1 6.2.1 向量的加法运算（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦平面向量的加法运算核心知识点，系统梳理向量加法的定义、三角形法则、平行四边形法则、运算律及模的关系，承接向量基本概念，为后续向量减法、数乘运算奠定基础，构建完整知识支架。 该资料以唐僧取经路线等情境导入，结合运动学位移、力学合力实例，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过法则推导和船航行、物体受力等例题解析发展数学思维，课中辅助教师教学，课后习题助学生巩固，提升应用意识与实践能力。

6．2　平面向量的运算 6．2.1　向量的加法运算 新课导入 学习目标 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，我们就引入了向量的运算． 1.理解并掌握向量加法的概念． 2．了解向量加法的几何意义及运算律，掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算． 3．能用向量加法解决实际问题． 思考1　在运动学中，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ 提示：这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即可以看作是与的和． 思考2　在力学中，某物体同时受到两个力F1，F2的作用，如图所示，你能作出该物体所受的合力吗？ 提示：合力在以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线上，大小等于对角线的长度． [知识梳理] 1．向量加法的定义 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a． 2．向量求和的法则 三角形 法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行四 边形 法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和 3.|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立． [例1] (对接教材例1)(1)如图1所示，求作向量a＋b； (2)如图2所示，求作向量a＋b＋c. 【解】　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图1所示． (2)方法一(三角形法则)：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝a＋b＋c即为所求． 方法二(平行四边形法则)：如图3所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c即为所求． (1)向量的三角形法则中强调“首尾相接”，向量的平行四边形法则中强调的是“共起点”． (2)向量的三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而向量的平行四边形法则仅适用于不共线的两个非零向量求和． (3)当两个非零向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的． [跟踪训练1] (1)在如图所示的坐标纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A. B． C． D． 解析：选B.以OP，OQ为邻边作平行四边形(图略)，可知OF为所作平行四边形的对角线．故由平行四边形法则可知向量即为所求向量． (2)若非零不共线向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则(　　) A.|2a|>|2a＋b| B．|2a|<|2a＋b| C.|2b|>|a＋2b| D．|2b|<|a＋2b| 解析：选C.|a＋2b|＝|a＋b＋b|≤|a＋b|＋|b|＝2|b|.由于a，b是非零不共线向量，故a＋b与b不共线，故等号不成立． 思考　我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？ 提示：在如图1所示的平行四边形ABCD中，＝＝a，＝＝b，则在△ABC中，＝＋＝a＋b，在△ADC中，＝＋＝b＋a，故a＋b＝b＋a，即向量的加法满足交换律． 如图2所示，＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋c，所以在△ADC中，＝＋＝(a＋b)＋c，在△ADB中，＝＋＝a＋(b＋c)，从而(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，即向量的加法满足结合律． [知识梳理] 1．交换律：a＋b＝b＋a． 2．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． [例2] 化简：(1)(＋)＋(＋). (2)＋(＋)＋. 【解】　(1)(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝. (2)＋(＋)＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝. 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，能实现恰当利用向量加法运算法则的目的． (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． [跟踪训练2] 如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)＋＋＝__________； (2)＋＋＝__________； (3)＋＋＝__________． 解析：(1)＋＋＝＋＝. (2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (3)因为D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，所以＝，则＋＋＝＋＋＝＋＝. 答案：(1)　(2)　(3) [例3] (对接教材例2)已知在静水中船的速度大小为20 m/min，水流的速度大小为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 【解】　作出图形，如图．设船速v船的方向与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件可知，四边形ABCD为平行四边形，在Rt△ACD中， ||＝||＝|v水|＝10 m/min， ||＝|v船|＝20 m/min， 所以cos α＝＝＝， 又0°<α<90°， 所以α＝60°， 从而船速的方向与水流方向成120°角． 故船行进的方向是与水流方向成120°角的方向． 母题探究1　若本例条件不变，求经过3 h，该船的实际航程是多少千米． 解：由本例解析图可知||＝||＝×20＝10(m/min)＝(km/h)，则经过3 h，该船的实际航程是3×＝(km). 母题探究2　若本例改为若船沿垂直于水流的方向航行，其他条件不变，求船实际行进的方向与水流方向的夹角的正切值． 解：如图所示，||＝||＝ |v船|＝20 m/min，　 ||＝|v水|＝10 m/min， 则tan ∠BAC＝2. 所以船实际行进的方向与水流方向的夹角的正切值为2. 应用向量加法解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将需要解决的实际问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合共线向量、相等向量等概念回答原问题． [跟踪训练3] 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平方向夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝10 N，则物体的重力大小为________N． 解析：一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力|G|＝|F1＋F2|， 因为F1，F2与水平方向夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝10 N， 由向量加法的平行四边形法则可知F1＋F2的方向是竖直向上的，且|F1＋F2|＝2|F1|sin 45°＝2×10×＝10(N)，所以物体的重力大小为10 N． 答案：10 1．(教材P22T4(1)改编)＋＋＝(　　) A. B． C. D． 解析：选B.＋＋＝＋＋＝＋＝. 2．如图，在矩形ABCD中，O为对角线的交点，则＋＋＝(　　) A. B． C. D． 解析：选B.在矩形ABCD中，＋＋＝＋＝. 3．(教材P22习题6.2T1改编)若向量a表示向东走1 km，b表示向南走1 km，则向量a＋b表示________________________． 解析：由题意知向量a＋b表示方向为东南方向，大小为的向量，即a＋b表示向东南方向走 km. 答案：向东南方向走 km 4．甲、乙、丙、丁四个机器人按下列路线组织传球：机器人甲按北偏东30°的方向将球传2 m给机器人乙，然后机器人乙按南偏东30°的方向将球传2 m给机器人丙，机器人丙再按西南方向传 m给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并求此向量的模． 解：根据题意画出示意图如图，用A，B，C，D分别表示甲、乙、丙、丁四个机器人的位置，则球的位移为＋＋＝，故球 的最终位移为，依题意知△ABC为正三角形，故||＝||＝||＝2 m．又因为∠ACD＝45°，CD＝m，所以∠ADC＝90°，所以△ACD为等腰直角三角形，所以||＝ m． 1．已学习：向量加法的三角形法则、平行四边形法则、加法运算律． 2．须贯通：三角形法则和平行四边形法则都可用于求向量的和，体现了数形结合的思想方法． 3．应注意：(1)三角形法则需要向量首尾相接； (2)平行四边形法则需要向量共起点． 学科网（北京）股份有限公司 $