精品解析：2026年山东省济南市莱芜区初中学业水平阶段性质量监测一数学试题

秘密★启用前 2026年初中学业水平阶段性质量监测一 数学试题 注意事项： 1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答，直接在试题上作答无效． 4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ∴倒数是 ． 2. 如图1是用5个相同正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（ ） A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的定义及其分布情况作图可得． 【详解】解：图1正方体个数： 主视图依次为2、1、1，俯视图依次为2、1、1，左视图依次为2、1， 图2正方体个数： 主视图依次为1、1、2，俯视图依次为1、1、2，左视图依次为2、1， 则三视图中没有发生变化的是左视图． 3. 2025年我国快递业务量将达到约亿件，稳居世界第一．请将亿用科学记数法表示为：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，科学记数法的表示形式，确定n值的方法：当a的绝对值大于等于10时，小数点向左移动位数即为n的值；当a的绝对值小于1时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：亿， 故选：B ． 4. 如图，，的角平分线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得到，结合角平分线的定义可得，再根据平行线的性质计算即可； 【详解】，， ， 平分， ， ， ． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，原计算错误； B．不是同类项，不能合并，原计算错误； C．，原计算错误； D．，原计算正确． 6. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一分析判定即可，注意：不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．∵，∴，该选项正确，不符合题意； B． ∵，∴，该选项正确，不符合题意； C． ∵，∴，∴，该选项正确，不符合题意； D．若，则，该选项错误，符合题意． 7. 若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的可能取值，再根据方程有两个实根要求判别式非负，筛选出符合条件的的值即可． 【详解】解：设方程两根为，， ∵方程两根互为相反数， ∴， 对于一元二次方程，由根与系数的关系得：， ∴， 解得：，即， ∵要使方程有两个实根， ∴判别式，即， 代入得：， ∴，即， ∵，， ∴． 8. 在一个口袋中，有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4从中随机摸出两个小球，则一次摸出的两个小球的标号之积为奇数的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数和“一次摸出的两个小球的标号之积为奇数”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字积为奇数的结果有2种，分别是， 所以“一次摸出的两个小球的标号之积为奇数”的概率． 故选：D． 9. 如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交，于点E，F，连接和，若，，以下4个结论正确的个数是（ ） ①， ②四边形是菱形， ③， ④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设交于点，根据矩形的性质得到，，求得，根据线段垂直平分线的性质得到，，，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是菱形，即可判断②；在中，利用勾股定理可得，从而得到，即可求出进而判断①；解直角三角形得到，即可判断③；然后菱形面积求出，即可判断④． 【详解】解：设交于点 四边形是矩形， ，， ， 由作法得：是的垂直平分线， ，，，， ， ， ， 四边形是菱形，故②正确； 在中，， ∴，故①错误； ∴， ∴ ∴，故③正确； ∴， 是的垂直平分线， ∵ ∴ ∴，故④正确． 综上所述，正确的个数是3． 10. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点P为“大美点”．例如点，，，…，都是“大美点”．若二次函数的图象上只有三个“大美点”，其中一个“大美点”是，当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入可得，再由的图象上只有三个“大美点”可得对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根，可求得、，进而可求的取值范围． 【详解】解：一个“大美点”是， ， ， 的图象上只有三个“大美点”， 对应的或这两个一元二次方程必有一个有两个相等的实数根， 当时，有， ， 化简得：， ，此方程无解， 当时，有， ， 化简得：， ， ， ， 原二次函数为， ， ， 当时，二次函数有最大值为， 当时，， 关于抛物线的对称轴直线的对称点为， 当时，函数的最小值为，最大值为， 的取值范围为：． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 已知一个正六边形的边长为4，则其面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出的度数及的长，再由的面积即可求解． 【详解】解：如图，连接，作交于G， ∵此多边形为正六边形， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 12. 不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有8个白球，则袋中红球有_________个． 【答案】12 【解析】 【分析】根据概率公式求出小球的总数量，即可求解． 【详解】解：袋中红、白两种颜色的小球的总数量为个， ∴袋中红球有个． 13. 甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往处的B地，甲、乙两人离A地的距离与时间之间的关系如下图所示，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图像先求出乙的速度，得到乙后距离A地，即可求出甲的速度，即可求解． 【详解】解：由图可知：乙的速度是：， 即：乙后距离A地， ∴甲的速度是：， ∴， ∴． 14. 如图，将⊙O沿弦折叠，恰经过圆O，若，则阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，交劣弧于点，由题意易得，则有，然后根据特殊三角函数值及扇形面积公式可进行求解阴影部分的面积． 【详解】解：过点作于点，交劣弧于点，如图所示： 由题意可得：， ∴， ， ， ∴弓形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 故答案为：． 15. 如图，折叠边长为的正方形纸片，折痕是，点A落在点F处，分别延长交于点G，H，若点E是边的中点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，连接，设，由勾股定理得，从而求出x的值，得出，再证明，利用相似三角形对应边成比例可求出即可． 【详解】解：连接如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E为的中点， ∴ 由折叠得， ∴， 设 ∵， ∴ 在中，， ∵ ∴， ∴， 在中， ∴ 解得（舍去） ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 即 解得． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】原式分别计算负整数指数幂、特殊角三角函数值、绝对值、零次幂以及算术平方根，再进行加减运算即可． 【详解】解： ， ． 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，3、4 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是：， 它的整数解为：3、4． 18. 如图，在中，点E，F分别在和上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ． 19. 如图1所示，摩天轮正缓缓转动．图2为其简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是垂直于地面的摩天轮直径．小丽打算运用数学知识实地测量该摩天轮的直径，她在观景台点A处测得摩天轮顶端M的仰角α为，随后沿着坡度的斜坡行走了26米到达地面B点，接着沿水平方向向左行走约60米，抵达摩天轮最低点N的正下方点C处．经测量，约为8米． （1）求观景台到地面的高度； （2）求摩天轮的直径．（参考数据：，，，结果精确到1米） 【答案】（1）观景台高度为10米 （2）摩天轮直径为111米 【解析】 【分析】（1）过A作于H，则，根据坡比是，得出，即可求解； （2）过A作于D，则四边形是矩形，解直角三角形求出，从而得，在中，解直角三角形求出，，即可解答． 【小问1详解】 解：过A作于H，则， 的坡比是， ， 设， ∴， ∴， （米）， 答：观景台高度为10米； 【小问2详解】 解：过A作于D， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， ， （米）， 答：摩天轮直径为111米． 20. 如图，中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角得到，，进而得，得，结合得，进而证明是的切线； （2）连接，根据圆周角定理得，得，在中，计算，在中，根据计算的长． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， ，即， ． 21. 在第十四届全国人大会议上，教育部长怀进鹏说：“身上出汗，让学生动起来”，为深入落实教育部“身上出汗，让学生动起来”的体育要求，全面提升学生体质健康水平，某校随机抽取了部分学生，调查他们每周日参加体育锻炼的时长（单位：），将结果分为A、B、C、D四个等级，并整理出如下不完整的统计图表，其中B等级的时长数据如下：75，80，75，65，70，85，65，60，75，75． 等级 时长分组 人数 A 18 B b C c D 7 请根据以上信息，解答下列问题： （1）统计表中的_________，_________； （2）统计图中C组对应扇形的圆心角为_________度； （3）B等级时长数据的众数是_________；调查的这部分学生体育活动时间的中位数是_________； （4）若该校共有2000名学生，估计每周日体育活动时间不少于的人数． 【答案】（1）10，20 （2）108 （3）75，67.5 （4）每周日体育活动时间不少于的人数有1120人 【解析】 【分析】（1）由统计图表可用D级的人数除以占调查人数的百分比，求出调查总人数，可求出m的值； （2）求出C组人数，即可得出C组对应扇形的圆心角度数； （3）根据众数与中位数的定义求解； （4）用2000乘以每天体育活动时间不少于的人数所占总数的比值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：B级人数为10，即； 调查总人数为（人）， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， 所以，统计图中C组对应扇形的圆心角为108度； 【小问3详解】 解：B等级时长数据中75出现次数最多，故众数为75； 数据按从小到大排列第25、26个数据是65，70， 故中位数为； 【小问4详解】 解：每周日体育活动时间不少于的人数为（人） 22. 为响应“绿色出行”号召，某社区计划采购共享单车和共享电动车两种代步工具，已知共享电动车的单价比共享单车贵200元，用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同． （1）求共享单车和共享电动车的单价各是多少元？ （2）该社区计划采购两种代步工具共30辆，且共享单车的采购数量不大于共享电动车采购数量的2倍，请问采购多少辆共享单车时，总费用最少？最少总费用是多少元？ 【答案】（1）共享单车单价500元，共享电动车单价700元 （2）采购20辆共享单车时总费用最少，最少费用17000元 【解析】 【分析】（1）设共享单车单价为x元，则共享电动车单价为元，根据“用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同．”列出方程，即可求解； （2）设采购共享单车m辆，总费用w元，则采购共享电动车辆，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设共享单车单价为x元，则共享电动车单价为元， 由题意得： 解得， 经检验，是原分式方程的解， 共享电动车单价：（元）， 答：共享单车单价500元，共享电动车单价700元． 【小问2详解】 解：设采购共享单车m辆，总费用w元，则采购共享电动车辆， ， 又， ， ， w随m的增大而减小， 当时，w取得最小值， （元）， 答：采购20辆共享单车时总费用最少，最少费用17000元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点C为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点C作x轴垂线，交一次函数图象于点D，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点C的坐标； （3）点P为反比例函数图象上一点，点Q是坐标系内一点，当四边形为矩形时，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数表达式得到，将代入求出点B的坐标，将点B的坐标代入反比例函数表达式计算即可； （2）设点D的坐标为，则点，根据等腰三角形的性质得到，求解即可； （3）设，根据矩形的性质和勾股定理得到，求出，根据矩形的性质得到，，根据平移规律作答即可． 【小问1详解】 解：将点代入一次函数表达式得：， 解得：， 即一次函数的表达式为：， 将代入，得， 点B的坐标为， 将点B的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数表达式为：； 【小问2详解】 解：设点D的坐标为，则点， 若是以为底边的等腰三角形，则点B在的中垂线上， 则， 解得：（舍去），， 点C的坐标为：； 【小问3详解】 解：设， 四边形为矩形， ， ∴， 即 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 解得（舍去），， ∴， ∴， 四边形是矩形， ∴，， 即B到A的平移方式和P到Q的平移方式相同， ∵，， ∴B到A的平移方式为向左4个单位，再向下8个单位， ∵， ∴． 24. 抛物线的顶点坐标为，且过点． （1）求抛物线的表达式及其与x轴的交点B、C坐标； （2）如图1，把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围； （3）如图2，点P为直线下方抛物线上一点，轴于点D，与交于点E，连接，求的最大值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为，代入即可求解，再令求解抛物线与轴交点坐标； （2）先得到平移后直线解析式为，由，得：，则根据题意可得，解得，再将代入求解，即可求解n的取值范围； （3）过点C作，过点P作，垂足分别为G、F，则，则，，那么，可求，设，，则，再利用二次函数的性质求解最值即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， 将代入，得：， 解得：， 抛物线的表达式为：， 即：， 令得：， ，解得：，， ，； 【小问2详解】 解：直线向下平移n个单位长度， 平移后直线解析式为， 由，得：， 直线与抛物线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 又当时，， 解得，， 直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上， n的取值范围为； 【小问3详解】 解：过点C作，过点P作，垂足分别为G、F，， ∵点， ∴可得为等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∴在中，， ， 设， 将，代入得， ，解得：， ∴ 设，， ， ∴， ， 的最大值是． 25. 在中，，点D是边上一个动点，连接． （1）【问题发现】 如图1，将绕点C逆时针旋转得到，连接，，若，则与的数量关系是_________，_________度； （2）【类比迁移】 如图2，将绕点C逆时针旋转得到，点E在上，且，若，，则与的数量关系是_________，_________度．请证明你的结论： （3）【拓展应用】 如图3，在（2）的条件下，当点D在直线上移动时，其他条件不变，取线段的中点F，连接，，当是直角三角形时，求线段的长． 【答案】（1）， （2）， （3）的长为或 【解析】 【分析】本题是一道几何变换综合题，以直角三角形为背景，结合旋转、相似三角形、直角三角形性质和分类讨论思想，层层递进考查图形的全等/相似、角度与线段关系，以及动点问题的多情况求解． （1）由旋转得：，；结合，可得；结合，可证，因此，；在中，，因此，即； （2）先计算比例：，由题，因此;结合（同角的余角相等），可证（两边成比例且夹角相等）;由相似得：，；再由，推出； （3）由，点F是的中点，得；由（2）中，得，因此;结合是直角三角形，可得为等腰直角三角形，因此，进而得;分两种情况讨论点的位置：当在线段上时：，在中用勾股定理列方程求解；当在延长线上时：，同理列方程求解，最终得到的两个解． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知：,, 又， ， 即, 在和中： , ∴，， 在中，，， ， ； 综上，与的数量关系是，； 故答案为：，； 【小问2详解】 ，； 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，即：， ，； 【小问3详解】 由（2）知，点F是的中点， ， ， ， ， 直角三角形， ，， ， ， 设，则， ，，， ， ①如图，当点D在线段上时， ， ， ， ， ，（舍去）， ②如图，当点D在的延长线上时， ， ， ， ， ， ，舍去）， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 2026年初中学业水平阶段性质量监测一 数学试题 注意事项： 1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答，直接在试题上作答无效． 4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（ ） A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 主视图和左视图 3. 2025年我国快递业务量将达到约亿件，稳居世界第一．请将亿用科学记数法表示为：（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，的角平分线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 在一个口袋中，有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4从中随机摸出两个小球，则一次摸出的两个小球的标号之积为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交，于点E，F，连接和，若，，以下4个结论正确的个数是（ ） ①， ②四边形是菱形， ③， ④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点P为“大美点”．例如点，，，…，都是“大美点”．若二次函数的图象上只有三个“大美点”，其中一个“大美点”是，当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 已知一个正六边形的边长为4，则其面积为_________． 12. 不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有8个白球，则袋中红球有_________个． 13. 甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往处的B地，甲、乙两人离A地的距离与时间之间的关系如下图所示，则_________． 14. 如图，将⊙O沿弦折叠，恰经过圆O，若，则阴影部分的面积为_________． 15. 如图，折叠边长为的正方形纸片，折痕是，点A落在点F处，分别延长交于点G，H，若点E是边的中点，则_________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 18. 如图，在中，点E，F分别在和上，且．求证：． 19. 如图1所示，摩天轮正缓缓转动．图2为其简化示意图，点O是摩天轮圆心，是垂直于地面的摩天轮直径．小丽打算运用数学知识实地测量该摩天轮的直径，她在观景台点A处测得摩天轮顶端M的仰角α为，随后沿着坡度的斜坡行走了26米到达地面B点，接着沿水平方向向左行走约60米，抵达摩天轮最低点N的正下方点C处．经测量，约为8米． （1）求观景台到地面的高度； （2）求摩天轮的直径．（参考数据：，，，结果精确到1米） 20. 如图，中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 在第十四届全国人大会议上，教育部长怀进鹏说：“身上出汗，让学生动起来”，为深入落实教育部“身上出汗，让学生动起来”的体育要求，全面提升学生体质健康水平，某校随机抽取了部分学生，调查他们每周日参加体育锻炼的时长（单位：），将结果分为A、B、C、D四个等级，并整理出如下不完整的统计图表，其中B等级的时长数据如下：75，80，75，65，70，85，65，60，75，75． 等级 时长分组 人数 A 18 B b C c D 7 请根据以上信息，解答下列问题： （1）统计表中的_________，_________； （2）统计图中C组对应扇形的圆心角为_________度； （3）B等级时长数据的众数是_________；调查的这部分学生体育活动时间的中位数是_________； （4）若该校共有2000名学生，估计每周日体育活动时间不少于的人数． 22. 为响应“绿色出行”号召，某社区计划采购共享单车和共享电动车两种代步工具，已知共享电动车的单价比共享单车贵200元，用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同． （1）求共享单车和共享电动车的单价各是多少元？ （2）该社区计划采购两种代步工具共30辆，且共享单车的采购数量不大于共享电动车采购数量的2倍，请问采购多少辆共享单车时，总费用最少？最少总费用是多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求反比例函数表达式； （2）点C为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点C作x轴垂线，交一次函数图象于点D，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点C的坐标； （3）点P为反比例函数图象上一点，点Q是坐标系内一点，当四边形为矩形时，求点Q的坐标． 24. 抛物线的顶点坐标为，且过点． （1）求抛物线的表达式及其与x轴的交点B、C坐标； （2）如图1，把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围； （3）如图2，点P为直线下方抛物线上一点，轴于点D，与交于点E，连接，求最大值． 25. 在中，，点D是边上的一个动点，连接． （1）【问题发现】 如图1，将绕点C逆时针旋转得到，连接，，若，则与的数量关系是_________，_________度； （2）【类比迁移】 如图2，将绕点C逆时针旋转得到，点E在上，且，若，，则与的数量关系是_________，_________度．请证明你的结论： （3）【拓展应用】 如图3，在（2）的条件下，当点D在直线上移动时，其他条件不变，取线段的中点F，连接，，当是直角三角形时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $