第三单元 因数与倍数（期中复习课件）数学苏教版五年级下册

期中复习课件 小学数学·五年级下册·苏教版 第三单元 因数与倍数 单元知识框架 01 知识点梳理 02 重难点题型精讲 03 变式巩固练习 04 单元知识框架 因数与倍数 1.因数与倍数 求一个数的因数的方法及应用 求一个数的倍数的方法及应用 3.质数与合数 2、5、3的倍数的特征 质数和合数 质因数 2.2、5、3的倍数与特征 奇数与偶数 4.公因数与公倍数 公因数与最大公因数 公倍数与最小公倍数 单元知识框架 知识点1 因数与倍数 1 因数与倍数 1、利用整数乘法认识因数和倍数。 在乘法算式中，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。 2、求一个数的因数的方法。 （1）利用写“乘法算式”的方法来找一个数的因数，就是看这个数能写成哪两个整数相乘的形式，这些整数就是这个数的 因数。 （2）一个数的因数的个数是有限的，一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身。 3、求一个数的倍数的方法。 （1）求一个数的倍数，可以用这个数分别乘1、2、3、4...... （2）一个数的倍数的个数是无限的，一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。 知识点梳理 【例1】a÷b＝13（a、b都是非零自然数），那么b是a的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．质数 D．合数 题型1：因数与倍数的认识 【答案】因为a÷b＝13（a、b都是非零自然数），所以b是a的因数。 故答案为：B 重难点题型精讲 【答案】A．根据“6×7＝42”可知，42是6和7的倍数，原说法错误； B．根据“6×7＝42”可知，42是6和7的倍数，原说法错误； C．根据“6×7＝42”可知，7是42的因数，原说法错误； D．根据“6×7＝42”可知，6是42的因数，原说法正确。 故答案为：D 【练习1】根据“6×7＝42”，下列说法正确的是（    ）。 A．42是倍数 B．42是6和7的因数 C．7是42和6的倍数 D．6是42的因数 变式巩固练习 【例2】一个自然数的最小倍数是18，这个数的因数有（    ）个。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】一个自然数的最小倍数是18，这个数就是18。 18的因数有：1、2、3、6、9、18，共6个。 故答案为：C 题型2：找一个数的因数及因数的特征 重难点题型精讲 【练习1】下面的数中，因数个数最多的是（    ）。 A．36 B．40 C．48 D．50 【答案】A．36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36，共9个； B．40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40，共8个； C．48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48，共10个； D．50的因数有：1，2，5，10，25，50，共6个 48的因数个数最多。 故答案为：C 变式巩固练习 【例3】冰箱中有32块糖，齐思把糖从冰箱中拿出来。他每次拿的块数相同，但不是一次全部拿完，也不是一块一块拿的，拿到最后正好一块不剩。一共有几种拿法？每次分别拿多少块？ 【答案】32＝1×32＝2×16＝4×8 32的因数有：1、2、4、8、16、32，排除1和32，还有2、4、8、16，4个因数。 答：一共有4种拿法。每次分别拿2、4、8、16块。 题型3：根据因数的特征解决问题 重难点题型精讲 【练习1】航天任务的人员队列安排：航天任务表彰大会上，有48名航天工作者进行队列展示，要排成长方形队列，可以怎样排？（要求：每行或每列不得少于2人） 【答案】48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8＝8×6＝12×4＝16×3＝24×2 答：可以排成2行24列、3行16列、4行12列、6行8列、8行6列、12行4列、16行3列、24行2列。 重难点题型精讲 【例4】一个数的最大因数和最小倍数的和是30，这个数是（    ）。 A．6 B．15 C．30 D．45 题型4：找一个数的倍数及倍数的特征 【答案】30÷2=15 所以，这个数是15。 故答案为：B 重难点题型精讲 【答案】因为36÷1＝36，36÷2＝18，36÷3＝12，36÷4＝9，36÷6＝6，36÷9＝4，36÷12＝3，36÷18＝2，36÷36＝1，所以36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。 因为4÷4＝1，12÷4＝3，36÷4＝9，所以4、12、36是4的倍数。 因此，既是4的倍数，又是36的因数，这样的数共有3个。 故答案为：C 【练习1】一个数既是4的倍数，又是36的因数，这样的数共有（    ）个。 A．9 B．5 C．3 D．2 变式巩固练习 【例5】爱护环境，人人有责。星期天，南山小学环保小组的7名同学一起去清理小广告。在四道街，他们一共清理了30多张小广告，而且他们每人清理的数量相同。他们一共清理了多少张小广告？（列算式或文字说明均可） 题型5：根据倍数的特征解决问题 【答案】确定每人清理的数量：7的倍数中，30多的数是35，因为7×5＝35。 答：他们一共清理了35张小广告。 重难点题型精讲 【答案】30=1×30=2×15=3×10=5×6 30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30。 30的因数中是5的倍数的数有5、10、15、30。 答：丽丽可能买了5个、10个、15个或30个苹果。 【练习1】丽丽买来一袋苹果，苹果的个数既是30的因数，又是5的倍数。丽丽可能买了多少个苹果？ 变式巩固练习 1．五年级（1）班有40人，如果所有同学站成方队表演体操，每行人数同样多，至少4人，最多12人。利用“因数和倍数”知识，你可以列举出几种站队的方法？请整理出来。 【其他练习】 【答案】40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 因此40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40。 因为要求至少4人，最多12人，因此从因数中筛选出：4、5、8、10。 方法1：每行4人，站10行（4×10＝40） 方法2：每行5人，站8行（5×8＝40） 方法3：每行8人，站5行（8×5＝40） 方法4：每行10人，站4行（10×4＝40） 综上，共有4种站队方法。 变式巩固练习 2．有一筐苹果不超过50个，4个4个数或6个6个地数，都正好数完，这筐苹果最多有多少个？ 【其他练习】 【答案】50以内4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48； 50以内6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48； 50以内既是4的倍数又是6的倍数的最大数是：48。 答：这筐苹果最多有48个。 变式巩固练习 知识点2 2、5、3的倍数与特征 2 2、5、3的倍数与特征 1、2、5的倍数的特征。 （1）个位上的数字是5或0的数是5的倍数。个位上的数字是2、4、6、8或0的数是2的倍数； （2）是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数； （3）个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 2、3的倍数的特征。 把一个数的各个数位上的数字加起来，如果所得的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。 引伸拓展：把一个属的各个数位上的数字加起来，如果所得的和是9的倍数，那么这个数就是9的倍数。 知识点梳理 2 2、5、3的倍数与特征 3、奇数和偶数。 是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。 4、2、5、3倍数的数的特征。 个位上是0，且各位上数的和是3的倍数的数，既是5、2的倍数又是3的倍数。 知识点梳理 【例6】一个两位数是5的倍数，且个位和十位的数字之和是9，这个两位数最大是（ ），最小是（ ）。 题型6：2、5的倍数的特征 【答案】当个位为0时，十位为9－0＝9； 当个位为5时，十位为9－5＝4； 即一个两位数是5的倍数，且个位和十位的数字之和是9，这个两位数最大是90，最小是45。 重难点题型精讲 【答案】既是2的倍数，又是5的倍数，个位一定是0； 750＞570，则既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是750。 故答案为：B 【练习1】用0、7、5组成的既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是（    ）。 A．705 B．750 C．570 D．507 变式巩固练习 【例7】写出103后面4个连续的偶数（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。 【答案】103＋1＝104 104＋2＝106 104＋2＋2＝108 104＋2＋2＋2＝110 103后面4个连续的偶数是104、106、108、110。 题型7：奇数和偶数 重难点题型精讲 【练习1】1—20中合数有（ ）个，奇数有（ ）个，4的倍数有（ ）个。 【答案】1—20中合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20，共11个； 奇数有1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，共10个； 4的倍数有：4×1＝4，4×2＝8，4×3＝12，4×4＝16，4×5＝20，共5个。 变式巩固练习 【例8】74□是3的倍数，□里最大能填（ ），最小能填（ ）。 【答案】7＋4＋□＝11＋□ 11＋1＝12，12是3的倍数，所以□里最小能填1； 11＋9＝20，20不是3的倍数，所以□里不能填9； 11＋8＝19，19不是3的倍数，所以□里不能填8； 11＋7＝18，18是3的倍数，所以□里最大能填7。 题型8：3的倍数的特征 重难点题型精讲 【练习1】第三届亚洲青年运动会拳击比赛于当地时间2025年10月23日到10月30日在巴林举行，来自31个国家和地区的182名运动员参加，在男、女14个级别争夺赛中，中国小将斩获1银6铜佳绩，霍邱姑娘王晶晶获60公斤级铜牌，是我们霍邱人的骄傲。文中出现的数字，既是60的因数，又是3的倍数的数有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 重难点题型精讲 【答案】文中出现的所有数字，分别是2025、10、23、30、31、182、14、1、6、60； 60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60； 从60的因数里，找出是3的倍数的数有：3、6、12、15、30、60； 和题目原文提取的数字对照匹配，符合既是60的因数，又是3的倍数的数：6、30、60； 故答案为：B 重难点题型精讲 【例9】一个箱子的密码是321□，密码既是2的倍数，又是3的倍数，这个箱子的密码可能是（    ）。 A．3210 B．3212 C．3214 D．3218 题型9：2、5、3的倍数的特征 【答案】通过观察可知，四个选项的个位数字都是偶数，所以均是2的倍数，只需验证是否为3的倍数即可。 A．3210：3＋2＋1＋0＝6，6是3的倍数。B．3212：3＋2＋1＋2＝8，8不是3的倍数。 C．3214：3＋2＋1＋4＝10，10不是3的倍数。D．3218：3＋2＋1＋8＝14，14不是3的倍数。 所以既是2的倍数，又是3的倍数这个箱子的密码可能是3210。故答案为：A 重难点题型精讲 【答案】用数字2、7、0可以组成的三位数有：207、270、702、720。 207：个位是7，不是0，因此不是2或5的倍数。 270：个位是0，是2和5的倍数；数字和2＋7＋0＝9，是3的倍数。 702：个位是2，不是0，因此不是2或5的倍数。 720：个位是0，是2和5的倍数；数字和7＋2＋0＝9，是3的倍数。 因此，同时满足既是2和3的倍数又有因数5的数有270和720，共2个。 故答案为：B 【练习1】三张数字卡片，上面分别写有2，7，0，用它们摆成三位数，其中既是2和3的倍数，又有因数5的数有（    ）个。 A．1 B．2 C．4 变式巩固练习 【例10】你知道“完美数”吗？6是一个完美数，它的因数有1、2、3、6，满足1＋2＋3的和正好是6。12不是完美数，因为12的因数有1、2、3、4、6、12，但1＋2＋3＋4＋6不等于12。请写出28的全部因数（ ）。28是完美数吗？（ ）（括号里填“是”或者“不是”）。 题型10：完美数 重难点题型精讲 【答案】28＝1×28＝2×14＝4×7 28的因数：1、2、4、7、14、28； 1＋2＋4＋7＋14＝28 所以，28是完美数。 填空如下： 请写出28的全部因数（1、2、4、7、14、28）。28是完美数吗？（是）。 重难点题型精讲 【答案】A．9的因数有1、3、9，1＋3＝4，不是完美数； B．8的因数有1、2、4、8，1＋2＋4＝7，不是完美数； C．6的因数有1、2、3、6，1＋2＋3＝6，是完美数； D．20的因数有1、2、4、5、10、20，1＋2＋4＋5+10＝22，不是完美数。 故答案为：C 【练习1】下列数中是完美数的是（    ）。 A．9 B．8 C．6 D．20 变式巩固练习 1．张老师在文具店买了3个同样的篮球（单价为整数），付了200元，找回34元。张老师很快就发现售货员算错了，你知道为什么吗？写出你的理由。 【其他练习】 【答案】200－34＝166（元） 1＋6＋6＝13，13不是3的倍数，所以166不是3的倍数。 答：因为3个同样的篮球总花费应是3的倍数，而实际总花费166元不是3的倍数，所以售货员算错了。 变式巩固练习 2．在中国传统文化中，常用到数字“6”，比如六谷，六畜，六常，秦始皇以六为国数等。在数学上，数字“6”也非常特别，因为它是一个完全数。当一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数（也叫完美数）。比如6的因数有1、2、3、6，，所以6是完全数。 请你判断8和28这两个数是否是完全数，并写出判断的过程。 【其他练习】 【答案】8的因数有1、2、4、8，非本身的因数相加：，结果不是8，则8不是完全数； 28的因数有1、2、4、7、14、28，非本身的因数相加：，则28是完全数。 答：8不是完全数，28是完全数。 变式巩固练习 知识点3 质数和合数 3 质数和合数 1、质数和合数的意义。 一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数。一个数除了1和它本身意外还有别的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数，也不是合数。 最小的质数是2，最小的合数是4。 2、认识质因数。 如果一个数的因数是质数，那么这个因数就是它的质因数。 3、分解质因数。 把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 知识点梳理 【例11】数学上把相差为2的两个质数叫做“孪生质数”，如3和5就是一对孪生质数，那么下列选项（    ）中的两个数是孪生质数。 A．7和9 B．11和13 C．13和15 D．19和21 题型11：质数和合数 重难点题型精讲 【答案】A．7的因数只有1和7，所以7是质数。9的因数有1、3、9，所以9不是质数。因为9不是质数，所以7和9不是孪生质数，该选项错误。 B．11的因数只有1和11，所以11是质数。13的因数只有1和13，所以13是质数。13－11＝2，满足相差为2。所以11和13是孪生质数，该选项正确。 C．13的因数只有1和13，所以13是质数。15的因数有1、3、5、15，所以15不是质数。因为15不是质数，所以13和15不是孪生质数，该选项错误。 D．19的因数只有1和19，所以19是质数。21的因数有1、3、7、21，所以21不是质数。因为21不是质数，所以19和21不是孪生质数，该选项错误。 故答案为：B 重难点题型精讲 【答案】长＋宽＝8，如果长和宽都是质数，我们可以做以下讨论： 当宽＝2cm，长＝6cm，6不是质数； 当宽＝3cm，长＝5cm，这时长和宽都是质数，面积＝3×5＝15（cm2） 当长＝7cm，宽＝1cm，1不是质数； 所以用一条长16cm的铁丝围成一个长和宽都是质数的长方形，长和宽只能是5cm和3cm，它的面积是15cm2。故答案为：C 【练习1】用一条长16cm的铁丝围成一个长和宽都是质数的长方形，它的面积是（    ）cm2。 A．7 B．12 C．15 D．55 变式巩固练习 【例12】星源小学举行武术操比赛，每一个参赛方队站2~4列，每一列的人数必须都相等。一个方队有多少名同学？下面几个人中只有一个是对的，谁说得对？请写出你的理由。 【答案】因为每一个参赛方队站2~4列， 所以总人数一定为2或3或4的倍数， 所以总人数一定是合数。 因为41和43都是质数，45是合数，45＝3×15， 所以一个方队有45名同学，小贝说的是正确的。 题型12：质数与合数的综合应用 重难点题型精讲 【练习1】张老师画了一幅长方形的水墨画，长和宽都是整分米数，而且都是质数，并且已知水墨画周长是36分米，这幅水墨画的面积最大是多少平方分米？ 【答案】36÷2＝18（分米） 18＝11＋7＝13＋5 11×7＝77（平方分米） 13×5＝65（平方分米） 77＞65，最大面积是77平方分米。 答：这幅水墨画的面积最大是77平方分米。 变式巩固练习 【例13】在括号里填上不同的质数。 21＝（ ）＋（ ）＋（ ）  【答案】21以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，其中3＋7＋11＝21，3＋5＋13＝21。 题型13：分解质因数 重难点题型精讲 【练习1】你知道吗？任何大于1的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。如12＝2×2×3，这个过程称为“分解质因数”。请你把30也分解质因数：30＝（ ）×（ ）×（ ）。 【答案】30＝6×5＝2×3×5 所以把30也分解质因数：30＝2×3×5。 重难点题型精讲 1．运动手环能记录运动的步数。李叔叔每天早上戴着运动手环跑步，今天跑步回来发现运动手环记录的步数是一个四位数。这个四位数（各个数位上的数不同）的千位上既是奇数又是合数，百位上既是偶数又是质数，十位上既不是质数也不是合数，个位上是最小的偶数，这个四位数是（ ）。 【其他练习】 变式巩固练习 【其他练习】 【答案】千位：既是奇数又是合数，数字9符合条件。 百位：既是偶数又是质数，数字2符合条件。 十位：既不是质数也不是合数，数字1符合条件。 个位：最小的偶数是0。 运动手环能记录运动的步数。李叔叔每天早上戴着运动手环跑步，今天跑步回来发现运动手环记录的步数是一个四位数。这个四位数（各个数位上的数不同）的千位上既是奇数又是合数，百位上既是偶数又是质数，十位上既不是质数也不是合数，个位上是最小的偶数，这个四位数是9210。 变式巩固练习 2．张叔叔在花圃里种了几行玫瑰，每行的棵数相同。欢欢、笑笑和乐乐到张叔叔的花圃数了数玫瑰的总棵数。 他们谁数得对？为什么？ 【其他练习】 变式巩固练习 【其他练习】 【答案】43的因数：1，43； 48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 47的因数：1，47； 43、47是质数，不可能有几行，且每行的棵数相同； 48是合数，有可能种了2行，每行24棵；或种了3行，每行16棵；或种了4行，每棵12棵；或种了6行，每行8棵；或种了8行，每行6棵；或种了12行，每行4棵；或种了16行，每行3棵；或种了24行，每行2棵。 答：笑笑数对了。43、47都是质数，不可能有几行，且每行的棵数相同；48是合数，才可能有几行，且每行的棵数相同。 变式巩固练习 知识点4 公因数和公倍数 4 公因数和公倍数 1、公因数的含义。 几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。 2、求公因数、最大公因数的方法。 （1）求两个数的公因数，可以用列举法先找出每个数的因数，再找出两个数的公因数；也可以先找一个数的因数，再从这个数的因数中找出另一个数的因数。 （2）两个数的公因数的个数是有限的，其中最大的公因数叫作这两个数的最大公因数。 知识点梳理 4 公因数和公倍数 3、公倍数的含义。 两个自然数公有的倍数叫作这两个自然数的公倍数。一个数的倍数是最小的，但没有最大的，故两个自然数的公倍数的个数是无限的。 4、求两个数的公倍数和最小公倍数的方法。 用列举法可以找出两个数的公倍数和最小公倍数，先列举出较大数的倍数，再从较大数的倍数中找出较小数的倍数，确定这两个数的公倍数及最小公倍数。 知识点梳理 【例14】写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 25和40         28和70         24，36和42 题型14：最大公因数和最小公倍数 【答案】25和40的最大公因数是5，最小公倍数是200； 28和70的最大公因数是14，最小公倍数是140； 24，36和42的最大公因数是6，最小公倍数是504。 重难点题型精讲 【答案】（1）23和46的最大公因数是23，最小公倍数是23×2＝46。 （2）39和52的最大公因数是13，最小公倍数是13×3×4＝156。 【练习1】求最大公因数和最小公倍数。 23和46      39和52 变式巩固练习 【例15】有两根绳子，分别长36米和30米，现在要把它们剪成同样长的短绳，且没有剩余，每根短绳最长多少米？ 【答案】 2×3＝6（米） 答：每根短绳最长6米。 题型15：用最大公因数解决实际问题 重难点题型精讲 【练习1】把一张长48厘米、宽40厘米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，裁成的正方形的最大边长是多少厘米？至少可以裁多少个正方形？ 【答案】 2×2×2＝4×2＝8，即48和40的最大公因数是8，所以裁成的正方形的最大边长是8厘米。 48÷8＝6（个）40÷8＝5（个）6×5＝30（个） 答：裁成的正方形的最大边长是8厘米，至少可以裁30个正方形。 变式巩固练习 【例16】学校进行队列操表演，五年（1）班全班学生人数不到50人，每行12人或每行16人都正好能排成整行，你知道这个班有多少人吗？ 【答案】12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，那么它们的最小公倍数是48； 48＜50 答：这个班有48人。 题型16：用最小公倍数解决实际问题 重难点题型精讲 【练习1】公交起始站：2路公交车每6分钟发一次车，8路公交车每10分钟发一次车，2路公交车和8路公交车同时发车后，至少再经过多少分钟两车又同时发车？ 【答案】6=2×3 10=2×5 6和10的最小公倍数是2×3×5=6×5=30； 答：两车同时发车后至少再过30分钟又同时发车。 重难点题型精讲 1．某城市将举办一场国际论坛，会务组需要为参与论坛的48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组。要求每组的男性青年代表人数一样多，女性青年代表人数也一样多。最多可以分成多少个小组？ 【其他练习】 【答案】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12 即最多可以分成12个小组。 答：最多可以分成12个小组。 变式巩固练习 2．大课间时同学们玩“抱团”游戏，人数在20和30之间。同学们发现当抱团口令为4或6时，每个人都可以抱团成功。有多少人在玩游戏？（“抱团”游戏的规则：当听到口令中所报的数后，相应人数的同学迅速抱在一起，算作成功。） 【其他练习】 【答案】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12； 则4和6的公倍数有：12、24、36、48、60… 两个数的公倍数在20和30之间的为：24，所以有24人。 答：有24人在玩游戏。 变式巩固练习 启发思维 快乐学习 $