6.2.4 第1课时 平面向量的数量积-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

6.2.4　向量的数量积 第1课时　平面向量的数量积 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　　　 [课时目标] 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义,会求投影向量. 1.两向量的夹角 (1)定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(a,b的夹角也记作<a,b>). (2)特殊情况:当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向. 2.两向量垂直 如果a与b的夹角为,我们说a与b垂直,记作a⊥b. 3.平面向量数量积的定义 定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积) 记法 记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为0 |微|点|助|解| (1)数量积运算中间是“·”,不能写成“×”,也不能省略不写. (2)向量的数量积是一个实数,不是向量,它的值可正、可负、可为0. (3)a·b=0不能推出a和b中至少有一个零向量. (4)|a|=是求向量的长度的工具. (5)区分0·a=0与0·a=0. (6)a·b>0是a与b夹角为锐角的必要不充分条件;a·b<0是a与b夹角为钝角的必要不充分条件. 4.投影向量 (1)定义:如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,作如下变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量. (2)公式:如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则与e,a,θ之间的关系是=|a|cos θe. 5.数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ.  (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=. (4)|a·b|≤|a||b|. |微|点|助|解| 关于投影向量的注意点 (1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量. (2)如果向量a与向量b平行或垂直,向量a在向量b上的投影向量具有特殊性. (3)由定义可知,投影是一个过程,而投影向量是一个结果. 基础落实训练 1.(多选)在锐角三角形ABC中,下列说法正确的是 (　　) A.与的夹角是钝角 B.与的夹角是锐角 C.与的夹角是钝角 D.与的夹角是锐角 答案:AB 2.若向量a,b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为30°,则a·b等于 (　　) A.2 B.2 C.1+ D.4 解析:选A　a·b=|a||b|cos 30°=2. 3.已知|a|=3,|b|=4,a·b=-6,则向量a与b的夹角为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　设向量a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],因为cos θ===-,所以θ=. 4.已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角为,则a在e上的投影向量是　　　　.  解析:a在e上的投影向量是|a|cose=4×e=-2e. 答案:-2e 题型(一)　向量的夹角 [例1]　已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°,则a+b与a的夹角是多少?a-b与a的夹角又是多少? 解:如图所示,作=a,=b,且∠AOB=60°, 以,为邻边作▱OACB,则=a+b,=a-b. 因为|a|=|b|=2,所以▱OACB是菱形. 又∠AOB=60°, 所以与的夹角为30°,与的夹角为60°. 即a+b与a的夹角是30°,a-b与a的夹角是60°. 　　|思|维|建|模| 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合,作两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步骤求出. [针对训练] 1.在△ABC中,AB=,BC=1,AC=2,D是AC的中点,求与的夹角. 解:如图,△ABC中,AB2+BC2=AC2,所以∠ABC=90°.而AB=,BC=1,AC=2,所以A=30°,C=60°.D是AC的中点,则AD=DC=BD,∠ADB=120°,所以与的夹角为120°. 题型(二)　向量的数量积 [例2]　已知正三角形ABC的边长为1,求: (1)·;(2)·;(3)·. 解:(1)∵与的夹角为60°, ∴·=||||cos 60°=1×1×=. (2)∵与的夹角为120°,∴·=||||cos 120°=1×1×=-. (3)∵与的夹角为60°, ∴·=||||cos 60°=1×1×=. 　　|思|维|建|模| 向量数量积的求法 求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键. 　　[针对训练] 2.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则·+·+·的值等于 (　　) A.-7 B.7 C.25 D.-25 解析:选D　由题意知∠ABC=90°,所以原式=0+4×5×cos(180°-C)+5×3×cos(180°-A) =-20cos C-15cos A=-20×-15×=-16-9=-25. 3.已知|a|=4,|b|=5,设a与b的夹角为θ, (1)当a∥b时,a·b=　　　　　;  (2)当a⊥b时,a·b=　　　　　;  (3)当a与b的夹角为30°时,a·b=　　　　　.  解析:(1)当a∥b时,若a与b同向,则θ=0°, a·b=|a||b|cos 0°=4×5×1=20; 若a与b反向,则θ=180°,a·b=|a||b|cos 180°=4×5×(-1)=-20. (2)当a⊥b时,则θ=90°,a·b=|a||b|cos 90°=4×5×0=0. (3)当a与b的夹角为30°时,a·b=|a||b|cos 30°=4×5×=10. 答案:(1)20或-20　(2)0　(3)10 题型(三)　投影向量 [例3]　在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,求: (1)·; (2)在上的投影向量; (3)在上的投影向量. 解:(1)因为||=5,||=4,||=3, 所以+=,即AC⊥BC, 所以cos B==,所以·=||||(-cos B)=5×4×=-16. (2)由(1)知,AC⊥BC,所以cos A==, 所以在上的投影向量为||cos A·=3××=. (3)由(1)知,cos B=,所以在上的投影向量为||(-cos B)·=5××=-. |思|维|建|模|　投影向量的求法 (1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量),它是一个向量,且与b共线,其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定. (2)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ. 　　[针对训练] 4.已知|b|=3,a在b上的投影向量为b,则a·b的值为 (　　) A.3 B. C.2 D. 解析:选B　设a与b的夹角为θ, ∵|a|cos θ=b,∴|a|cos θ=,即|a|cos θ=,∴a·b=|a||b|cos θ=3×=. 5.已知a·b=16,若a在b上的投影向量为4b,则|b|=　　　.  解析:设a,b的夹角为θ, 则a·b=|a||b|·cos θ=16. ① 由a在b上的投影向量为|a|cos θ=4b, 得|a|cos θ=4|b|. ② 由①②得|b|=2. 答案:2 学科网（北京）股份有限公司 $