6.2.4 第1课时 平面向量的数量积-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

6.2.4　向量的数量积

第1课时　平面向量的数量积 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]

　　　 [课时目标]

1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.

2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义,会求投影向量.

1.两向量的夹角

(1)定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(a,b的夹角也记作<a,b>).

(2)特殊情况:当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向.

2.两向量垂直

如果a与b的夹角为,我们说a与b垂直,记作a⊥b.

3.平面向量数量积的定义

 

|微|点|助|解|

(1)数量积运算中间是“·”,不能写成“×”,也不能省略不写.

(2)向量的数量积是一个实数,不是向量,它的值可正、可负、可为0.

(3)a·b=0不能推出a和b中至少有一个零向量.

(4)|a|=是求向量的长度的工具.

(5)区分0·a=0与0·a=0.

(6)a·b>0是a与b夹角为锐角的必要不充分条件;a·b<0是a与b夹角为钝角的必要不充分条件.

4.投影向量

(1)定义:如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,作如下变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.

(2)公式:如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则与e,a,θ之间的关系是=|a|cos θe.

5.数量积的性质

设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则

(1)a·e=e·a=|a|cos θ. 

(2)a⊥b⇔a·b=0.

(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=.

(4)|a·b|≤|a||b|.

 

|微|点|助|解|

关于投影向量的注意点

(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.

(2)如果向量a与向量b平行或垂直,向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.

(3)由定义可知,投影是一个过程,而投影向量是一个结果.

 

基础落实训练

1.(多选)在锐角三角形ABC中,下列说法正确的是 (　　)

A.与的夹角是钝角

B.与的夹角是锐角

C.与的夹角是钝角

D.与的夹角是锐角

答案:AB

2.若向量a,b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为30°,则a·b等于 (　　)

A.2 B.2 

C.1+ D.4

解析:选A　a·b=|a||b|cos 30°=2.

3.已知|a|=3,|b|=4,a·b=-6,则向量a与b的夹角为 (　　)

A. B. 

C. D.

解析:选B　设向量a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],因为cos θ===-,所以θ=.

4.已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角为,则a在e上的投影向量是　　　　. 

解析:a在e上的投影向量是|a|cose=4×e=-2e.

答案:-2e