线性运算的基本方法 (1)向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 角度2　用已知向量表示未知向量 [例2] (对接教材例6)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD且DC＝2AB，E为BC上一点且BE＝2EC，设＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 【解析】　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(＋－)＝＋＋＝＋＋＝＋＝a＋b. 【答案】　C 用已知向量表示未知向量的一般步骤 注意　用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系． [跟踪训练1] (1)若向量a＝－i＋2j＋4k，b＝3i－2j－k，则2a－3b＝(　　) A．11i－2j＋5k B．－11i－2j＋5k C．－11i＋10j＋11k D．11i－10j－11k 解析：选C.因为a＝－i＋2j＋4k，b＝3i－2j－k，所以2a－3b＝2(－i＋2j＋4k)－3(3i－2j－k)＝－11i＋10j＋11k. (2)已知C为线段AB上一点，且AC＝2CB，若O为直线AB外一点，用，表示，则＝________． 解析：如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 答案：＋ 思考　引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 提示：实数与向量的积与原向量共线． [知识梳理] 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 提醒　定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa. 角度1　证明向量共线、三点共线 [例3] (对接教材例7)已知＝2a＋10b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，且a，b不共线，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【解析】　因为＝2a＋10b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，且a，b不共线，所以＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b.因为＝2a＋10b，所以＝2，即与共线且有公共点B，则A，B，D三点共线． 【答案】　B 判断向量共线或三点共线的方法 (1)判断向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一实数λ，使得b＝λa(a≠0). (2)一般来说，要判断A，B，C三点共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． 角度2　利用向量共线求参数 [例4] (1)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点．若＝m＋，则实数m的值为(　　) A． B． C． D． (2)(对接教材例8)已知e1，e2不共线，向量a＝3e1－2e2，b＝ke1＋6e2，且a∥b，则k＝________． 【解析】　(1)由题意可得＝5，则＝m＋×5＝m＋.因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，即m＝. (2)因为a∥b，所以∃λ∈R，使得b＝λa成立，即ke1＋6e2＝3λe1－2λe2. 因为e1，e2不共线，所以解得 【答案】　(1)D　(2)－9 利用向量共线求参数的方法 首先引入参数，利用共线得到两个向量的关系式，再根据已知向量不共线得到对应系数相等，通过解方程组求参数． 常用结论　(1)若O为直线AB外一点，且＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件是x＋y＝1. (2)若a与b不共线，则λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b的充要条件是 [跟踪训练2] (1)若点M满足向量2＝3－，则点M与AB的位置关系是(　　) A．点M为线段AB的中点 B．点M在线段AB的延长线上 C．点M在线段BA的延长线上 D．点M在线段AB上 解析：选C.因为2＝3－， 即2(－)＝－， 可得2＝， 所以点M在线段BA的延长线上． (2)已知e1，e2是平面内不共线的两向量，＝e1－ke2，＝3e1＋4e2，＝4e1＋e2，若A，B，D三点共线，则k＝________． 解析：由＝3e1＋4e2，＝4e1＋e2， 得＝－＝e1－3e2， 由A，B，D三点共线，得∥， 所以∃λ∈R，使得＝λ成立， 即e1－ke2＝λe1－3λe2， 因为e1，e2不共线， 所以 解得 答案：3 1．(教材P16T2改编)已知向量a，b，化简4a＋3b＋2(a－b)＝(　　) A．3a－2b B．2a－4b C．6a＋b D．4a＋b 解析：选C.4a＋3b＋2(a－b)＝4a＋3b＋2a－2b＝6a＋b. 2．(多选)在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，M是CD边上的中点，则可以表示为(　　) A．c－b　B．c＋2b　C．a＋b　D．a－b 解析：选AC.易知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋c，且c＝a＋b，所以a＋c＝a＋(a＋b)＝a＋b；a＋c＝(c－b)＋c＝c－b. 3．(教材P15T2改编)若非零向量＝，且设＝λ，则实数λ＝________． 解析：因为＝，所以＋＝－，所以＝－，所以＝－，因为＝λ，所以λ＝－. 答案：－ 4．设两个非零向量e1，e2不共线，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值． 解：因为＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2. 又因为A，B，D三点共线， 所以存在λ∈R，使＝λ， 所以2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)， 所以解得 所以k＝－8. 1．已学习：向量的数乘及运算律、向量共线定理． 2．须贯通：用已知向量表示未知向量，通过向量的线性运算，借助向量共线定理，解决三点共线及求参数问题，体现了数形结合思想． 3．应注意：利用向量共线定理易忽略零向量这一特殊情况． 学科网（北京）股份有限公司 $