精品解析：2025年山东省济南市莱芜区中考阶段性诊断（一）数学试题

2025年初中学业水平阶段性诊断测试一数学试题 注意事项： 1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（　　） A. 左视图 B. 主视图和俯视图 C. 左视图和俯视图 D. 主视图和左视图 3. 根据国家统计局2025年1月17日发布的数据，2024年中国人口数据如下：人口总量（年末全国人口）1408280000人．该数据用科学记数法表示为（保留3个有效数字）（　　） A. B. C. D. 4. 若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 如图，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图是某市5月1日至5月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最小的一天是（　　） A. 5月7日 B. 5月6日 C. 5月3日 D. 5月1日 7. 关于的方程的两根互为相反数，则的值为（　　） A. B. C. D. 0 8. 为迎接2025年理化生实验操作考试，某校成立了物理、化学、生物实验兴趣小组，要求每名学生从物理、化学、生物三个兴趣小组中随机选取一个参加，则小华和小强都选取物理小组的概率是（　　） A B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、两点，作直线与交于点，如果点为线段上一动点，当取最小值时，（　　） A B. 1 C. D. 10. 如图①，菱形的对角线与相交于点两点同时从点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点的运动路线为，点的运动路线为．设运动的时间为秒，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图②所示．有以下四个结论： ①；②；③当点在段上运动，点在段上运动时，不断增大；④当点在段上运动且两点间的距离最短时，两点的运动路程之和为．其中正确结论有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是___________． 12. 如图所示，在中，，，，点在斜边上，且四边形为正方形，现有一小球在三角形区域运动，则落在阴影部分区域内的概率为___________． 13. 如图，是等腰三角形，，顶点在上，顶点在上，当，时 ___________度． 14. 如图，以为直径的半圆，绕点顺时针旋转，点的对应点为点，交半圆于点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 15. 如图，中，，且，将对折，使点和点重合，求折痕的长为___________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16 计算：． 17. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 18. 如图，在菱形中，点在上，点在上，且，连接，求证：． 19. 国家为了节约碳资源，开发了风电项目．莱芜某电力部门在一处坡角为的坡地安装了几架风力发电机，如图1，在风力发电机组中，“风电塔筒”的高度是一个重要的设计参数．于是某数学兴趣小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动，图2为测量示意图．已知斜坡长20米，在地面点处测得风力发电机塔筒顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方62米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔筒的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 20. 如图，内接于为直径，交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 21. 新学期伊始，为了更好的了解学情，老师对本校九年级学生寒假数学预习情况进行了测试，采取随机抽测（满分100分），并将测试成绩进行了收集整理．以下是部分数据和不完整的统计图表，其中成绩为C等级的如下：79，72，73，71，72，75，76． 成绩等级 竞赛成绩组 频数 A B 8 C 7 D E 10 请根据表中的信息完成以下几个问题： （1）___________，___________，___________； （2）请写出C等级成绩中的中位数为___________，众数为___________； （3）请补全频数分布直方图； （4）本校九年级共有800人，根据调查结果，请你估计该学校学生中成绩为D等级及以上人数是多少？ 22. 茂业天地商场从一厂家购买印有巴黎奥运会标志的T恤和奥运会吉祥物，已知购进10件恤和5个奥运会吉祥物共需250元；购进15件恤和10个奥运会吉祥物共需425元． （1）求购进一件恤和一个奥运会吉祥物各需多少元？ （2）若商场决定购买T恤和奥运会吉祥物共60个，总费用不低于988元且不高于1000元，则共有几种购买方案？哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 23. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点右侧），与轴交于点．若线段的长满足，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线为“黄金”抛物线，其与轴交点为（其中在的左侧），与轴交于点，且．连接，若为上方抛物线上的动点，横坐标为，过点作轴的垂线交于点，交轴于点，过点作，垂足为． （1）求抛物线的解析式； （2）将直线沿轴向上平移个单位后，与抛物线只有一个公共点，求的值； （3）设的周长为的周长为，若，求的值． 25. 【问题发现】 某数学兴趣小组的同学们将两块大小不一的顶角为的等腰三角形纸片叠放在一起，使得其中的一个顶点重合，然后绕着这个顶点转动其中的一个三角形，可以得到如图1，图2的两种情况，据此得到如图3，图4的两个图形． 小颖发现，图3中存在全等三角形，图4中存在相似三角形． （1）请你直接写出小颖发现的图3中___________，图4中___________； 【类比迁移】 小刚发现，图3中的两个全等三角形可以看作是将一个三角形绕点逆时针旋转得到的．随即，小刚在图5中也进行了类似的操作．如图5，在中，，，点，点在边上，．小刚发现线段，，之间的数量关系：． （2）请你先进行小刚的操作，再求证：； 【拓展应用】 （3）如图6，在中，，，点，点在边上，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中学业水平阶段性诊断测试一数学试题 注意事项： 1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的概念求解即可． 【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2． 故选：A． 2. 如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（　　） A. 左视图 B. 主视图和俯视图 C. 左视图和俯视图 D. 主视图和左视图 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案． 【详解】解：图1主视图第一层三个正方形，第二层左边一个正方形；图2主视图第一层三个正方形，第二层右边一个正方形；故主视图发生变化； 左视图都是第一层两个正方形，第二层左边一个正方形，故左视图不变； 俯视图从前往后数，都是前排左边是一个正方形，后排是三个正方形，故俯视图不变． ∴不改变的是左视图和俯视图． 故选：C． 3. 根据国家统计局2025年1月17日发布的数据，2024年中国人口数据如下：人口总量（年末全国人口）1408280000人．该数据用科学记数法表示为（保留3个有效数字）（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定的值以及的值是本题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此可得出结果． 【详解】解：1408280000， 故选：C． 4. 若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是多边的外角和，多边形的对角线及正多边形的概念和性质．正多边形的每个外角都相等．n边形的对角线条数为条，据此根据多边形外角和定理求出边数即可得到答案． 【详解】解：每个外角都是， 这个多边形的边数为：， 这个正多边形的对角线是条． 故选：B． 5. 如图，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， 故选：C． 6. 如图是某市5月1日至5月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最小的一天是（　　） A. 5月7日 B. 5月6日 C. 5月3日 D. 5月1日 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图和有理数的减法运算，解题的关键是读懂折线统计图． 将每天的温差计算出来对比即可得出最小温差的一天． 【详解】解：5月1日温差为； 5月2日温差为 5月3日温差为 5月4日温差为 5月5日温差为 5月6日温差为 5月7日温差为 所以温差最小是10,， 故选：B． 7. 关于的方程的两根互为相反数，则的值为（　　） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、相反数的定义、一元二次方程的根的判别式．根据一元二次方程根与系数的关系及相反数的概念得出关于k的二次方程，求得k的值，然后再用一元二次方程的根的判别式进行检验适合题意的k值． 【详解】解：设原方程的两根为，则； 由题意，得； ∴，； 又∵， ∴当时，，原方程无实根； 当时，，原方程有实根． ∴． 故选：B． 8. 为迎接2025年理化生实验操作考试，某校成立了物理、化学、生物实验兴趣小组，要求每名学生从物理、化学、生物三个兴趣小组中随机选取一个参加，则小华和小强都选取物理小组的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的简单计算，掌握概率计算公式是解题的关键． 直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案． 【详解】解：如图所示， 一共有9种可能，符合要求的有1种， 小华和小强都选取物理小组的概率是， 故选：A． 9. 如图，在菱形中，，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、两点，作直线与交于点，如果点为线段上一动点，当取最小值时，（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出垂直平分，连接，则，得出当三点共线时，最小，最小值为，连接交于点，证明是等边三角形，求出，即可求出，根据等边三角形的性质和尺规作图得出此时，即可求出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴垂直平分， 连接， 则， ∴， 如图，当三点共线时，最小，即最小，最小值为， 连接交于点， ∵在菱形中，， ∴，， ∴是等边三角形，， 根据题意可得垂直平分， ∴点是中点，， ∴，即， ∴， 故选：C． 【点睛】该题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定的最小值． 10. 如图①，菱形的对角线与相交于点两点同时从点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点的运动路线为，点的运动路线为．设运动的时间为秒，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图②所示．有以下四个结论： ①；②；③当点在段上运动，点在段上运动时，不断增大；④当点在段上运动且两点间的距离最短时，两点的运动路程之和为．其中正确结论有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、解直角三角形以及菱形的基本性质．当点运动到点，点运动到点，结合图象，可得此时，当点在上时，在上，距离最短时，连线过点且垂直于，此时，两点运动路程之和，求出的长，即可得出答案． 【详解】解：由图分析可得： 当点从运动时，点从运动时，不断增大，③正确； 当点运动到点，点运动到点时，由图象知此时， ，①正确； 四边形为菱形， ，， 当点运动到点，点运动到点，结合图象，可得此时， ， 在中，， ，②正确； 当点在上时，在上，距离最短时，连线过点且垂直于，此时，两点运动路程之和， ， ，④正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式成立的条件及二次根式有意义的条件，注意分母不能为0，被开方数不能为负数．根据分式和二次根式有意义的条件确定的取值范围即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得：且， 故答案为：且． 12. 如图所示，在中，，，，点在斜边上，且四边形为正方形，现有一小球在三角形区域运动，则落在阴影部分区域内的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率计算，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，得到，得出，，求出，得到，因为，所以，即可得到答案． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即一小球在三角形区域运动，则落在阴影部分区域内的概率为， 故答案为：． 13. 如图，是等腰三角形，，顶点在上，顶点在上，当，时 ___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意得到，求出，根据平行线的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，以为直径的半圆，绕点顺时针旋转，点的对应点为点，交半圆于点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积等．连接，，根据圆周角定理得出，根据题意可得，求得是等边三角形，结合图形得出，，，利用计算即可得出结果． 【详解】解：连接，， ∵为半圆O的直径， ∴， 由题意得， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，中，，且，将对折，使点和点重合，求折痕的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 设相交于点，作，交延长线于点，根据平行四边形的性质得到，由折叠可知垂直平分，，可证明，得到，求出，得到，求出，可证明，得到，求出，得到． 【详解】解：如图，设相交于点，作，交延长线于点， ， 中，，且， ，， ， 由折叠可知垂直平分，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式性质及特殊角的三角函数值．根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式性质及特殊角的三角函数值计算，再由二次根式加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ． 17. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】不等式组的解是，不等式组的正整数解为1，2，3． 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再写出整数解即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． 原不等式组的解是， 不等式组的正整数解为1，2，3． 18. 如图，在菱形中，点在上，点在上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角．根据菱形的性质可得，，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴． 19. 国家为了节约碳资源，开发了风电项目．莱芜某电力部门在一处坡角为的坡地安装了几架风力发电机，如图1，在风力发电机组中，“风电塔筒”的高度是一个重要的设计参数．于是某数学兴趣小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动，图2为测量示意图．已知斜坡长20米，在地面点处测得风力发电机塔筒顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方62米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔筒的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．过点P作于点F，延长交延长线于点E，先根据含角直角三角形的性质得出，设米，则米，进而得出米，证明四边形为矩形，则米，米，根据线段之间的和差关系得出米，最后根据，列出方程求解即可． 【详解】解：过点P作于点F，延长交延长线于点E， 根据题意可得：、垂直于水平面，，，， ∴， ∵米， ∴（米）， 设米，则米， ∵，， ∴米， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 答：该风力发电机塔杆的高度为米． 20. 如图，内接于为直径，交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得，，证出，则，即，即可得出结论； （2）在中，利用正切函数的定义求得的长，再利用勾股定理求得的长，在中，再利用正切函数的定义即可求解． 【小问1详解】 证明：为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 点在上， 是的切线； 【小问2详解】 解：在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、正切函数等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定与性质是解题的关键． 21. 新学期伊始，为了更好的了解学情，老师对本校九年级学生寒假数学预习情况进行了测试，采取随机抽测（满分100分），并将测试成绩进行了收集整理．以下是部分数据和不完整的统计图表，其中成绩为C等级的如下：79，72，73，71，72，75，76． 成绩等级 竞赛成绩组 频数 A B 8 C 7 D E 10 请根据表中的信息完成以下几个问题： （1）___________，___________，___________； （2）请写出C等级成绩中的中位数为___________，众数为___________； （3）请补全频数分布直方图； （4）本校九年级共有800人，根据调查结果，请你估计该学校学生中成绩为D等级及以上的人数是多少？ 【答案】（1）； （2）； （3）见解析 （4）估计该学校学生中成绩为D等级及以上的人数是人． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、频数分布直方图的应用，中位数，众数，用样本估计总体，正确获取统计表中的数据是解题的关键． （1）根据统计图求出总人数，再求出，即可得到的值； （2）根据中位数、众数的定义求解即可； （3）根据的值补全频数分布直方图即可； （4）根据样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：抽取的总人数为（人）， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：等级的成绩按从小到大排列为， 中位数是，众数是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：补全频数分布直方图如下， 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该学校学生中成绩为D等级及以上的人数是人． 22. 茂业天地商场从一厂家购买印有巴黎奥运会标志的T恤和奥运会吉祥物，已知购进10件恤和5个奥运会吉祥物共需250元；购进15件恤和10个奥运会吉祥物共需425元． （1）求购进一件恤和一个奥运会吉祥物各需多少元？ （2）若商场决定购买T恤和奥运会吉祥物共60个，总费用不低于988元且不高于1000元，则共有几种购买方案？哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】（1）一件恤单价为15元，一个奥运会吉祥物单价为20元 （2）有3种购买方案，恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件需要的总费用最少，最少费用是990元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用等知识点，审清题意，弄清关系，根据等量关系和不等关系列出二元一次方程组和不等式组是解题的关键． （1）设一件恤单价为元，一个奥运会吉祥物单价为元，根据等量关系“购进10件恤和5个奥运会吉祥物共需250元；购进15件恤和10个奥运会吉祥物共需425元”列方程组，解之即可解答； （2）设恤购买件，奥运会吉祥物购买件，根据不等关系“总费用不低于988元且不高于1000元”列一元一次不等式组，解之即可得出取值范围，再结合为整数即可确定购买方案数． 【小问1详解】 解：设一件恤单价为元，一个奥运会吉祥物单价为元， 由题意可得：， 解得：， 答：一件恤单价为15元，一个奥运会吉祥物单价为20元． 【小问2详解】 解：设恤购买件，奥运会吉祥物购买件． 由题意可得：， 解得：， 又 ∵为正整数． ∴， 故共3种方案：分别是：恤购买40件，奥运会吉祥物购买20件，该方案需要的总费用是元； 恤购买41件，奥运会吉祥物购买19件，该方案需要的总费用是元； 恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件，该方案需要的总费用是元； 故共有3种购买方案，恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件需要的总费用最少，最少费用是990元． 23. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的表达式为； （2）16 （3）点E的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积； 【小问3详解】 解：设点E的坐标为， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， ，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，点E的坐标为， ∴，， ∴点F的坐标为． ∵点F在函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， 所以点E的坐标为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的右侧），与轴交于点．若线段的长满足，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线为“黄金”抛物线，其与轴交点为（其中在的左侧），与轴交于点，且．连接，若为上方抛物线上的动点，横坐标为，过点作轴的垂线交于点，交轴于点，过点作，垂足为． （1）求抛物线的解析式； （2）将直线沿轴向上平移个单位后，与抛物线只有一个公共点，求值； （3）设的周长为的周长为，若，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）求出点和点的坐标，然后代入抛物线的关系式即可求得结果； （2）根据待定系数法求解直线解析式，与二次函数联立得一元二次方程，当时，即可求解； （3）证明，得，求得， ，由点横坐标为，得，，，进而得，，得，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ， ， ，， ，， ， 解得，， ； 【小问2详解】 解：， ， 设直线为，代入，， 得， 解得：， ， 将直线沿轴向上平移个单位后，直线为：， 当直线与抛物线只有一个公共点时， ， 整理得， 令， 即， 解得； 【小问3详解】 解：，轴， ， ， ， ，， ， ， 轴， ， ， ， 点横坐标为， ，，， ，， ， 即， 整理得， 解得：，（舍去）， 当时，的值为1． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，求一次函数关系式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是“化斜为正”． 25. 【问题发现】 某数学兴趣小组的同学们将两块大小不一的顶角为的等腰三角形纸片叠放在一起，使得其中的一个顶点重合，然后绕着这个顶点转动其中的一个三角形，可以得到如图1，图2的两种情况，据此得到如图3，图4的两个图形． 小颖发现，图3中存在全等三角形，图4中存在相似三角形． （1）请你直接写出小颖发现的图3中___________，图4中___________； 【类比迁移】 小刚发现，图3中的两个全等三角形可以看作是将一个三角形绕点逆时针旋转得到的．随即，小刚在图5中也进行了类似的操作．如图5，在中，，，点，点在边上，．小刚发现线段，，之间的数量关系：． （2）请你先进行小刚的操作，再求证：； 【拓展应用】 （3）如图6，在中，，，点，点在边上，，求的面积． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）如图3，由题意求得，即可证明；如图4，求得，即可证明； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，推出，利用勾股定理即可求解； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交于点，过点作的延长线交于点，在中，求得，；在中，利用勾股定理求得，再证明，求得，结合勾股定理求出的值，即可根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：（1）如图3，由题意得，，， ∴， ∴； 如图4，由题意得，， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， 故答案：；； （2）如图：将绕点逆时针旋转得到，连接， ∴， 则， ∵， ∴，，； ∵， ∵，， ∴， 即； ∵，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交于点，过点作于点，如图： ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，，，， ∴， 在中，，， ∴，； ∴， 在中，，， 则； ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ； 中，； 故的面积为． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的性质等；正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$