6.2.2 向量的减法运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

6.2.2　向量的减法运算 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　[课时目标] 1.借助实例和平面向量的几何表示,理解相反向量和向量减法的概念. 2.理解平面向量减法的几何意义,掌握向量减法的三角形法则. 3.利用相反向量的概念,理解减法运算是加法运算的逆运算. 1.相反向量 定义 与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a 性质 -(-a)=a 零向量的相反向量仍是零向量 a+(-a)=(-a)+a=0 如果a,b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0 |微|点|助|解| 对于相反向量的两点说明 (1)相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两方面进行定义,相反向量必为平行向量. (2)避免一个误区:即将相反向量等同于方向相反的向量,而是方向相反且模相等的向量. 2.向量的减法运算及其几何意义 定义 求两个向量差的运算叫做向量的减法,a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 作法 在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量a-b=,如图所示 几何 意义 如果把两个向量a,b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 |微|点|助|解| (1)对于向量减法的三点说明 ①向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-=,就可以把减法转化为加法. ②两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点. ③向量减法满足三角形法则,在用三角形法则作向量减法时,要注意“共起点,连终点,指向被减”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆. (2)向量加法和减法几何意义的联系 ①如图,在平行四边形ABCD中,若=a,=b,则=a+b,=a-b. ②类比||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,可知||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两个相等向量之差等于0. (　　) (2)两个相反向量之差等于0. (　　) (3)两个向量的差仍是一个向量. (　　) (4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2.若非零向量m与n是相反向量,则下列结论不正确的是 (　　) A.m=n B.m=-n C.|m|=|n| D.方向相反 答案:A 3.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是 (　　) A.-=0 B.-= C.-= D.+=0 答案:C 题型(一)　向量减法及其几何意义 [例1]　如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c. 解:法一:如图①, 在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c. 法二:如图②,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c. 　　[变式拓展] 　若本例条件不变,求作向量a-b-c. 解:如图,在平面内任取一点O, 作=a,=b, 则=a-b. 再作=c,则=a-b-c. 　　|思|维|建|模| 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量. (2)转化为向量的加法来进行运算,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可. 　　[针对训练] 1.如图,O为△ABC内一点,=a,=b,=c.求作向量b+c-a. 解:法一:如图,以,为邻边作▱OBDC,连接OD,AD, 则=+=b+c, =-=b+c-a. 法二:如图,作==b, 连接AD, 则=-=c-a, =+=c-a+b=b+c-a. 题型(二)　向量的减法运算 [例2]　化简:(1)+--; (2)(-)-(-). 解:(1)+--=(-)+(-)=+=. (2)法一:(统一成加法) (-)-(-)=--+=+++=(+)+(+)=+=0. 法二:(利用减法) (-)-(-)=--+=(-)-+=-+=+=0. 　　|思|维|建|模| 向量减法运算的常用方法 (1)可以通过相反向量,把向量减法的运算转化为加法运算. (2)运用向量减法的三角形法则,此时要注意两个向量要有共同的起点. (3)引入点O,逆用向量减法的三角形法则,将各向量起点统一. 　　[针对训练] 2.化简:(1)--++; (2)(++)-(--). 解:(1)--++=++++=+=. (2)(++)-(--)=++-++=(+)+(-)+(+)=++0=0. 3.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,试用a,b,c表示. 解:法一:=+=a+=a+(-)=a+c-b. 法二:=+++=++(+)=++0=+(+)=a+(-b+c)=a-b+c. 题型(三)　向量加减法的应用 [例3]　已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,求|a+b|的值. 解:如图所示,设=a,=b,则=a-b.以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则=a+b.由于(+1)2+(-1)2=42,故||2+||2=.所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形,从而OA⊥OB.所以▱OACB为矩形.根据矩形的对角线相等有||=||=4,即|a+b|=4. 　　|思|维|建|模| (1)解决向量加减法的应用问题要充分利用平面几何知识,灵活运用平行四边形法则和三角形法则. (2)平行四边形中有关向量的以下结论,在解题中可以直接使用:①对角线的平方和等于四边的平方和,即|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2);②若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形. 　　[针对训练] 4.设点M是线段BC的中点,点A在线段BC外,||=4,|+|=|-|,则||= (　　) A.8 B.4 C.2 D.1 解析:选C　以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,则由向量加、减法的几何意义可知=+,=-. 因为|+|=|-|, 所以||=||. 又四边形ACDB为平行四边形, 所以四边形ACDB为矩形,故AC⊥AB. 则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线, 因此||=||=2. 5.已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,求的值. 解:设=a,=b, 则=-=a-b. ∵|a|=|b|=|a-b|, ∴BA=OA=OB.∴△OAB为正三角形. 设其边长为1,则|a-b|=||=1, |a+b|=2×=.∴==. 学科网（北京）股份有限公司 $